О периодических группах Шункова, насыщенных простыми трехмерными унитарными группами

Для доказательства данной теоремы используем следующие результаты.

Предложение 1. Пусть D = ( d )Х( i )- конечный полудиэдр, d ⁴ n = i ² = 1, d^l = d ² n ^{- 1}. Тогда:

• 1)    z = d ² n - центральная инволюция. Если n = 1, то D = dd )х ii^ - абелева группа порядка 8;

• 2)    пусть f е ddY Элементы вида fi имеет порядок либо 4 и f = dk , где k - нечетное число, ( fi )² = z ; либо 2 и f = dk , где k - четное число;

• 3)    имеет место разложение D = (( v )х^)Х( z }, где V = ( v ) - циклическая 2-группа, H = О^ - циклическая группа нечетного порядка. В частности, подгруппа H Х ii^ является конечным диэдром, а подгруппа VХ ii) - конечным полудиэдром;

• 4)    если n ^ 1, то центр Z группы D содержится в (d^ , при этом, если n - нечетное число, то центр Z = ^ dn ^ - подгруппа порядка 4, если n - нечетное, то Z = ( z );

• 5)    любая циклическая подгруппа из D , порядок которой больше четырех, лежит в dd^ ;

• 6)    пусть A - абелева подгруппа группы D порядка >  4 . Тогда A либо циклическая, либо элементарная абелева группа zz'X х ii} порядка 4, либо, в случае когда n - нечетное, абелева подгруппа ddⁿ ^х if) порядка 8;

• 7)    пусть D 1 и D ₂ - полудиэдральные группы.

I D ₂|

Вложение D , <  D₇ возможно, только если ₃—г - не-

• ^{1    2}                           I D

четное число. В частности, полудиэдральная 2-группа не содержит собственных полудиэдров [1].

Пусть 5 - переменная, принимающая значения + или -. Через L ^|( pⁿ ) обозначается группа L 3 (pn ), если I = + и группа U ₃ ( pn ), если I = - .

Предложение 2. Пусть периодическая группа G насыщена группами из M = { L^(p” i )| i = 1,2,..., m } .

Тогда группа G изоморфна группе L 3 ( р”^у ) для некоторого 1 <  j <  m [2].

Предложение 3. Пусть q нечетно. Если q + 1 не делится на 4, то силовская 2-подгруппа группы U = U ₃ ( q )   изоморфна полудиэдральной группе

• m + 1                         mm

SD ( m ) = { a , b | a ² = b ² = 1, a ² = a ¹ }, где 2 делит q - 1, 2 m ^{+ 1} не делит q - 1. Если ( q + 1) делится на 4, то силовская 2-подгруппа из U изоморфна сплетенной группе Wr ( m ) = { a 1 , a ₂, b | a 2 = a 2 = b ² = 1, a 1 , a ₂ = a ₂ a 1 , ab = a ₂, ab = a 1 }, где 2 ^m делит q + 1, 2 ^{m + 1} не делит q + 1. В любом случае U содержит элемент порядка 8 и любая 2-подгруппа из U порядка >  32 содержит элемент порядка 8 [3].

Доказательство. Доказательством теоремы 1 служат непосредственные вычисления.

Пусть G - противоречащий пример. Тогда по предложению 2, | P n S | > | D | - бесконечное множество.

Пусть Ж ( G ) - множество тех групп, которые изоморфны подгруппам из G .

Лемма 1. Возможны только следующие ситуации:

• 1)    Ж ( G ) <  { U ₃( q )| q четно};

• 2)    Ж ( G ) <  { U ₃( q )| q нечётно и q + 1 не делится на 4};

• 3)    Ж(G) < {U3 (q) | q нечётно и q +1 делится на 4}.

Доказательство. Если Ж ( G ) содержит группу U ₃( q ), где q нечётно и q + 1 не делится на 4, то в соответствующей подгруппе из G силовская 2-подгруппа S является полудиэдральной (предложения 1 и 2). Легко понять, что S - силовская 2-подгруппа в G (в противном случае S - собственная подгруппа в полудиэдральной или сплетённой 2-подгруппе, что невозможно). Так как S конечна, то все силов-ские 2-подгруппы из G сопряжены с S и по предложению 3 мы попадаем в ситуацию 2. Можно считать, что Ж ( G ) состоит из групп U ₃ ( q ), q чётно или q + 1 делится на 4. Предположим, что есть и другие. Пусть подгруппы S, T и G выбраны так, что силовская 2-подгруппа в U <  G , T - силовская 2-подгруппа в V <  G , U ~ U ₃(2 n ), V ® U ₃( q ), q нечётно.

Поскольку ситуация 1 уже рассматривалась в [1], дальнейший анализ распадается на оставшиеся две ситуации из леммы 1.

Ситуация 2. G насыщена группами U ₃( q ), где q + 1 не делится на 4.

Ситуация 3. G насыщена группами U ₃( q ), где q нечётно, q + 1 делится на 4.

Поскольку S периода 4, то по предложению 3 | S n T | < 32. Выбираем S и T так, чтобы порядок D = S n T был наибольшим из возможных. Ясно, что S * D * T . Пусть aD - инволюция в S / D , bD -инволюция в T / D . Подгруппа F = { a , b , D ) конечна и поэтому содержится в H ® U ₃ ( r ). Предположим, что r чётно. Тогда { b , D )< P , где P - силовская группа 2-подгруппа в H и | P n T > | D |, что противоречит выбору. Точно так же, если r нечётно, то ( a , D ) <  P , и | P n S | > | D |. Лемма доказана.

Лемма 2. Группа Шункова, в которой все конечные подгруппы коммутативны, обладает абелевой периодической частью.

Доказательство. Действительно, пусть a - произвольный элемент конечного порядка из G . Предположим что | a | - простое число. Тогда <  a , a⁸ >  -конечная абелева группа для любого 8 е G . Следовательно, <  a⁸ >  - абелева нормальная подгруппа группы G . В силу произвольного выбора a как элемента простого порядка, получаем, что все элементы простых порядков из G порождают абелеву нормальную подгруппу N 1 группы G . Далее по индукции. Лемма доказана.

Лемма 3. Все элементы порядка 4 в G сопряжены. Если f - элемент порядка 4 из G , то в случае А - C_G ( f ) является абелевой счётной группой, а в случае В - C_G ( f ) содержит подгруппу F = { f )х{ f 1 ) , где f 1 - элемент порядка 4 и C_G ( F ) - коммутативная счётная группа. Далее, NG ( F ) / C_G ( F ) - S ₃ и NG ( F ) содержит силовскую 2-подгруппу из G . В частности, NG ( F ) локально конечна.

Доказательство. Пусть a, b е G | a |=| b |= 4. Так 2      -1/2_ как все инволюции в G сопряжены, то a = 8 b 8 для некоторого 8 е G. Так как G - группа Шункова, то {a, b8) - конечная группа. По условию насыщенности, {a, b9 )с L - U3(q), а в U3(q) все элементы порядка 4 сопряжены. Следовательно, a = b8 для некоторого 8 е L . Рассмотрим CG (f).

Случай 2: пусть a , b е CG ( f ) и ab * ba . Предположим, что | a | - простое число. Тогда конечная группа f, , a ,..., ab ^ с L - U ₃ ( q ) . Следовательно, aa^ = ( a)b и в силу леммы 2 этот случай доказан.

Случай 3: очевидно, такое f 1 найдётся. Предположим, что F = ( f )х( f ) , элементы a , b е CG ( F ), конечная группа FF , a , a^ <  L - L 3 ( q ) . Следовательно, ( a ) = Otb^b и по лемме 2 этот случай доказан.

Далее, существует такое K , что и K - S ₃ и, следовательно, NG ( F ) = C_G ( F ) . Лемма доказана.

Лемма 4. Если f из леммы 3, то C_G ( f ²) - расширение L ® SL ₂ ( Q ) посредством локально циклической группы и C_G ( L ) - подгруппа индекса 2 в C_G ( f 2 ). Здесь Q - некоторое локально конечное поле нечётной характеристики.

Доказательство. Пусть K - конечная подгруппа C_G ( f ²). По условию насыщенности, ^K , f ² ^ с L - SL ₂ ( q ) ■ bb^ , где b - группа порядка q + 1, получаем утверждение леммы. Несложно показать, что все ( b ^ образуют локально циклическую подгруппу B в C_G ( f ² ) . Фактор-группа C_G ( f ² ) / B насыщена SL ₂ ( q ) и по [3] изоморфна SL ₂ ( Q ) для подходящего локально конечного поля Q . Отсюда вытекает следующая     факторизация:

CG ( f ² ) = B х SL ₂ ( Q ) . Лемма доказана.

Лемма 5. В G есть подгруппа H , пересекающаяся с C_G ( f 2 ) по подгруппе индекса 3 в H и содержащая C_G ( f 2 ) (соответственно C_G ( f )).

Доказательство. Проводится аналогицно доказательству для конечного множества Ж [1].

Теперь с помощью башни конечных подгрупп в C_G ( f 2 ), объединение которой совпадает с C_G ( f ²), и этой подгруппы H строим башню подгрупп, каждая из которых изоморфна элементу из Ж , такую, что объединение U этой башни содержит C_G ( f ²). Понятно, что тогда U = G . Теорема доказана.