О периодической части группы Шункова, насыщенной L 2 (P N)

Группа G насыщена группами из множества групп М , если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из М [1].

Напомним определение группы Шункова. Группа называется группой Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе, включая единичную, любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу.

В данной работе I означает множество индексов, Kа - конечное поле для любого а е I, M ={ L2 (Kа) | а е I} и N = { SL2 (Kа) | а е I}. Отме- тим, что для различных α и β характеристики полей K α и Kβ могут быть различными.

В [2] доказано, что произвольная периодическая группа G , насыщенная группами из множества M (соответственно N ), изомофна L2 ( P ) (соответственно SL2 ( P ) ) для подходящего локально конечного поля P. В данной работе этот результат переносится на группы Шункова без предположения о их периодичности.

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 1. Группа Шункова G , насыщенная группами из множества M , обладает периодической частью T (G), изоморфной простой группе L2 (P) над подходящим локально конечным полем P .

Теорема 2. Группа Шункова G , насыщенная группами из множества N , обладает периодической частью T ( G ) , изоморфной группе SL 2 ( P ) над подходящим локально конечным полем P.

Доказательство теоремы 1. Пусть G – контрпример к теореме 1. Обозначим через S силовскую 2-подгруппу группы G .

Лемма 1. Если в периодической группе G некоторая силовская 2-подгруппа конечна, то все силовские 2-подгруппы из G конечны и сопряжены.

Доказательство . Обозначим через S конечную силовскую 2-подгруппу группы G и пусть | S | = 2 k . Воспользуемся индукцией по к . При к = 1, |S = 2 , S = ( s ), где 5 ² = 1. Возьмем другую силов-скую 2-подгруппу S 1 из G со свойством S 1 * S . Для любой инволюции y е S 1 , группа D = ( y,s ) = dd )Z( s ) = dd }Х( y } - конечный диэдр. Так как S является силовской 2-подгруппой в G , то таковой она будет и в D , следовательно, d – подгруппа нечетного порядка и для некоторого x е d , s = y x е S 1 ^x . Последнее означает, что S с S 1 y , а так как S - силовская 2-подгруппа в G , то S = S 1 y . Итак, для к = 1 утверждение леммы доказано. Рассмотрим случай k ˃ 1. Пусть, как и выше, S ₁ – некоторая си-ловская 2-подгруппа в G и S 1 * S . Пусть s е Z ( S ) , | s | = 2 и x - произвольная инволюция из S 1 . Группа P = xx.s') = ( d ^Х( s ) - конечная группа диэдра и либо s = x y для некоторого x е d и S о S 1 y * 1, либо (d) содержит инволюцию и е C_G ( s ) о C_G ( y ) . В фактор-группе C_G ( s ) / ^ все силовские 2-подгруппы конечны и сопряжены (индуктивное предположение), и, следовательно, можно считать, что и е S , для некоторого y е G .

Пусть S ₂ силовская 2-подгруппа, содержащая (U х ^ x ^. Очевидно, и е S ₂ о S . Если S ₂ = ( S y ) g для некоторого g е G , то, очевидно, и е S 1 о S^yg * 1. Если же для любого g е G выполняется неравенство S ₂ * ( S y ) ^g , то возьмем в качестве S 1 группу S ₂. Таким образом, можно считать, что в множестве всех несопряженных с S силовских 2-подгрупп найдется такая, мы ее обозначим через S 1 , что S 1 о S * 1. Более того, используя конечность S , можно считать, что пересечение D = S 1 о S - максимально возможное по порядку для любой другой силовской 2-подгруппы X , несопряженной с S|X о S | < | D |.

Из всех пересечений указанного вида выберем максимальное по порядку, т. е. D = S о S 1 ^y и для любого y е GS о S 1 ^y | < | D |. Используя нормализаторное условие в 2-группах, выбираем элементы x 1 е S ( S о S 1 ) и y1 е S 1 1 ( S о S 1 ) со свойством x12 е D ,      y 1 ² е D     xx, .y^ е N ( D ) .     Группа

L = (D, x1, y1} конечна и в ней силовские 2-подгруппы сопряжены. Пусть d D, x1) с S2 с Syl2 L, dD, y1} с S3 с Syl2L.

Поскольку DD , x 1)|> | D |, то для некоторого D справедливо включение S ₂ ^g с S . Так как L конечна, то S ₂ = S 3 h для некоторого h е L . Отсюда S 3 ^hg с S и S 3 с S^g h , т. е. (D , y 1) с S^{g h - 1} о S 1 или dD , y 1 hy^y с S о S 1 ^hg , но DD , y 1) hy > | D |. Последнее означает, что S и S ₁ ^hg сопряжены, а значит, S и S ₁ также сопряжены. Противоречие с выбором S ₁ . Лемма доказана.

Лемма 2. Группа Шункова, насыщенная группами диэдра, обладает периодической частью, которая является (локально) конечным диэдром.

Доказательство . Возьмем 1 * b е G и | b | = p >  2 , где p простое число. Конечная группа b , b^x лежит в конечном диэдре из G и bb') = bb^x^ . Следовательно, все элементы из G , имеющие простой порядок * 2, образуют в G нормальную (локально) циклическую подгруппу N 1 . Фактор-группа G1 = G / N 1 является группой Шункова и насыщена группами диэдра. Относительно группы G ₁ повторим рассуждения, проведенные выше для G . Подгруппу из G ₁ , порожденную всеми элементами простых порядков * 2, обозначим N ₂ . Она локально циклическая и нормальна в G1 . Положим, что G ₂ = G1 / N ₂ - группа Шункова и насыщена группами диэдра. Действуя индуктивно, строим цепочку подгрупп

N 1 с N ₂ с ... с N k с ... , где N_k – полный прообраз N_k в G . Положим N = и N k . Фактор-группа G = G / N является группой Шункова. Так как N локально конечна, то G насыщена группами диэдра и состоит из 2-элементов и элементов бесконечного порядка.

Положим G = G . Пусть b е G , |b| = 4 , а е ^b^ и a2 = 1. Для произвольной инволюции x е G(x,a) = = dd )Z (x^ = dd^ Z da^ - конечный диэдр. Если | (d) > 2, то bb, d 1) - конечна, (d 1 е (d), |d 1| = 4) и яв- ляется подгруппой конечного диэдра из G , что невозможно, так как di^ = 4. Итак, |d| = 2 , что означает перестановочность a и x , в частности, перестановочны а и а8 для любого g е G. Из последнего вытекает конечность b,bG (свойство группы Шункова). По условию насыщенности b,bG лежит в конечном диэдре из G , что возможно только в случае bЬ) = ^b8^ . Таким образом, bb') < G . Пусть теперь bb1 ) * b22) и |b11 = |b2| = 4 . По только что доказанному bb^ < G и b22} < G . Следовательно, bbx) 02} - конечная нормальная подгруппа в G , которая по условию насыщенности является подгруппой конечного диэдра из G, т. е. bb^ = 00, что противоречит нашему предположению. Итак, G содержит единственную подгруппу порядка 4 .

Возьмем инволюцию t е G / N . Пусть x е G и t x * t и группа T = t t , t x) - конечный диэдр. Группа M = NT локально конечна и насыщена группами диэдра. Следовательно, M = L X 0 = L X ^ t x ^. Последнее означает, что в фактор-группе G = G / N инволюции t и t^x перестановочны. Этим доказано, что G обладает периодической частью T , которая является 2-группой. По теореме Шмидта ее полный прообраз T является периодической частью группы G . Лемма доказана.

Лемма 3. Все инволюции из G сопряжены.

Доказательство. Пусть x , y – две различные инволюции из G . По условию насыщенности bx , у') с L с G , где L = L ₂ ( K _а ) . Хорошо известно, что в L ₂ ( K _а ) все инволюции сопряжены [2]. Следовательно, для некоторого g е L , x = у⁸ . Лемма доказана.

Лемма 4. Если S – конечная группа, то все силов-ские 2-подгруппы из G сопряжены и S – одного из следующих типов:

• 1)    S – группа диэдра;

• 2)    S - элементарная абелева группа и | S | >  4 .

Доказательство. То, что все силовские 2-подгруппы группы G конечны и сопряжены, вытекает из [4]. По условию насыщенности S с L с G и L = L ₂ ( K _а ) . По [3, с. 9-10], S либо типа 1, либо типа 2. Лемма доказана.

Лемма 5. Если S – бесконечная группа, то все си-ловские 2-подгруппы из G сопряжены и S – одного из следующих типов:

• 1)    S = S λ t , где S – квазициклическая 2-группа, t ² = 1 и S = s ^{- 1} для любого s е S ;

• 2)    S – бесконечная элементарная абелева группа.

Доказательство . Предположим вначале, что в G нет элементов порядка 4. Тогда в G любая 2-подгруппа, в частности S , элементарная абелева. Пусть S ₁ – другая силовская 2-подгруппа группы G . Возьмем инволюцию x е S и инволюцию у е S ₁. По условию насыщенности 0, у^ с R = L ₂ ( K _а ) . Следовательно, x = у⁸ для некоторого g е R и x е S n S ⁸ . Пусть S * S⁸ . Возьмем инволюцию v е SIS n S f и инволюцию S е S f IS n S f . По условию насыщенности конечная группа { x , v , w ) с L = L ₂ ( K в ) и { x , v , w ) с C_L ( x ) . Рассмотрим случай, когда K _β – конечное поле нечетной характеристики.

Тогда K1 = 0^ x b^ и K2 = xx^ x 0^ являются си-ловскими 2-подгруппами группы L и сопряжены в ней при помощи некоторого элемента b е L, Kb = K2. Таким образом,   |S n S18b |> 4 .   Предположим, что S * S18b-1. Для любых инволюций t е SIS n S18b и z е S8b-1 ISnS8b-1   группа   K1 , t, z    конечна и по условию насыщенности группа bK 1, t, z^ с N = L2 (KY). Так как K 1 x tt') - элементарная абелева группа порядка 8, то Kγ – конечное поле характеристики 2. Но тогда (K 1, t, z) с M е Syl2N, M – элементарная абелева группа и инволюции t,z перестановочны. Последнее означает поэлементную перестановочность групп S и S18b . Так как обе они являются силовскими 2-подгруппами из G , то S = SS18b = S18b . Рассмотрим случай, когда Kв имеет характеристику 2. Здесь, рассуждая, как и для группы N , снова получаем поэлементную перестановочность групп S и S18 , что влечет равенство S = S8 . Итак, если G не содержит элементов порядка 4, то S типа 4 и все силовские 2-подгруппы из G сопряжены.

Предположим теперь, что G содержит элемент порядка 4. Покажем, что в этом случае S так же содержит элемент порядка 4. Предположим обратное. Пусть a – фиксированная инволюция из S и а е 0^ ^ S , где \ d\ = 4 (лемма 3). По условию насыщенности, конечная группа d , z , где z – произвольная инволюция из S , отличная от a , лежит в некоторой L = L ₂ ( K _а ) , где K _а - конечное поле нечетной характеристики ( \d\ = 4 ) . По [3] ( а ) - конечная группа диэдра. Но тогда i^z = d ^{- 1} и группа dS является 2-группой. Так как S – силовская 2-подгруппа группы G , то 00 = S , т. е. 0) с S . Противоречие с выбором d .

Итак, без ограничения общности можно считать, что 0) с 5 . В этом случае 5 насыщена группами диэдра, Z ( 5 ) = аа^ и, по [5, лемма 15], 5 = 5 k0, где 5 - квазициклическая 2-группа, t ² = 1 и для любого 5 е 5 , s‘ = s ^{- 1}.

Докажем сопряженность силовских 2-подгрупп для нашего случая. Пусть 5 1 , 5 ₂ е 5yl ₂ G . По доказанному выше, 5 1 = 5k Vv^ , 5 ₂ = 5 k 0), где 5 1 , 5 ₂ - ква-зициклические 2-группы, v ² = w ² = 1 и 5 V = 5 1 - ¹, 5 W = 5 ₂ ' для любых 5 1 е 5 1 и 5 ₂ е 52. Пусть i , j -инволюции из S ₁ и S ₂ соответственно. Так как (i , j с K с G и K = L ₂ ( K _a ) , то для некоторого x е K , i = j^x и, следовательно, 1 * i е 5 1 о 52 . Но тогда 5 1 о 152 . Положим H = 5 1 о 152 . Тогда 5 1 = Hk (0 , 52 = Hk 0), силовская 2-подгруппа в N = N_g ( H ) / H конечна и имеет порядок 2. Следовательно, для некоторого g е N , ( wH ) ⁸ = tH . Пусть g = gH , тогда очевидно 52⁸ = 5 1 и лемма доказана.

Лемма 6. Если C_G ( a ) содержит конечное число элементов конечного порядка, теорема 1 верна.

Доказательство . Если C_G ( a ) содержит конечное число элементов конечного порядка, то, по теореме Дицмана, C_G ( a ) обладает периодической частью T ( C g ( a ) ) = T a и либо T a = b k 0 , либо T a = 5 0 -элементарная абелева группа, где S ₀ типа 2 из леммы 4. В этой ситуации G так же содержит конечное число элементов конечного порядка. Так как в противном случае, по теореме А. К. Шлёпкина, в G есть бесконечная локально конечная подгруппа M такая, что L | >  m , где m - произвольное число. Ясно, что в этом случае T_a так же может быть сколь угодно большим, чем ^Ь^ х 0| и | 5 ₀| . Лемма доказана.

Лемма 7. Если C_G ( a ) содержит бесконечное число элементов конечного порядка, теорема 1 верна.

Доказательство. Пусть K – конечная подгруппа из C . По условию насыщенности, K с L - L2 (Ka) и K с CL (a). В данном случае либо все CL (K) - конечные группы диэдра, либо элементарные абелевы 2-группы (леммы 4, 5). В этом случае периодическая часть Ta является либо локально конечным диэдром, либо бесконечной элементарной абелевой 2-группой. Обе эти структуры не могут существовать одновременно и G обладает периодической частью, изо- морфной L2 (Q) для подходящего локально конечного поля Q . Лемма доказана.

Лемма 8. G обладает локально конечной простой подгруппой L такой, что C_G ( a ) с L и L = L ₂ ( P ) , где P – локально конечное поле нечетной характеристики p .

Доказательство . Как следует из леммы 6, C_G ( a ) представима в виде объединения возрастающей цепочки конечных подгрупп диэдра

D1 с ... с D n с ... , (1) причем без ограничения общности можно считать, что |D n | > 4 и каждая из подгрупп D n совпадает с централизатором инволюции a в некоторой простой подгруппе L n из G , где L n = L ₂ ( K _a ) , причем K _a -конечное поле нечетной характеристики. Таким образом, D n с L n , D n с C L n ( a ) и цепочке (1) поставлена в соответствие последовательность

L 1 , .. ., L n , ... (2) конечных простых подгрупп из G .

Далее, D n = C n k 0 , где C_n - циклическая группа. По [3, с. 9–10], инволюции a и t сопряжены в L_n , в частности, подгруппа C L n ( a ) = D n сопряжена в L n с подгруппой T n = C L n ( t ) . По лемме 6, подгруппа C n в C_G ( a ) однозначно определена своим порядком m_n = | C n | ; то же самое верно для подгруппы V_n , где V_n – однозначно определяемая циклическая подгруппа порядка m n >  2 из T_n = V n k( a ) с C_G ( t ) . Ввиду сопряженности инволюций a и t в G и однозначной определимости циклической подгруппы V_n в G своим порядком M_n (лемма 6), подгруппы T_n так же, как и подгруппы D_n , составляют цепочку

Пусть L = 0 L n . По построению C_G ( a ) с L . n = 1

По [6], L – локально конечная простая группа, изоморфная L ₂ ( P ) , где P - локально конечное поле характеристики p . Лемма доказана.

Лемма 9. Пусть L – подгруппа из формулировки предыдущей леммы 5. Тогда периодическая часть T ( G ) = L.

Доказательство . Предположим, что L * G . Покажем, что L – сильно вложенная подгруппа в G .

Для этого достаточно показать, что для любого g e G\L подгруппа L n L^g не содержит инволюций.

Пусть w - инволюция из L n L^g , где w = v^g , причем v e L . Все инволюции в L сопряжены [3, с. 9-10], поэтому v^gb = v для некоторого элемента b e L . Тогда gb e C_G ( v ) , и так как по леммам 5, 6 C_G ( v ) с L , то и g e L , вопреки выбору элемента g . Значит, для любого элемента g e G\L подгруппа L n L^g не содержит инволюций, N G ( L ) = L , L сильно вложена в G .

По [1], G – простая группа. Следовательно, в G\L найдется инволюция v . Пусть w – произвольная инволюция из L . Так как G – периодическая группа, то группа K = vv, w) конечна и по условию насыщенности K с M с G, где M = L2 (Kа) и Kа -конечное поле нечетной характеристики. Положим H = M n L и пусть z - произвольная инволюция из H , а g e M . Как показано выше, из z следует, что g e H . Следовательно, подгруппа H сильно вложена в M . Тогда, по теореме Бендера (4.24, [7]), M – простая группа Шевалле характеристики 2 лиева ранга 1. Что возможно только в случае M = L2 (22) = L2 (5), H совпадает с нормализатором силовской 2-подгруппы из M и имеет порядок 12. Другими словами H = A4.

Пусть теперь d – элемент порядка три из H , x – инволюция из M \H , инвертирующая d, y – инво- люция из L\M , инвертирующая d [3, с. 9–10]. Так как G – периодическая группа, то группа R = (d, x, y) конечна и по условию насыщенности R с M 1 с G , где M 1 = L2 (Kа) и Kа - конечное поле нечетной характеристики. Положим H1 = M 1 n L . Так как у e H 1, то H1 - сильно вложенная подгруппа в M 1 = L2 (5) = L2 (22) и H1 = A4. Последнее невозможно, так как в этом случае A4 содержит инволюцию, инвертирующую элемент порядка три. Противоречие со строением A4 .

Итак, G\L не содержит инволюций, что эквивалентно (при условии L * G ) существованию нетривиального нормального делителя группы G . Однако G , как отмечалось выше, простая группа. Противоречие. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Если R содержит только SL2 (Kа) и Kа - конечное поле характеристики 2, то все доказано в силу теоремы 1, так как в этом случае SL2 (Kа ) = L2 (Kа). Следовательно, R содержит SL2 (Kв), Kв - конечное поле нечетной характеристики и |Kа |> 5 . Обозначим через z инволюцию из SL2 (Kв). Для любого g e D группа D zz, zg ^ конечна. По условию насыщенности D с K с G, и либо K = SL2 (KY) и KY - конечное поле нечетной характеристики, либо K = SL2 (K8) и K5 - конечное поле характеристики 2. Покажем, что ситуация K = SL2 (K8) невозможна. Действительно, в этом случае в K найдется инволюция v * z и vz = zv . Так как G – группа Шункова, то подгруппа h, v конечна, здесь h - такой элемент из SL2 (Kв), что h2 = z и   hh, v^ e CG (z). По условию насыщенности,

(h, v) с CK (z) с K e R, что невозможно по [3, с. 9-10]. Итак, G содержит единственную инволюцию z и Z (G) = zz^. Нетрудно видеть, что фактор-группа G = G / ^ - группа Шункова и удовлетворяет всем требованиям теоремы 1. Следовательно T(G) - L2 (P) для подходящего локально конечного поля P . Пусть P1 с... с Pn с... - цепочка вложенных друг в друга конечных подполей из P таких, что P = [J Pn; T(G1) с... с T(Gn) с...   - цепочка вло- n=1

женных друг в друга конечных подгрупп групп G таких, что T ( G_n ) - L ₂ ( P_n ) , где n = 1, 2,.... Обозначим через T ( G_n ) полный прообраз T ( G_n ) в G . Из условия насыщенности вытекает, что T ( G_n ) - SL ₂ ( P_n ) .

Так как T ( G ₁) с ... с T ( G_n ) с ... и T ( G ) = J T ( G_n ), то n = 1

T ( G ) - SL ₂ ( P ) . Теорема доказана.