О подготовке учащихся 8-х классов к решению некоторых нестандартных задач по математике

Основным средством изучения математики выступает математическая задача как в начальной и средней школе, так и в вузе. По мнению Н.Л. Стефановой математические задачи «являются одной из главных составляющих содержания учебного предмета Математика, который включает также и теоретический материал, для усвоения обучающихся в процессе решения задач. Поэтому работа над математическими задачами является основной деятельностью при обучении школьников математике. Особое мест задач в обучении школьников требует специального внимания к определению этого понятия». Изучением роли математических задач в подготовке школьников занимались З.И. Гурова, Г.А. Балл, Л.М. Фридман.

Следуя их исследованиям, под математической задачей будем понимать упражнение, которое выполняется, решается посредством умозаключения, вычисления и т.п. Среди математических задач Н.Л. Стефанова выделяет следующие:

• -    стандартные (известны все компоненты УОРЗ (условие, обоснование, решение, заключение);

• -    обучающие (неизвестен один компонент УОРЗ);

• -    поисковые (неизвестно два компонента УОРЗ);

• -    проблемные (неизвестно три компонента УОРЗ) [1].

Участие в олимпиадах и сдача выпускных экзаменов предполагает умения обучающихся решать задачи различной сложности, в том числе и проблемные, которые состоят в основном из нестандартных задач. Однако, на занятиях систематическая подготовка школьника к их решению сводится к минимуму из-за отсутствия времени. Большие возможности имеются для этого во внеурочной деятельности или в надпредметных программах курсов и дисциплин (элективов, факультативов, кружков). Они направлены на углубление знаний обучающихся по школьному курсу математики, в том числе по таким темам, которые не полностью раскрыты или лишь упоминаются в курсе математики основной школы.

Особое внимание при работе с задачами учитель должен уделять этапам их решения так, следуя Тумашевой О.В., будем выделять следующие:

• *    Восприятие и осмысление;

• *    Поиск и составление плана решения;

• *    Выполнение плана решения;

• *    Проверка решения;

• *    Формулировка ответа на вопрос задачи;

• *    Исследование задачи [2].

В нашей статье мы остановимся подробнее на методических рекомендаций к организации работы со школьниками по решению некоторых видов нестандартных задач, которые могут быть рассмотрены на занятиях в разработанного нами кружка для 8-х классов.

В вначале работы над задачей необходимо ознакомится с условием и понять его. Далее составить план решения, после чего выполнить его. Большое внимание следует уделить формулированию ответа на вопрос задачи, а также проверке хода и результата решения, выяснению наличию других результатов решения.

Предлагаем из всего разнообразия нестандартных задач использовать софизмы и головоломки, логические задачи и задачи на взвешивание и переливание. Остановимся на них подробнее.

Софизмы и головоломки – это задачи, для решения которых, как правило, требуется сообразительность, а не специальные знания высокого уровня. Специфика софизмов состоит в том, что в них содержатся незаметные для всех ошибки. Эти задачи показывают важность внимательности при их решении, умение мыслить не только шаблонно, но и нестандартно.

При разборе софизмов и головоломок, может быть использован прием беседы по условию задачи, где результатом будет краткая запись. Она может быть представлена в виде рисунков, графиков или таблиц. Главной трудностью у учащихся может быть невнимательность при разборе условия задачи или утверждения, или невнимательность по ходу решения.

Например: Рассмотрим тождество 35+10-45=42+12-54. В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель: 5·(7+2-9)=6·(7+2-9). Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель (7+2-9), получим, что 5=6. В чем заключается ошибка?

На этапе восприятия и осмысления, учащиеся могут сделать краткую запись. В данном случае она может совпасть с условием самой задачи.

На этапе поиска и составления плана решения следует проанализировать краткую запись, и постараться найти ошибку. С этой целью ученикам нужно предложить вспомнить правила деления, умножения в тождествах и уравнениях.

На третьем этапе, учащиеся находят допущенную ошибку и озвучивают ее учителю. На этапе проверки, учитель дает правильный ответ. И на пятом, и шестом этапах, учитель вместе с обучающимися озвучивают, что ошибка допущена при делении верного равенства 5^(7+2-9)=6^(7+2-9) на число (7+2-9), равного нулю. Этого делать нельзя, так как любое равенство можно делить только на число, отличное от нуля.

Второй вид задач -это логические задачи. Они способствуют развитию мышления у школьников, дают возможность вдуматься в условие самой задачи и над ее решением. Работа с ними учит рассуждать логически, развивает внимательность и способность прибегать к дедукции. Такие умения пригодятся учащимся во время участия в различных конкурсах, олимпиадах.

При разборе такой задачи, может быть использован прием беседы по условию, где результатом будет краткая запись, представленная в виде таблице для схематизации материала. Зафиксированные в таблице данные помогают школьникам быстрому осознанию сути задачи.

Например: Три сестренки Маша (М), Катя (К) и Света (С), гуляли по парку и ели мороженное. Они ели разное мороженное из трех видов, в котором одно - клубничное, другое - ванильное, а третье - шоколадное. Маша не любит шоколадное мороженное, а Света очень хотела клубничное, но их третья сестра забрала последнее клубничное мороженное. Кто мороженное ела каждая из сестер?

На первом этапе условие задачи можно записать в виде таблицы, пустые клетки которой заполняются на следующем этап.

Результатом этих двух этапов будет следующая таблица:

Возможные варианты	Виды мороженного
	Шоколадное	Клубничное	Ванильное
Маша	-	-	+
Катя	-	+	-
Света	+	-	-

На этапе выполнения плана решения, обучающиеся ищут, какой вид мороженного ела каждая сестра.

Так как третьей сестрой является Катя, значит она ела клубничное мороженное, учащиеся ставят «плюсик» в графе на пересечении ячеек «Катя» и «клубничное мороженное». Маша не любит шоколадное мороженное, следовательно она его не ела, с другой стороны она не ела и клубничное, так как оно досталось Кате, значит остается ванильное, и учащиеся ставят «плюсик», в графе на пересечении ячеек «Маша» и «ванильное мороженное». Тогда Свете остается шоколадное мороженное, поэтому школьники ставят «плюсик», где «Света» и «шоколадное мороженное».

На этапе проверки, обучающиеся сверяются, полученными ответами с учителем.

На пятом этапе, озвучивают ответ, что Маша ела ванильное мороженое, Катя - клубничное, а Света - шоколадное.

Третий вид задач - это задачи на взвешивание и переливание.

Такие задания достаточно часто встречаются на олимпиадах. В них требуется установить тот или иной факт посредством взвешивания на рычажных весах без циферблата.

Задачи на переливание встречаются двух типов: когда есть много жидкости, и мы можем наполнять доверху сосуды сколь угодно большое количество раз, то есть количество жидкости не ограничено; если же жидкости у нас ровно столько, сколько изначально налито в сосудах, то ее нельзя проливать.

Решая, такие задачи, на этапе осмысления, можно привести «живой» пример с кастрюлями (если задача на переливание) или с монетами (если задача на взвешивание).

Например: Чтобы приготовить суп, нужно 4 литра воды, соль, лук, капуста и картошка. У Маши есть пятилитровая и трехлитровая кастрюля, и очень большая кастрюля, объем, который Маша не знает, но она больше пятилитровой кастрюли. Как может Маша с помощью этих кастрюль отмерить 4 литра воды?

На этапе осмысления, необходимо записать условие задачи, и задаться вопросом как можно с помощью двух кастрюль отмерить 4 литра воды.

На втором этапе, нужно перебрать все варианты как можно на этими двумя кастрюлями отмерить 4 литра воды.

Для наглядности, можно использовать три ведерка, одно 4 литра, другое - 5 литров, и третье - 3 литра. Ведро с объемом в 4 литра, будет использоваться для проверки результата, а ведрами объемами 3 и 5 литров, будем отмерять 4 литра. Школьники наполняют водой полностью ведро объемом в 5 литров, и из этого ведра отливаем воду, в трехлитровое ведро. Тогда в пятилитровом ведре останется 2 литра воды, которого они могут перелить в четырехлитровое ведро. Учащимся нужно будет еще 2 литра воды, поэтому процедуру переливания, из пятилитрового ведра в трехлитровое, они повторят еще один раз. В таком случае у школьников получится опять 2 литра воды

На третьем этапе школьники оформляют задачу. А на следующем этапе, для проверки результата, переливают оставшиеся 2 литра в четырехлитровое ведро, где уже есть 2 литра. И тогда школьники увидят, что четырехлитровое ведро будет полностью заполнено. На пятом этапе обучающиеся формулируют полный ответ на поставленный вопрос задачи.

Таким образом, нестандартным задачам принадлежит ключевая роль в развитии у учащихся целостного восприятия истории развития математики и ее философского аспекта. Изучая математику, на уроке следует отметить, что использование исторических математических задач, сыгравших огромную роль в развитии математики, носит нетрадиционный характер.

Несмотря на недостаток урочного времени на работы с нестандартными задачами, им нужно уделять особое внимание. Чтобы достичь последнего, для школьников необходимо организовать занятия в форме математического кружка и элективного курса.