О подгруппах свободной двупорожденной бернсайдовой группы периода пять

Автор: Шлепкин А.А.

Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал @vestnik-sibsau

Рубрика: Математика, механика, информатика

Статья в выпуске: 4 (44), 2012 года.

Бесплатный доступ

Получены достаточные условия существования в B(2, 5) двупорожденных подгрупп, не изоморфных B(2, 5).

Проблема бернсайда, вычислительная теория групп

Короткий адрес: https://sciup.org/148176923

IDR: 148176923

Текст научной статьи О подгруппах свободной двупорожденной бернсайдовой группы периода пять

Одной из известных проблем теории групп является проблема Бернсайда о периодических группах фиксированного периода [1]. Эта проблема была поставлена английским математиком У. Бернсайдом в 1902 г. в следующей форме: пусть G – группа, порожденная m элементами, в которой каждый элемент в степени n равен единичному элементу группы. Будет ли такая группа конечной? Впоследствии эти группы получили название свободных бернсайдовых групп и обозначение B ( m , n ).

Перечислим известные к настоящему времени результаты по данным группам. Группа B ( m , n ) конечна для n = 2 (тривиальный случай), n = 3 [1], n = 4 ( m = 2) [1], для m > 2 [2], n = 6 [3]. Группа B ( m , n ) бесконечна для нечетных n > 665 [4] и для достаточно больших четных n [5; 6].

В 1950 г. В. Магнусом была поставлена еще одна проблема, известная как ослабленная проблема Бернсайда . В ней требовалось выяснить, существует ли максимальная конечная периодическая группа B 0 ( m , n ) с данным числом порождающих элементов m и фиксированным периодом n . Связь ослабленной проблемы

Бернсайда с основной проблемой сводится к тому, что если бы не существовало бесконечных периодических групп, то B ( m , n ) была бы максимальной конечной периодической группой при этих m и n .

Решение ослабленной проблемы Бернсайда для периода 5 приведено в [7]. Для других показателей, наименьший из которых n = 5, вопрос о конечности остается открытым.

Наибольший интерес представляют двупорожден-ная группа периода 5 (группа B (2, 5), поскольку эта группа имеет наименьший показатель и наименьшее число порождающих элементов в сравнении с другими бернсайдовыми группами, конечность которых не определена. Отметим два вопроса о подгруппах группы B (2, 5), поставленные Б. Б. Симсом [8], ответы на которые до настоящего времени не известны:

– вопрос 1 : существуют ли в B (2, 5) нециклические конечные подгруппы;

– вопрос 2 : существуют ли в B (2, 5), при условии ее бесконечности, бесконечная двупорожденная подгруппа периода 5, не изоморфная B (2, 5)?

Таблица 1

Порядковый номер соотношения в массиве [12]	Вид соотношения до замены v = 01, w = 10
1	Длина 30: 2 соотношения 011010010110010101100101101001 = 101010011001101010011001101010
2	010101100110010101100110010101 = 100101101001101010011010010110
22	Длина 32: 16 соотношений 01010110011010100110100101100101 = 10010110010110100110010101100110
23	01011001011010011010100110010101 = 10011001010110011010010110010110
25	01011010010110011010011010011001 = 10010101101010010101100110100110
26	01100101100110101001010110101001 = 10011001011001011001101001011010
27	01100110100101101001011010011001 = 10011001011010010110100101100110
28	01100110100110100110010110100101 = 10011010011001010110101001010110
29	01101001100101101001011001101001 = 10010110011010010110100110010110
30	01101010010101101010011001011001 = 10100101101001100101100101100110
33	01100110100110011001011001101001 = 10011001011001101001011010010110
34	01101001100101100110011010011001 = 10010110100101101001100101100110
36	01011010011001101001100110100101 = 10010101101010010110101001010110
42	01100101101010010110101001011001 = 10100101100110010110011001011010
44	01100110100110010110100101101001 = 10011001011001100110100110010110
45	01101001011010010110011010011001 = 10010110011010011001100101100110
46	01100110101001100101101001101001 = 10100110100101100101011001101010
47	01101001101001011001101010011001 = 10101001100101011001011010011010
223	Длина 34: 23 соотношения 0110011010100110010110010110100110 = 1001011010011010010101100110101001
225	0101100110101001100110101001100101 = 1010100110010101100101011001101010
228	0110101001100101011010011010010110 = 1001101001011001011001101010011001
232	0101100101101001101010011010100110 = 1001101010011010010110100110100101
233	0101100110101001100110011010100110 = 1001101010011010011010100110010101
234	0101101001101001011010011010100110 = 1001101010011010100110100101100101
235	0101011001101010011010011010100110 = 1001101010011001100110101001100101
248	0110010101100110010101100110100101 = 1010100101011001101010011010100110
249	0110010101100101011001101010010101 = 1010010110011010100110011010100110
250	0110010101100101100101101001100101 = 1010011001011010011010011010100110
251	0101100110100101100101100101011001 = 1001101010011010011010010110011010
252	0101101001100101011001100101011001 = 1001101010011010100110010101101010
253	0101010110100110100101100101011001 = 1001101010011001011010011010011010
254	0101011010100110010101100101011001 = 1001101010011001101010011001011010
266	0101101001010110011001010110100101 = 1010010110101001100110101001011010
274	0110010101100101011001011010011010 = 1010010110010110100101100101011001
276	0110010101100101101001011001011010 = 1010011010010110010101100101011001

Продолжение табл. 1

Порядковый номер соотношения в массиве [12]	Вид соотношения до замены v = 01, w = 10
278	0101100110010110010110011001011010 = 1010100101100110010101011001100101
279	0101100110010101011001100101101010 = 1010010110011001011001011001100101
284	0110100101100101101010011001010110 = 1001100101011001101001101001011001
295	0110010110100110100110010101100110 = 1001010110011010100101100101101001
296	0101011001101010011010100110010101 = 1010011001010110011001010110011010
297	0110100101011010011010010101101001 = 1001010110100110011001101001010110
1733	Длина 36: 48 соотношений 010101101001011001100101100101100110 = 100110010101011001100101101010010101
1734	010101101010010110011001010101100110 = 100110010110010110011001011010010101
1755	010110010110100101100101101010011001 = 101010011001100110101001101010011010
1757	011001011001101001011010010101011010 = 100110011001011001011001101010010101
1758	010101100101101001011001101010011001 = 100101101001011010010110010101011010
1764	011001101010011001011010010110010101 = 101001010101100101101001011010010110
1780	011001101010010110010110100101100101 = 101001101010011010100110011001101010
1781	010101101010011001011001011001100110 = 101001010101101001011010011001011001
1797	010101011010011010010110100101101001 = 101001011010011001010110011001010110
1798	010110010110010110011010100110011001 = 100101100101011001011010010110011010
1799	010110010110100101100101011001101010 = 101010011001010110010101100101101001
1801	011010010110010101100101011001101010 = 101010011001010110010110100101100101
1805	010101101001010110101001101010010101 = 101001010101101001011001100101100110
1806	010101101010011010100101011010010101 = 100110010110011001011010010101011010
1822	010101101001011010100110011010100101 = 101001010110011001010110100101101010
1823	010110101001100110101001011010010101 = 101010010110100101011001100101011010
1845	010101011001010110010101011001010110 = 100110100101011010100101011010011001
1846	010110100110011010011010010101101001 = 101001010110100110010101101001100110
1850	011001100101101010011001011010100101 = 100101101010010110010110011001011010
1853	010101011010011001011010011010011010 = 100110011010100110100101100101011001
1855	010110011010100110011001010110011010 = 100101011001101010010101100110101001
1856	010110011010100110011010010110010110 = 101001011001011010010101100110101001
1857	011001101010010110100101011010100101 = 101001010110101001011010010101100110
1859	011001011010011010011010100110010101 = 101010011001010110010110010110100110
1860	011010011010010110011001010110011010 = 100101011001101010010110100110100101
1861	011010011010010110011010010110010110 = 101001011001011010010110100110100101
1862	011010011010100110011001010110010110 = 100101011001011010010110100110101001
1891	010110101001011001101010010110011001 = 101001011001100101100101101010010110
1893	010101100110101001101001101001011001 = 100110100101100101100101011001101010
1894	010110100110100101101001011001011010 = 100101100101101001100101101001101001
1895	010110100110100101101010011001010110 = 101001100101011001100101101001101001
1896	010110101001010110100101101010011001 = 100110010101101001011010100101011010
1900	011001010110010110100110101001100110 = 101001101001101001011001101001010101
1901	011010100110010101101001011001011010 = 100101100101101001100110101001100101
1902	011010100110010101101010011001010110 = 101001100101011001100110101001100101
1903	011010100110100101101001011001010110 = 100101100101011001100110101001101001
1906	011001101001010110101001010110100110 = 100101011001010101100101011001010101
1907	011010010101101001101001100110100101 = 100110011010010101100110100101011010
1933	010101100110101001101001011010011010 = 100101101001101010011010100110010101
1934	010101100110101001101010011010010110 = 101001101001011010011010100110010101
1935	011001101010011001011001101010011001 = 100110101001100101010110011010100110
1936	011010011001101001011010011001101001 = 101001100110100101010110100110011010

Окончание табл. 1

Порядковый номер соотношения в массиве [12]	Вид соотношения до замены v = 01, w = 10
1981	010110100101101001011010100110100110 = 101001011010010110011010011010011001
1997	010101011001011010010110100101100101 = 101010011001101010011001011010010110
1998	010110101001101001101010010110101001 = 101001010101100101100101010110010110
2027	010101011001100101100101100110100101 = 100101100110101001010110101001101010
2035	010101011010010110011001011001100101 = 100101101010010110101001011001101010
2036	011010100101101010011010011010100101 = 100101100101010110010110010101011010

Таблица 2

Порядковый номер соотношения в массиве [12]	Вид соотношения после замены v = 01, w = 10
1	Длина 30: 2 соотношения vwwvvwvvvwvvwwv = wwwvwvwwwvwvwww
2	vvvwvwvvvwvwvvv = wvvwwvwwwvwwvvw
22	Длина 32: 16 соотношений vvvwvwwwvwwvvwvv = wvvwvvwwvwvvvwvw
23	vvwvvwwvwwwvwvvv = wvwvvvwvwwvvwvvw
25	vvwwvvwvwwvwwvwv = wvvvwwwvvvwvwwvw
26	vwvvwvwwwvvvwwwv = wvwvvwvvwvwwvvww
27	vwvwwvvwwvvwwvwv = wvwvvwwvvwwvvwvw
28	vwvwwvwwvwvvwwvv = wvwwvwvvvwwwvvvw
29	vwwvwvvwwvvwvwwv = wvvwvwwvvwwvwvvw
30	vwwwvvvwwwvwvvwv = wwvvwwvwvvwvvwvw
33	vwvwwvwvwvvwvwwv = wvwvvwvwwvvwwvvw
34	vwwvwvvwvwvwwvwv = wvvwwvvwwvwvvwvw
36	vvwwvwvwwvwvwwvv = wvvvwwwvvwwwvvvw
42	vwvvwwwvvwwwvvwv = wwvvwvwvvwvwvvww
44	vwvwwvwvvwwvvwwv = wvwvvwvwvwwvwvvw
45	vwwvvwwvvwvwwvwv = wvvwvwwvwvwvvwvw
46	vwvwwwvwvvwwvwwv = wwvwwvvwvvvwvwww
47	vwwvwwvvwvwwwvwv = wwwvwvvvwvvwwvww
223	Длина 34: 23 соотношения vwvwwwvwvvwvvwwvw = wvvwwvwwvvvwvwwwv
225	vvwvwwwvwvwwwvwvv = wwwvwvvvwvvvwvwww
228	vwwwvwvvvwwvwwvvw = wvwwvvwvvwvwwwvwv
232	vvwvvwwvwwwvwwwvw = wvwwwvwwvvwwvwwvv
233	vvwvwwwvwvwvwwwvw = wvwwwvwwvwwwvwvvv
234	vvwwvwwvvwwvwwwvw = wvwwwvwwwvwwvvwvv
235	vvvwvwwwvwwvwwwvw = wvwwwvwvwvwwwvwvv
248	vwvvvwvwvvvwvwwvv = wwwvvvwvwwwvwwwvw
249	vwvvvwvvvwvwwwvvv = wwvvwvwwwvwvwwwvw
250	vwvvvwvvwvvwwvwvv = wwvwvvwwvwwvwwwvw
251	vvwvwwvvwvvwvvvwv = wvwwwvwwvwwvvwvww
252	vvwwvwvvvwvwvvvwv = wvwwwvwwwvwvvvwww
253	vvvvwwvwwvvwvvvwv = wvwwwvwvvwwvwwvww
254	vvvwwwvwvvvwvvvwv = wvwwwvwvwwwvwvvww
266	vvwwvvvwvwvvvwwvv = wwvvwwwvwvwwwvvww
274	vwvvvwvvvwvvwwvww = wwvvwvvwwvvwvvvwv
276	vwvvvwvvwwvvwvvww = wwvwwvvwvvvwvvvwv
278	vvwvwvvwvvwvwvvww = wwwvvwvwvvvvwvwvv
279	vvwvwvvvvwvwvvwww = wwvvwvwvvwvvwvwvv
284	vwwvvwvvwwwvwvvvw = wvwvvvwvwwvwwvvwv
295	vwvvwwvwwvwvvvwvw = wvvvwvwwwvvwvvwwv

Окончание табл. 2

Порядковый номер соотношения в массиве [12]	Вид соотношения после замены v = 01, w = 10
296	vvvwvwwwvwwwvwvvv = wwvwvvvwvwvvvwvww
297	vwwvvvwwvwwvvvwwv = wvvvwwvwvwvwwvvvw
1733	Длина 36: 48 соотношений vvvwwvvwvwvvwvvwvw = wvwvvvvwvwvvwwwvvv
1734	vvvwwwvvwvwvvvvwvw = wvwvvwvvwvwvvwwvvv
1755	vvwvvwwvvwvvwwwvwv = wwwvwvwvwwwvwwwvww
1757	vwvvwvwwvvwwvvvvww = wvwvwvvwvvwvwwwvvv
1758	vvvwvvwwvvwvwwwvwv = wvvwwvvwwvvwvvvvww
1764	vwvwwwvwvvwwvvwvvv = wwvvvvwvvwwvvwwvvw
1780	vwvwwwvvwvvwwvvwvv = wwvwwwvwwwvwvwvwww
1781	vvvwwwvwvvwvvwvwvw = wwvvvvwwvvwwvwvvwv
1797	vvvvwwvwwvvwwvvwwv = wwvvwwvwvvvwvwvvvw
1798	vvwvvwvvwvwwwvwvwv = wvvwvvvwvvwwvvwvww
1799	vvwvvwwvvwvvvwvwww = wwwvwvvvwvvvwvvwwv
1801	vwwvvwvvvwvvvwvwww = wwwvwvvvwvvwwvvwvv
1805	vvvwwvvvwwwvwwwvvv = wwvvvvwwvvwvwvvwvw
1806	vvvwwwvwwwvvvwwvvv = wvwvvwvwvvwwvvvvww
1822	vvvwwvvwwwvwvwwwvv = wwvvvwvwvvvwwvvwww
1823	vvwwwvwvwwwvvwwvvv = wwwvvwwvvvwvwvvvww
1845	vvvvwvvvwvvvvwvvvw = wvwwvvvwwwvvvwwvwv
1846	vvwwvwvwwvwwvvvwwv = wwvvvwwvwvvvwwvwvw
1850	vwvwvvwwwvwvvwwwvv = wvvwwwvvwvvwvwvvww
1853	vvvvwwvwvvwwvwwvww = wvwvwwwvwwvvwvvvwv
1855	vvwvwwwvwvwvvvwvww = wvvvwvwwwvvvwvwwwv
1856	vvwvwwwvwvwwvvwvvw = wwvvwvvwwvvvwvwwwv
1857	vwvwwwvvwwvvvwwwvv = wwvvvwwwvvwwvvvwvw
1859	vwvvwwvwwvwwwvwvvv = wwwvwvvvwvvwvvwwvw
1860	vwwvwwvvwvwvvvwvww = wvvvwvwwwvvwwvwwvv
1861	vwwvwwvvwvwwvvwvvw = wwvvwvvwwvvwwvwwvv
1862	vwwvwwwvwvwvvvwvvw = wvvvwvvwwvvwwvwwwv
1891	vvwwwvvwvwwwvvwvwv = wwvvwvwvvwvvwwwvvw
1893	vvvwvwwwvwwvwwvvwv = wvwwvvwvvwvvvwvwww
1894	vvwwvwwvvwwvvwvvww = wvvwvvwwvwvvwwvwwv
1895	vvwwvwwvvwwwvwvvvw = wwvwvvvwvwvvwwvwwv
1896	vvwwwvvvwwvvwwwvwv = wvwvvvwwvvwwwvvvww
1900	vwvvvwvvwwvwwwvwvw = wwvwwvwwvvwvwwvvvv
1901	vwwwvwvvvwwvvwvvww = wvvwvvwwvwvwwwvwvv
1902	vwwwvwvvvwwwvwvvvw = wwvwvvvwvwvwwwvwvv
1903	vwwwvwwvvwwvvwvvvw = wvvwvvvwvwvwwwvwwv
1906	vwvwwvvvwwwvvvwwvw = wvvvwvvvvwvvvwvvvv
1907	vwwvvvwwvwwvwvwwvv = wvwvwwvvvwvwwvvvww
1933	vvvwvwwwvwwvvwwvww = wvvwwvwwwvwwwvwvvv
1934	vvvwvwwwvwwwvwwvvw = wwvwwvvwwvwwwvwvvv
1935	vwvwwwvwvvwvwwwvwv = wvwwwvwvvvvwvwwwvw
1936	vwwvwvwwvvwwvwvwwv = wwvwvwwvvvvwwvwvww
1981	vvwwvvwwvvwwwvwwvw = wwvvwwvvwvwwvwwvwv
1997	vvvvwvvwwvvwwvvwvv = wwwvwvwwwvwvvwwvvw
1998	vvwwwvwwvwwwvvwwwv = wwvvvvwvvwvvvvwvvw
2027	vvvvwvwvvwvvwvwwvv = wvvwvwwwvvvwwwvwww
2035	vvvvwwvvwvwvvwvwvv = wvvwwwvvwwwvvwvwww
2036	vwwwvvwwwvwwvwwwvv = wvvwvvvvwvvwvvvvww

Теорема. Пусть в B (2, 5) выполнено хотя бы одно соотношение из табл. 1. Тогда в B (2, 5) существуют двупорожденные подгруппы, не изоморфные B (2, 5) .

Доказательство. Если B (2, 5) – конечная группа, то, как показано в [7], ее порядок равен 5 34 и, следовательно, B (2, 5) содержит нециклические конечные подгруппы. Пусть B (2, 5) – бесконечная группа. Положим v = 01, w = 10 и рассмотрим в B (2, 5) подгруппу H = , w>. Тогда в H должно выполняться хотя бы одно соотношение из табл. 2.

Используя вычисления на основе алгоритма из [13], можно убедиться в том, что левая и правая части любого соотношения из табл. 2 инвариантны, т. е. не меняются, по применению к ним указанного алгоритма. Последнее означает, что в B (2, 5) левая и правая части любого соотношения из табл. 2, поскольку их длины в терминах образующих v и w не превосходят 29, – это различные элементы указанной группы (см. теорему 2) [10]. Таким образом, подгруппа H не изоморфна B (2, 5) и, следовательно, H – собственная подгруппа группы B (2, 5). Если H – бесконечная группа, то утверждение теоремы выполнено.

Пусть теперь H – конечная группа. Покажем, что она отлична от циклической группы порядка 5. Предположим обратное. Тогда H = , w> = = – циклическая группа порядка 5. Рассмотрим в B(2, 5) автоморфизм φ порядка 2, который на образующих 0, 1 действует следующим образом: φ(0) = 1, φ(1) = 0. Нетрудно видеть, что φ(v) = w и φ(w) = v и φ(H) = H. Так как φ – нетривиальный автоморфизм порядка 2 группы H, то φ(x) = v–1 = v4. Следовательно, v4 = w и 01010101 = 10. Домножив обе части последнего равенства слева на 01, получим 0101010101 = 0110 = e, где e – единица группы H. Следовательно, 0–2 = 12 и, как легко видеть, 01 = 10 = e. Таким образом, B(2, 5) – абелева, что невозможно.

Теорема доказана.

Таким образом, в данной статье с использованием вычислений на ЭВМ получен новый результат, дающий достаточные условия существования в группе B (2, 5) двупорожденных подгрупп, не изоморфных B (2, 5).

Статья научная