О поле рассеяния в плоскослоистом волноводе

Задачам рассеяния звука на неоднородностях в условиях наличия границ, в том числе и в случае, когда сам излучатель является рассеивателем, посвящено достаточное количество работ. Укажем лишь на последние по времени публикации [ 1-15 ] . Важное прикладное значение в этом ряду задач занимают задачи рассеяния на неоднородностях в условиях наличия поверхности и дна [ 1, 4, 5, 10, 11, 13, 14. ] . Эти работы отличаются наличием существенного ограничения — в них полагается справедливым допущение об отсутствии влияния границ и неоднородностей среды на амплитуду рассеяния неоднородности. В работе [ 15 ] учтено влияние границ волновода на результирующую амплитуду рассеяния, однако среда полагается однородной.

В настоящей работе получены выражения для результирующего поля непрозрачного излучателя с учетом рассеяния на нем излученного им первичного поля, а также для поля рассеяния на неоднородном включении, находящемся в зоне Фраунгофера поля нормальных волн, излученных сторонним излучателем в стратифицированном волноводе. При этом остается только одно ограничение — изменения свойств среды в пределах области, занятой рассеивателем, пренебрежимо малы.

Поставим задачу. Пусть непрозрачный излучатель, рассеивающий излученные им самим волны, или рассеиватель, на котором рассеиваются приходящие волны, находится в плоскослоистом волноводе. Пусть слой жидкости минимальной толщины A z = 2 h , включающий в себя рассеиватель, является однородным. По всей остальной толщине волновода свойства жидкости могут меняться. Необходимо найти суммарное поле в первом случае и поле рассеяния — во втором.

ПОЛЕ НЕПРОЗРАЧНОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ

Для решения поставленной задачи воспользуемся полученными в работе [ 12 ] выражениями, связывающими суммарную амплитуду рассеяния с диаграммной функцией (дф) источника первичных волн. Напомним постановку задачи, принятую в этой работе. В однородном полупространстве с границей z = 0 (ось 0 z направлена вниз), характеризующейся коэффициентом отражения V 1 (0, £ ) (первый аргумент, равный нулю, говорит о том, что функция V 1 рассматривается при z = 0), находится непрозрачный излучатель с дф первичного поля D i 0 ( § ), i = 1,2, который как рассеиватель характеризуется амплитудой рассеяния T m^! ( 5 p , ^ 5 ), l , m = 1,2. Физический смысл последней функции таков. При падении на рассеиватель плоской волны с волновым вектором k _p = ( ^ p , a m ) единичной амплитуды и нулевой фазы в точке геометрического центра рассеивателя ( x 0 , y 0 , z 0 ) снизу ( m = 1) или сверху ( m = 2) возникает рассеянная волна с амплитудой рассеяния T_m^l ( ξ p , ξ s ). При l = 1 поле рассеяния рассматривается выше, а при l = 2 — ниже неоднородности. Здесь k ₅ = ( ^ ₅ , a _l )— волновой вектор рассеянного поля; |k p | = |k J = k = to / c — волновое число; a l = ( - 1) ^l ( k ² - £ ²)^1/2 и ^ = |^| = ( k 2 x + k 2 y )^1/2— вертикальная и горизонтальная составляющие волнового вектора соответственно. Тогда справедливы следующие выражения [ 12 ]

т t« 5 ) - M^ p , ? 5 )exp(2 ja ( $ _p ) z a ) V t (0, 5 p ) T^ d $ p = D °t ( ? , ),                (1)

R 2 p                  ^{p            p a (} $ p ) ^p

T 2 ( 5 s ) = J T 2 ( 5 p , 5 s ) exp(2 j a ( i p ) z ₀ )V , (0, i p )

R ²

^2 d i ,. a ( i p ) ^p

Если представить ситуацию таким образом, что исходный излучатель звукопрозрачен, а поле рассеяния, обусловленное наличием границы, создается неким вторичным излучателем, то дф D /( 5 ) последнего связана с функциями T ( 5 ) следующим образом        D 11 ( 5 ) = T ( 5 ) — D ° ( 5 ),

D 1 ( 5 ) = T 2 ( 5 ).

Легко показать, что в однородном случае справедливо следующее тождество

• V 1 ( z , i ) = exp(2 ja(i ) z )V , (0, i ) .         (3)

Здесь V , ( z , i ) — коэффициент отражения на горизонте z . Учитывая (3), перепишем (1) и (2)

T 1 ( 5 s ) -

, ,                    T i ( 5 J

• - ^( 5 p , 5 s ) V i ( z о , i p ) — df p =      (1а)

R 2                        ^{a ( f}p )

= D 01 ( 5 s ),

T 2 ( 5 s ) =

, .                      T 1 (5„)              (2а)

= J t 22 ( 5 p , 5 s ) V , ( z о , i p ) — d i p .

'2                          ^{a ( f} p ⁾

Совершенно аналогично тому, как это сделано в [ 12 ] , могут быть получены выражения в ситуации, когда рассматривается полупространство z е ( -” , H ], H >  z ₀ >  0, когда граница z = H с коэффициентом отражения V ₂( H , i ) находится под излучателем-рассеивателем

T 2(5s) - г .                   t2(5J

- J ₂ T 1 ²( 5 p , 5 s ) V 2 ( z 0 , i p ) a yry ^d i p =

= D 02 ( 5 s ),                                     ⁽⁴⁾

T 1 ( 5 s ) =

= J t /(5 p , 5 s ) V 2 ( z 0 , i p ) T²^ d i p .      (5)

R 2                        ^{a ( i}p ⁾

Дф D ¹ ( 5 ), i = 1,2, вторичного излучателя, обусловленного нижней границей, определяется следующим        образом:          D 1 ( 5 ) = T 1 ( 5 ),

D 2 ( 5 ) = T 2 ( 5 ) - D ^o2(5 ).

Рассмотрим далее ситуацию, когда излучатель-рассеиватель находится в жидком плоскослоистом волноводе глубиной H со следующим распределением волнового параметра по глубине

k ^{( z )}

to

c ^{( z} )

k 1^{( z} X                             z ^е [0, z 0 ^- h ],

- k 2 ( z ),                             z е [ z 0 + h , H ],

. k 0 = k 1 ( z 0 - h ) = k 2 < z 0 + h ), z е ( z 0 - h , z 0 + h ).

Здесь h — величина, превышающая или равная половине вертикального размера излучателя-рассеивателя, геометрический центр которого находится в точке (0,0, z ₀).

Для решения задачи необходимо рассмотреть два гипотетических полупространства. Первое — с границей z = 0, коэффициентом отражения V1 и распределением

волнового

параметра

k ( z ) =

^k 1^{( z} X ^{z е [0, z} 0 ^{- h ]}

и второе — с грани- _ k 0 ,      z ^е ( z 0 ^- h , ~ )

цей z = H , коэффициентом отражения V ₂ и распределением волнового параметра

k ( z ) =

^k 0 , ^{z е ( -} ” , ^z 0 ^{+ h} X _ k 2 ( z ), z е [ z 0 + h , H ].

Тогда выражения (1а), (2а) остаются справедливыми для первого полупространства, а выражения (4), (5) — для второго полупространства. Известно [ 16, с. 285 ] , что коэффициенты отражения V 1 ( z ₀, i ) и V ₂( z ₀, i ), фигурирующие в этих выражениях, могут быть выражены через функции Z i ( z , i ), i = 1,2, являющиеся решениями следующей поперечной задачи

(д2/ di2 + k 2( z) - i2) Zi( z ,i) = 0, i = 1,2, где Z,(z,5) удовлетворяет краевому условию на границе z = 0, а Z2(z,5) — на границе z = H

V i ( z о , 5 ) =

= a( z о,5) Zi'( z о,5) + (-1)i jд Zi(z 0,5Удz a(zо,5)Zi(zо,5) + (-1)i-1 jдZi(zо,5)/дz ’ i = 1,2.

Здесь a (z о , 5 ) = ( k ²( z о ) - 5 ²)^1/2.

После подстановки V 1 и V ₂ из (7) соответственно в (1а), (1б) и (4), (5) могут быть получены дф вторичных источников D i и D i , i = 1,2, обусловленных однократным учетом соответственно верхней и нижней границ рассматриваемого волновода с распределением волнового параметра (6). Далее для получения совокупной диаграммной функции излучателя-рассеивателя, состоящей из суммы исходной дф излучателя Di⁰ и суммарной амплитуды рассеяния непрозрачного излучателя D i , i = 1,2, обусловленной многократным влиянием неоднородностей (границ и неоднородностей среды), должна быть использована техника, описанная в работе [ 15 ] , заключающаяся в следующем. Вторичный излучатель, обусловленный однократным влиянием верхней границы с дф D¹ (нижний индекс i для удобства опущен), вызовет рассеяние на реальном излучателе, обусловленное влиянием нижней границы, что создаст вторичный излучатель с дф D ² (двойка в верхнем индексе говорит о двукратном участии границ в образовании данного вторичного излучателя, черта снизу — о том, что данный вторичный излучатель обусловлен влиянием нижней границы). Дф D ² может быть получена с помощью выражений (4), (5), (7). При этом в правой части интегрального уравнения (4) должна фигурировать функция D 2 . Аналогично дф D ² вторичного излучателя, обусловленного влиянием верхней границы и наличием вторичного излучателя с дф D ¹, вычисляется с помощью выражений (1а), (1б), (7), причем в правой части интегрального уравнения (1а) должна фигурировать функция D 1 . Совершенно аналогично рекуррентно могут быть найдены дф всех последующих высших вторичных источников. Таким образом, результирующая дф первичного и рассеянного полей характеризуется следующей суммой

D = D ^о + D ¹ + D ² + ...              (8)

Здесь D¹ = D ¹ + D 1 , D ² = D ² + D² и т.д.

Исходя из физических соображений можно утверждать, что ряд (8) должен сходиться, однако в каждом конкретном случае волновода, излучателя-рассеивателя, частоты и геометрии задачи необходимо оценивать ошибку при оценке ряда (8) конечной суммой. В работе [ 15 ] приведены такие оценки для случая идеального волновода и сферического рассеивателя.

РАССЕЯНИЕ НА НЕОДНОРОДНОМ ПАССИВНОМ РАССЕИВАТЕЛЕ

К описанной выше схеме сводится и случай, когда на рассеиватель падает первичная волна, излученная другим источником, по отношению к которому рассеиватель находится в зоне Фраунгофера, и нормальные волны в слое, заключающем рассеиватель, можно представить как совокупность квазиплоских волн. Тогда первичное поле однородных нормальных волн и _о в области расположения рассеивателя имеет следующую асимптотику:

N u о =(r)-1/2 У cnV(z, 5n )exp(j5„r), (9) n=1

где ^ ( z, 5 _n ), 5 _n ² — собственные функции и собственные значения задачи ( д ²/ д 5 ² + k ²( z ) - 5 ²) ^ ( z , 5 ) = о с соответствующими краевыми условиями на границах z = о и z = H .

Пусть ( r, ф ,z_s ) — координаты геометрического центра рассеивателя; (о, z _о)— координаты геометрического центра источника первичного поля. Исходя из предположения о локальной однородности слоя Q _о = { x , y е R², z е [ z s - h , z s + h ]}, где 2 h — вертикальный размер рассеивателя, можно записать [ 17 ]

^ ⁽ z , ⁵ ) =

= a n e ^X P ^{( ja}n ⁽ z s ⁾⁽ z ^- z s )) ⁺

⁺ a - ^eX P ^{( - j a} n ⁽ z s ^{)( z -} z s )),          (10)

z е [zs - h, zs + h], где

- +

a

n

\ , ( j «„ ⁽ z s )¥( z s , ⁵ n ) ± V z ⁽ z s , ⁵ n ) ) , (11) ² J^a„ ⁽ z s )

a n ( z ) = ( k ²( z ) - 5 ² n )^1/2. Полагая, что в зоне

Фраунгофера множитель exp(j5nr) достаточно точно описывает горизонтальную составляющую плоской волны в окрестностях рассеивателя и,  подставляя (10), (11) в (9), имеем p^^n+        +

u0   / 1     1/2    bn exp(j(kn (x xs ))) + bn exp(j(kn (x xs )))1,        x t^0, n=1     r где bn± = Cnan , k„ = (J,ф,± а(zs)) — волновые векторы плоских волн, обусловленных полем (9) и приходящих на рассеиватель; x = (x, y, z) — координаты текущей точки; X s — координаты геометрического центра рассеивателя.

Сумма плоских волн (12) вызывает первичное поле рассеяния с совокупной амплитудой рассеяния, которая, очевидно, равна

D Si ( § s ) =

_ Л / exp ⁽ j^_nr )

= /1. n=1 I xbn+T(§*n,§s,ko) + bn-T((§*n,§s,кo)]} i = 1,2.

Здесь § n = (jn, ф) — горизонтальная составляющая волнового вектора падающей волны; § s = (js ,ф5) — горизонтальная составляющая волнового вектора рассеянной волны (отсчет угла ф5 осуществляется относительно точки геометрического центра рассеивателя); величины, индексованные буквой s, относятся к рассеянному полю; аргумент к0 в функциях Tm(§*n,§s,к0), m = 1,2, говорит о том, что соответствующие функции должны быть рассчитаны в однородном пространстве с волновым числом к0. Отметим, что первый аргумент функций Tm (§ *n, § s, к0) — § *n принимает значения на дискретном , а второй — §s на непрерывном множествах.

После получения первичной амплитуды рассеяния (13) может быть запущен механизм расчета полного поля рассеяния, описанный в первой части статьи, где роль дф первичного поля D_i ⁰ исполняет функция D^ i ( §_s ) из (13).

После вычисления результирующей дф излучателя-рассеивателя D _i либо амплитуды рассеяния в случае пассивного рассеивателя D_{s , i} может быть рассчитано его поле в рассматриваемом волноводе. Так, например, поле нормальных волн имеет вид [ 18 ]

u " ( r , z )

- J ^ j ^{D j} ) A + ^{( z} , ^{J n} ) ⁺ D ^x) A ^{( z} , ^{J n} )_V ( z , z ) exp( j J r -n / 4)) j ^1/2, V ^r Z1              a n ( z ) N n

где

A ± ⁽ z, ^ n ) = ¥ ⁽ z, ^ n ) j ^a n ⁽ z ) ± ^ z ⁽ z , ^ n ) ; N n = ^ ⁽ H , ^ n ) d j ( ^'_z ⁽ H , ^ ) ⁺ g ⁽ ^ ) w ⁽.H , ^ ) ) ₅ =_{5 n} ; g ( j ) — входной адмитанс нижней границы.

Выражение (14) описывает оба рассмотренных в статье случая: излучателя-рассеивателя и пассивного рассеивателя. В первом случае в (14) u — первичное поле, D i , i = 1,2 , — суммарная дф, во втором — это соответственно поле рассеяния и совокупная амплитуда рассеяния D_i = D_{s , i} ; z ^' — аппликата геометрического центра соответствующего рассеивателя, а r отсчитывается от этого центра.

Отметим, что в случае если ограничиться нулевым приближением для совокупной амплитуды рассеяния в виде (13), то (14) сведется к получен -ным ранее в работах [ 11, 13, 14 ] выражениям.

ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ

В заключение приведем выражение (13) для случая рассеивателя в виде абсолютно мягкой сферы и идеального волновода. Амплитуда рассеяния такой сферы равна [ 19 ]

T(М^ ф ) = A +

+ B ( cos У cos ^ _s + sin У sin # _s cos( ф - ф ₅ ) ) ,

A = - R_n + ² к ² R _o¹ + jkR. ² ; B = - к ² R _o³, 0   00     0

где R ₀ — радиус сферы.

Элементарные вычисления дают

T^ ( 0 , ф , 0 _s, ф _s ) = T 2 ( 0 , ф , 0 _s, ф _s ) = A + B ( - cos 0 cos 0 _s + sin 0 sin 0 _s cos( ф - ф _s ) )

Т 1 ( 0 , ф , 0 _s, ф _s ) = T 2 0, ф , 0 _s, ф _s ) = A + B ( cos 0 cos 0 _s + sin 0 sin 0 _s cos( ф - ф _s ) )

ф , ф s e [0,2 n ]; 0 , 0 s e [0,^ - j ~ ).

Здесь 0 , ф , 0 _s, ф _s — сферические координаты векторов k на сфере радиусом к ₀ при изменении £ e [0, ~ ).

Полагая ф = 0 в (15) и подставляя его в (13), имеем

D °1( 0 S , Ф s ) = 1 ^p jr-C n L ( Z s , ^ n )( A + B sin 0 n sin 0 s ) - ^ z ⁽ z s ^, ^ " ) B cos Ф s ^,                       r L                                         j “ n ⁽ Z s )

D s ^O2 ^{( 0} s , Ф s ) = У ^xp^ j l n r ) c n _¥ ⁽ z s , ^ n ⁾⁽ A + B sin ⁰ n sin ⁰ s ) + ^¥ z ⁽ z s ^, ^ ” ) B cos ф s n "1     r                                                 J«„ ⁽ Z s )

Здесь 0 = arcsin ^n- . В k 0

случае идеального

волновода с абсолютно мягкой верхней и жесткой нижней границами, когда первичное поле создается точечным источником, находящимся на глубине z0 , константы cn равны i 8n cn =~^У ^sin(anz0)exp(-Jn/4)-H Un

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены выражения, позволяющие решать задачи дифракции на излучателях и пассивных рассеивателях практически для любых случаев регулярных океанических волноводов с единственным ограничением на однородность слоя Q ₀, содержащего неоднородное включение. В случае, если слой Q 0 не является однородным, можно воспользоваться результатами работы [ 17 ] , где приведены условия, при которых Q 0 с малой погрешностью можно считать однородным.