О полунормальных функторах, обладающих инвариантным продолжением на категорию Tych

В статье А. Ч. Чигогидзе [6] предложена конструкция продолжения нормального функтора с категории Comp всех компактов и их непрерывных отображений на категорию Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений. Ключевой вопрос при этом: как связаны свойства продолжения со свойствами самого функтора?

В данной статье вводится понятие инвариантности продолжения функтора. При этом всякий нормальный функтор в категории Comp обладает инвариантным продолжением на Tych, и именно это обеспечивает свойство непрерывности продолжения такого функтора [6; 24]. Основной результат работы – это критерий инвариантности продолжения для полунормальных функторов конечной степени (теорема 1).

Пусть F : Comp → Comp – произвольный по-лунормальный функтор. Для всякого тихоновского пространства X , следуя Чигогидзе, положим

F _e ( X) = { £ е F ( в Х ): supp ^ с X }, где β X – стоун-чеховская компактификация пространства X , supp ξ – носитель точки ξ [7;

22]. Для тихоновских пространств X и Y и непрерывного отображения f : X → Y определим F e ^{( f} ) = F ^{( в} f )l F _e ( x ) , где в f : в Х ^ e Y — чеховское продолжение отображения f . Нетрудно убедиться в корректности определения отображения F _p ( f ). Для этого достаточно проверить включение F( P f )( F p ( X )) ^с F e ( Y ), используя свойство носителей для полунормального функтора F : g ( supp ^) ^ supp ( F ( g )( £ )), где g : Z → T – непрерывное отображение компактов и ^ Е F ( Z ) [5; 166]. Таким образом, конструкцию продолжения функтора по Чигогидзе можно применить к полунормальным функторам.

При установлении непрерывности продолжения нормального функтора F ключевую роль играет наличие естественного гомеоморфизма между пространствами F _e ( х ) и F b ( X ) = { ^ е F ( bX ):. supp ^ с X }, где bX - произвольное компактное расширение X (см. предложение 1 [6; 24]). Результатом анализа этого факта является следующее

Определение. Пусть F: Comp → Comp – полу- нормальный функтор, bX – произвольная компактификация тихоновского пространства X и f: βX→ bX – естественное отображение [1; 106]. Будем говорить, что функтор F обладает инвариантным продолжением на категорию

Tych, если для любого тихоновского простран- ства X и любого его компактного расширения bX отображение F(f) |F (X) является гомеоморфизмом между пространствами Fe (X) и Fb (X).

Для доказательства основных результатов нам понадобятся вспомогательные утверждения.

Предложение 1. Пусть X , Y – компакты, f : X → Y – непрерывное отображение, A – всюду плотное подмножество X , ^B ⊂ ^Y и f I A : A ^ B - биекция. Отображение f I A является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда f ( ^ ) ё B для любой точки ^ E X \ A .

Доказательство. Необходимость. Допустим, что f |A – гомеоморфизм, но при этом найдется точка § EX \ A, такая, что f (^) = b EB. Так как f IA - биекция, то f (§) = f (a ) = b для некоторой точки a∈ A. Пусть Oa и Oξ – непересекающие- ся окрестности точек a и ξ в X. Поскольку f |A – открытое отображение, множество f |A (Oa П A) = UB (b) - окрестность точки b в B. Пусть U(b) - открытое в Y множество, такое, что UB(b) = U(b) П B. В силу непрерывности f для точки ξ найдется окрестность O′x⊂Ox, удовлетворяющая условию f (O‘X) c U(b). Легко проверить, что 0 ^ f |A (O‘X n A) C UB (b). А значит, f |A (O £ П A) П f |A (Oa П A) ^ 0, что противоречит биективности f |A .

Достаточность. Пусть f ( ^ ) ё B для любого ^ Е X \ А. Чтобы показать, что f | является гомеоморфизмом, достаточно проверить замкнутость отображения f | A , которая сразу следует в этом случае из замкнутости f . □

В дальнейших рассуждениях через n обозна- чается не только натуральное число, но и дискретное пространство, состоящее из n точек. Отображение Басманова [3]

П п : X n х F ( п ) - F ( X )

для полунормального функтора F и компакта X определяется равенством П ( x , £ ) = F ( x )( £ ), ^в котором каждая точка x ∈ Xⁿ отождествляется с отображением x : n ^ X . Отображение n n непрерывно и Imn n = F n ( X ), где F n ( X ) = { £ E F ( X ): | supp ^ | < n}. В случае degF = n отображение _n является отображением «на» [8; 129].

Предложение 2. Если F : Comp → Comp – по-лунормальный функтор и degF = n, то F b ( X ) всюду плотно в F ( bX ) для любого тихоновского пространства X и любого его компактного расширения bX .

Доказательство. Выберем произвольно точку ^ Е F(bX) и ее окрестность О§ в F(bX). Рассмотрим отображение Басманова nn :(bX)n х F(n) ^ F(bX).

Отображение π сюрьективно, значит, суще-ствуетточка t = ( y 1 ,y 2 ,..,y n , n ) ,такая,что n n ( t ) = ^ . Поскольку π непрерывно, то найдется Ot – окрестность точки t , для которой n n ( Ot ) c O ^ . Очевидно, окрестность Ot содержит некоторое множество T = Oy 1 x Oy 2 x .„ x Oy n x { n }. Пространство X всюду плотно в bX , значит, для любого i = 1, ^ , n существует точка x. E Oy i О X . Нетрудно проверить, что § 1 = n n ( х 1 , x 2 , ^ , x n , n ) E O ^ и suppE. 1 с X , т. е. § 1 E F b ( X ). □

Для любых k и m , таких, что 0 <  k <  m, определим отображение g m : m ^ m , которое действует по правилу g m ( i ) = i при i = 0,..., k - 1 ^и g k ( j ) = k при ^j = ^k , . , ^{m - 1.}

Теорема 1. Полунормальный функтор F: Comp → Comp конечной степени обладает инвариантным продолжением на категорию Tych тогда и только тогда, когда для любой точки ^ EF(n) с носителем supp^ = m c n (m > 2)

и для любого 0 ≤ k ≤ m - 2 выполняется условие suppF ( g k )( £ ) k 1 .

Доказательство. Необходимость. Пусть F(f )lF (X) - гомеоморфизм для любого тихоновского пространства X и любого его компактного расширения bX . Допустим, что найдутся точка § ЕF(n) с носителем suppX = m c n и число k s m- 2, такие, что suppF(gk)(X) C k = = {0,^, k-1}.

Возьмем в качестве X счетное дискретное пространство N . В β N выберем m -элементное множество следующим образом: { x ₀, x 1 , . , x k _{- 1}} c C N C e N , { x k , x k _{+ 1}, . , x_m _ j } C p N \ N . Рассмотрим фактор-пространство β N по разбиению, единственным нетривиальным элементом которого является множество { x ,...,x }. Очевидно, что k ,    , m - 1

это фактор-пространство является компактным расширением bN , а факторное отображение f:βN→ bN – естественным отображением ком- пактных расширений. Точку {xk,...,xm-1} EbN бу- дем обозначать через xk . Покажем, что

F ( f ^ ( . ) Пусть

не является гомеоморфизмом.

x : m → β N действует по правилу

x ( i ) = x. для i = 0,..., m - 1, h :{ x ₀,..., x_k } ^ ( k + 1) c m

- по правилу h(x ) = i для i = 0,.,k. Пусть f = f |,      „ тогда h ° f о x: m ^ m, причем l x 0,., xm-1} h о f о x = gk. Положим £' = F (x)(£) € F (в N), n' = F(f)(<‘)e F({x0,..„xk}), h = F(h)(h‘)e F(m), то есть n = ( F (h) ° F (f) ° F (x ))(^). При этом supp^ = m = {0,.,m - 1}, suppn C k -{0,.,k -1}. Значит, supp X ‘ = { x 0,., xm _1} и supp h ‘C

C { x ₀, . , x_k - 1 } C N . Таким образом, h ‘E F b ( N ).

Это значит, что точка £' е F(вN)\ Fe(N) при отображении F(f) переходит в точку h‘ Е Fb (N), и, следовательно, согласно предложению

F ( f ^ ( N )

не является гомеоморфизмом.

1,

Достаточность. Пусть для любого § ЕF(n) с носителем supp X = m C n и для любого k s m - 2

выполняется   supp F(gm)(X) / k = {0,., k -1}, при этом для некоторого тихоновского пространства X и некоторого компактного расширения bX отображение F(f )|F (X) - не гомеоморфизм. Тогда существует точка C‘E F(вX)\ F (X), такая, что П‘ = F(f '\£‘) e e Fb (X). Носитель supp X' = { x 0,., Xk—p xk ,., xm-1}, где {x 0’.’ xk-1}^ X и {xk ’.’ xm-1} C C pX \ X, причем k a 1, m a 3. Тогда f (suppx‘) = {x0,.,xk-1,y1.,y,}, где y. GbX\X, i = 1,.,l и l < m - k. Поскольку suppn' C f (supp^‘)П X, то supp h‘C {x0,.,xk-1}. Теперь рассмотрим отображения x: m ^ вХ, действующее по правилу x (i) = x. для i = 0,.,m - 1, и g :{x0,.,xk—i,yx,.,y,} ^ m, для которого g(x.) = i при i = 0,.,k -1 и g(yj) = k при j = 1,., l. Пусть точка ^ E F(m) такая, что F (x)(X ) = X', и h = F (g)(h'). При этом supp^ = m = {0,.,m -1}, supph C k = {0,.,k — 1}.

Но g ° f |_u , j ° x = g m , значит, n = f ( g m )( £ ), 0’" m -1

что противоречит условию suppF ( g k )( ^ ) C k . □

Теорема 2. Всякий полунормальный функтор F : Comp → Comp со степенным спектром spF = {1; n} ² не обладает инвариантным продолжением на категорию Tych при n ≥ 4.

Доказательство. Допустим, что F(f ) I _z

F e ⁽ X ) является гомеоморфизмом для любого тихоновского пространства X и любого bX , тогда по теореме 1 для любой точки § Е F ( n ), | supp ^ |= m и любого k ≤ m - 2 выполняется условие suppF ( gk¹ )( X ) ^ k .

Выберем некоторую точку ^ Е F ( n ) с supp ξ = n и рассмотрим отображение g n - ₂: n ^ п. Положим, n = F ( д П _{- 2})( § ). Получаем, что supp h с g n - ₂( n ) = n - 1. Но spF = {1; n}, следовательно, | supp η |=1. По предположению, supph< p {0,1, . , n — 3}, следовательно, supp n = = { n - 2}, то есть n = n - 2 G F ( n ) ³. Таким образом, все точки § Е F ( n ) с n -точечным носителем переходят при отображении F ( g n _{- 2}) в точку n - 2 Е F ( n ).

Возьмем отображение h : n ^ n , действующее по правилу h (0) = h (1) = 0, h ( i ) = i для i >1. С помощью перестановок множества n из отображения g_nⁿ _{- 2} можно получить h . Поэтому для любой точки § E F ( n ) с supp^ = n верно F ( h )( ^ ) = 0 E F ( n ).

Заметим, что gⁿ h = hgⁿ . Тем не менее n - 2 n - 2

для любой точки § E F ( n ) с n -точечным носителем suppF ( g n - 2 ° h )( § ) = {0} и suppF ( h ° g" n _{- 2} ) ( ^ ) = { n - 2}, что невозможно. □

Легко проверить, что любой полунормаль-ный функтор F со степенным спектром spF = {1;2} обладает инвариантным продолжением с Comp на Tych . В случае spF = {1;3} ситуация неоднозначна: есть полунормальные функторы с инвариантным продолжением и функторы, не обладающие таким продолжением.

Согласно В. Н. Басманову [2], полунормаль-ный функтор конечной степени полностью определен своим действием на категорию n , состоящую из единственного компакта n и всех отображений из n в n .

В работе [9] построен функтор µ со степенным спектром sp ^ ={1;3} ⁴. Опишем действие ^ на категорию ³: ц (3) = {0,1,2, ^ } э 3; для каждого отображения f :3 ^ 3 полагаем ц ( f )|₃= f ; если f - биекция, то ц ( f )( ^ ) = ^ ; если f «склеивает» две точки, то ц ( / )( ^ ) = f ( x ), где x ^{G 3} и | f ^{- 1}( f ( x ))|=1; если f :3 ^ { р } с 3 - постоянное отображение, то ц ( f )( ^ ) = p .

Поскольку supp ц ( g 3 )( ^ ) = {0}, то, по теореме 1, существуют тихоновское пространство X и его компактное расширение bX , для которых отображение ц ( f ) | не является гомеоморфизмом.

Второй пример – функтор λ ₃ – подфунктор функтора суперрасширения λ [5; 156]. Функтор µ является в некотором смысле антиподом λ ₃ . Если f :3 ^ 3 «склеивает» две точки, то

^( f X S ) = f ( x ), где ^{x е 3} такая, что \f "*( f ( x ))l=2. В этом случае suppX 3 ( g 1³ )( X ) = {1} ф {0}, а значит, согласно теореме 1, Л ( / ) |        - гомеомор-

^{3       ( Л} з) в ⁽ X )

физм для любого X и любого bX .

ON THE SEMINORMAL FUNCTORS WITH INVARIANT EXTENSION TO THE TYCH CATEGORY

Using methods of Chigogidze, we can extense a seminormal functor acting in the category Comp to the category Tych. Researching the properties of this extension, we introduce the notion of a functor having an invariant extension to the category Tych. Let F be seminormal functor acting in the category Comp and X be Tychonoff space. By f (x) we denote the subspace of F(px) consisting of all points g such that supp X с X . Let bX be a compactification of X . Put Fb (X) = {X G F(bX): supp X С X} . For the

natural mapping f : βX →

bX consider the mapping F ( f )L,„.: F. ( X ) F e ⁽ X ) ^e

^ Fb ( X ). We say that the functor F has an invariant

extension to the category Tych if the mapping F ( f ) |

F ⁽ X )

is a homeomorphism for any Tychonoff space X and its arbitrary compac-

tification bX . We obtained the criterion of the invariant extension for a finite degree seminormal functor. We prove that any seminormal

functor F with the degree spectrum spF = {1; n } hasn’t got an invariant extension for n a 4. For n = 3 there are the examples of the functors ^ and ц with the degree spectrum spX₃ = sp ц :={1;3} such that ^ has an invariant extension, and ^ has not.