О построении и вычислении функционалов в статистических краевых задачах механики композитов

In the given work the way of construction of functionals for micruheterogeneous solids which takes into consideration accumulation of structural damages is considered,

В работе [Г] устанавливается важное свойство микронеоднородных квазиизотропных тел, когда моделью сравнения является однородная сплошная среда с осредненными свойствами:

е,/=Ф,усф(6)е(хр,                                  (I)

где еДг) - структурные деформации микронеоднородной среды, еДх-Д^еД - макроскопические деформации микронеоднородной среды, O^fr) - случайные модули упругости микронеоднородной среды, Ф^._а|3 (0) - случайный функционал, зависящий от упругих свойств микронеоднородной среды.

В работе [2] указан метод вычисления моментов различных порядков функционала Ф(>ар (0), позволяющий вычислять как эффективные свойства микронеоднородной среды, так и структурные поля деформирования. На основе полученного решения устанавливается важное свойство микронеоднородной среды: если упругие свойства микронеоднородной среды являются локально-эргодическими, то и поля деформирования микронеоднородной среды также являются локальноэргодическими.

В работе [3] дается обобщение соотношения (1) на микронеоднородныс тела, когда моделью сравнения является микрснеоднородная среда с регулярной структурой. Если микрснеоднородная среда макроскопически однородна и макроанизогронна, перемещения границы тела, имеющего конечные размеры, детерминированы, дисперсии физических свойств среды конечны, микродсформации регулярной среды в пределах структурного элемента - гладкие функции координат, то существует случайный функционал Ф^!?* (0), не зависящий от граничных условий, такой, что пульсации структурных деформаций е(г) связаны со структурными деформациями в регулярной среде е⁽”' (г) соотношением

Е(г) = Ф(Л(0)-е<'”(г).                          (2)

В этой же работе приводится общий метод вычисления функционала Ф^фб) для микронеоднородных сред. Соотношение (2) позволяет получить более точные формулы для расчета эффективных свойств композитов. Для макроскопически однородной квазиизотропной среды в корреляционном приближении получаем следующие зависимости:

где С*_п._п - эффективные модули упругости композита, С^ - макроскопические модули упругости регулярной среды сравнения, J^ - изотропный тензор четвертого ранга, зависящий от макроскопических модулей неоднородной среды сравнения с периодической структурой.

Аналогичные зависимости получаем для эффективных модулей упругости квазиизотропных композитов с учетом конечных дисперсий физических свойств среды

Сфт ~ Сути              ^ Z^g^ +... + ,

• + ^6'/"О б^Рп,^ бозРзГД ■ • • бадУ™ ^ Z^g^ J ...У у,            .             (4)

Соотношение (4) представляет собой решение задачи, если соответствующие ряды сходятся. Сходимость рядов в каждом конкретном случае устанавливается непосредственной проверкой при заданных свойствах структурных компонентов 11].

Перейдем теперь к вычислению моментных функций второго порядка структурных деформаций. Перемножив уравнение (2), взятое относительно двух произвольно выбранных точек трехмерного пространства, и применив оператор математического ожидания, находим моментную функцию второго порядка структурных деформаций

(?) где через А^г, ,г₂) = ^е_р (/;)£,,,,, (^^ обозначена моментная функция второго порядка структурных деформаций, F^⁴_r, = (Ф^Ф^) - коэффициенты, зависящие только от физических свойств элементов структуры.

Дня квазиизотропной среды эти коэффициенты вычисляются в явном виде. Тогда из уравнения (5) получаем явные аналитические зависимости для моментных функций второго порядка структурных деформаций

МАА = /;₅ у:_Ф.....к;^ « /V5 (/^ V").         <6)

где К^Дг^г") - моментная функция второго порядка структурных модулей упругости:

K^V/hL., (rV')^ М1\       (?)

Если поля упругих свойств микронеоднородной среды (7) являются локальноэргодическими, то и поля структурных деформаций, как следует из формулы (6), также являются локально-эргодическими.

Для описания структурного разрушения и прогнозирования прочностных свойств композитов в определяющие соотношения вводится новый материальный носитель <й_итп (е_а), зависящий от условий нагружения [4]. Таким образом, в качестве математической модели процесса квазистатического деформирования и разрушения в рамках такого подхода может быть поставлена стохастическая краевая задача механики композитов [4]:

• V a(r) = 0, e(r) = def u(r), a(r) = C• -(l — co(e))■ e , u(r)|_s = e* ■ r, (8) где С - тензор модулей упругости однородной изотропной сплошной среды, I - единичный тензор четвертого ранга, Е — заданный тензор макродеформаций, u(r) - тензор структурных перемещений.

Для замыкания системы уравнений (8) необходимо дополнить ее уравнениями для определения ш(г). Будем предполагать, что заданы явные зависимости со(г)=щ(£А), (9) где еДг) - инварианты тензора структурных деформаций.

Наложим на случайное поле со(г) математические ограничения общего характера в виде локально-статистической однородности и локальной эргодичности. Случайное поле ш(г) есть локально-статистически однородное поле, если многоточечный закон совместного распределения /^ (r_t,г,,...,?;), и=1,2,3,... не изменяется после параллельного переноса точек М^), М^гг), Af₃(r₃),..., М_я(г_п) на равные расстояния, не превышающие характерного размера некоторой области статистической зависимости V* с V . Под областью V* понимается шар, радиус которого равен е²/, 0<£«1, f - характерный размер конструкции.

Случайное поле to(r) есть локально-эргодическое поле, если ш(г) локальностатистически однородно и моментные функции произвольного порядка к финитны в области И* с / , то есть

• ¹    Ф 0, г < D ^r_;,r₂,...,rj = {t_l)(rjto(rj...c^^ ■

• = шах [г, - г, |, i, j = 1, к, D-характерный размер области V*.

Сформулируем свойство микронеоднородных сред, аналогичное свойству (1). Если микронеоднородная среда с однородными упругими и неоднородными прочностными свойствами макроскопически однородна и квазиизотропна, поля структурных повреждений при деформировании - локально-эргодические, средние деформации - макроскопически гладкие функции координат, граничные условия детерминированы, то существует случайный функционал Ф(ш), зависящий только от поля структурных повреждений, такой, что пульсации структурных деформаций £ связаны со средними деформациями е(г) соотношениями

е(г) = Ф(со)-е(г).                           (10)

Доказательство соотношения (10) аналогично доказательству соотношения (1),

Из соотношения (10) вытекает, что если поля структурных повреждений локально-эргодические, то и поля деформирования тоже являются локальноэргодическими. Как показывают прямые численные эксперименты [5, 6], локальность полей структурных повреждений имеет место на стадии дисперсного накопления повреждений, что является признаком ближнего порядка во взаимодействии полей микродеформаций и структурных повреждений на начальном этапе структурного разрушения. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к укрупнению дефектов и местной локализации повреждений.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда поля упругих свойств 6(г) и структурных повреждений to(r) являются локально-эргодическими. Будем также предполагать, что эти поля являются собственными, то есть отсутствует взаимная корреляция между полями:

(б(г)о)(г)^ = О.

Сформулируем свойство микронеоднородных сред, аналогичное свойству (2). Если микронеоднородная среда с неоднородными упругими и неоднородными прочностными свойствами макроскопически однородна и квазиизотроп на, поля структурных повреждений при деформировании - локально-эргодические, структурные деформации в периодической среде сравнения в пределах структурного элемента -гладкие функции координат, граничные условия детерминированы, то существует случайный функционал Ф^б^), зависящий от полей упругих свойств и структурных повреждений, такой, что пульсации структурных деформаций е связаны со структурными деформациями ^(г) в регулярной среде сравнения соотношениями

£(г) = Ф^,,,'(6,Ш)--£^|,"(г).                        (И)

Для доказательства формулы (11) рассмотрим стохастическую краевую задачу механики микронеоднородных сред в отсутствии объемных сил:

V a(r) = 0, e(r) = def u(r), o(r) = 6(r) • -(l - co(e)) ■ -e(r), to(r) = co(e) (12) с условиями специального вида

[ E(r)tZ'E =e‘.                           (13)

которые, как известно [4], эквивалентны условиям на поверхности 5 тела 12

u(r)|_s = E*-u                               (14)

при макроскопически однородном деформированном состоянии.

Идея излагаемого ниже метода заключается в использовании в качестве основы решения аналогичной краевой задачи для среды с регулярной микроструктурой:

V ■ o^l,pi (г) = 0, е^' (г) = def u^w (г),

о("Дг) = С("'Чг)-дй"Дг),                        ([<)

“ v А где ulpi(r), е^Чг), aipi(r) - детерминированные периодические функции структурных перемещений, деформаций и напряжений, С(/,)(г) ' тензор структурных модулей упругости среды с регулярной структурой. Предположим, что решение краевой задачи (5) нам известно [7]:

е^’ (F) = n^ (F) - е* , е^’ (г) = е’ + е^(р) (г),

С*^' = [С(Р) ^] + [С(р) ^. ,N(P) ^, Q.w = счр> . .Е*, где СЧр^ - эффективные модули упругости среды с регулярной структурой. У''л'г| -структурные функции [7], [-] - оператор осреднения по представительному объему.

С целью доказательства соотношения (11) исследуем решение краевой задачи (12) с граничными условиями (14), которая приводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при нулевых граничных условиях:

УДС^¹ - def u) = -V EI, u|, = 0,                   (16)

где

П = 0 -def u^(p) + 0 -def u-^0- def uy; $ijmn — бцщл Q/ryS (^to ) в^ ®V8™ ,

Уравнения (16) можно рассматривать как уравнения краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред с регулярной структурой С^(/' (г) и перемещениями u(r), обусловленными действием фиктивных случайных объемных сил V П.

При введении функции Грина среды с регулярной структурой G(/"(r,r') система уравнений (16) преобразуется в систему интегро-дифференциальных уравнений

u(r) = Jg^’ (г, г') ■ (V' ■ n'(r'))dv'.                      (17)

Для определения полей структурных деформаций необходимо знать градиент пульсаций структурных перемещений, поэтому дифференцируем (7):

Vu(r)= jVG^^GrXV'-n^Wv'.            (18)

Уравнение (17) решаем методом последовательных приближений при ограничениях, сформулированных в виде макроскопической однородности и квазиизотропности микронеоднородной среды.

В первом приближении полагаем

Vu (r) = JVG^(W • V' (0 --е'⁷’’ W                (19)

Для макроскопически однородной среды интегралы в (19) фактически распространяются на Е ' - окрестность микронеоднородной среды, где е ' - постоянны, поэтому соотношения (19) принимают вид

Vu (г) = Vp'''¹ •-е'

где Vp'^'1 = |VG(/” (г, г') ■ (V' • 0 )Л .а р1'” '(0, г) - тензор-функционал третьего ранга относительно физических свойств среды.

Подставляя (19) в (18), с учетом (20) получаем второе приближение

Vu =(Vp(/,)''n +Vpl>|(2’).-E'/'\

Vpf",(:, = jVG^ -(V'(0•

Окончательно запишем

Vu(r) = Vp/J ■■£'"', где

Vp --^\ p -.

Поскольку пульсации структурных деформаций определяются выражением

E(r) = def u(r), то в силу (21) приходим к соотношению (11)

£(Г!”Ф 10.й);- Е" Й).

где функционал Ф1Л”(6,О)) определяется уравнением

Ф^ЧО.со^йеГ pL,”(0,

В первом (корреляционном) приближении эти функционалы определяются следующими соотношениями:

^,рт 2( Эх. Эх. у

Здесь G‘”'(r,r') - тензорная функция Грина для периодической среды сравнения с неоднородными свойствами.

Из соотношения (24) следует, что указанные выше функционалы являются функционалами относительно свойств микронеоднородной среды в .„„(г) и тензора микроповрежденности к>цтп, а также функциями относительно текущей координаты г. Из уравнения (12) следует, что моментная функция второго порядка функционала Ф ( однозначно определяется через моментную функцию второго порядка функционала рф'Ч’ где через запятую обозначается дифференцирование но координате х. Следовательно, для вычисления моментной функции второго порядка необходимо вычислить двойной интеграл

ГЭр«(г)Эр<«(г')1

(25) _ _ffag© ©и эсу (ли ук^УУ)

• 7 Эх, Эх,         Эх^Эх^

где через ©”©г\т’) =^0«mn(©0^^ обозначена структурная моментная функция второго порядка свойств микронеоднородной среды. Как показывают многочисленные теоретические и экспериментальные исследования эта функция локальна (затухает на расстояниях, намного меньших линейного размера элемента) и имеет область отрицательных значений [1,4]. При этом на основании сказанного для корреляционной функции, входящей в соотношение (25), используются аппроксимирующие зависимости через единичные функции, предложенные в [I]. Тогда для описания функции ©^(г.г’) достаточно вычислить некоторые значения этой функции, получаемые при т = г*=0 в уравнении (25). Для вычисления интеграла (25) необходимо знать функцию Грина ^'(г, г') для неоднородной среды сравнения с периодической структурой. Используя технику осреднения, предложенную в работе [3], представим функцию Грина ©©(О.^О.г) в виде асимптотического ряда разложения по малому параметру а:

G^ (0, ^; 0, г) = ^ (г) - аЛ^.„ © ^^

3x,dx где ©(г) - функция Грина для эквивалентной однородной изотропной среды сравнения с модулями упругости С^„ , ©^ - эффективные модули упругости неоднородной среды сравнения с периодической структурой, А©©.., © - локальные функции быстрых координат Е, и-го уровня, а - малый параметр (0 < а = «I), / -характерный линейный размер неоднородности, L - характерный линейный размер конструкции.

Рассмотрим случай, когда микронеоднородпая среда макроскопически однородна и квазиизотропна. В этом случае первое слагаемое в выражении (26) есть тензор Кельвина - Сомильяны для однородной изотропной среды сравнения с эффективными свойствами СУ, . Подставляя формулу (26) в соотношение (25) и используя метод, предложенный в работе [2], получаем

Fпд« (0,0) ~ Н/рНб ( 9«Р™ O^kv , U / ) где через /,*,„ обозначен изотропный тензор четвертого ранга, зависящий го макроскопических модулей неоднородной среды сравнения с периодической структурой.

В силу свойства предельной локальности функционала р^ . и вычисленного главного значения (27) следует, что функционал р^ ( аппроксимируется координатной зависимостью

• -^ = /^ёю™(г).

Эх.

В этом случае поправка, как это следует из (28), вычисляется в явном виде:

с* ~ с^^р^ + дтп дги:;

0уу5               .\Z9)

Рассмотрим одномерный случай накопления структурных напряжений а(г) = £’(/■)[! - ю(е)]е(г).>30)

Пусть элементарный микрообъем первого порядка малости (с характерным линейным размером г£") представляет собой совокупность микрообъемов второго порядка малости (с характерным линейным размером £²Г). Будем предполагать, что для каждого элементарного объема второго порядка малости возможно лишь два состояния: либо элементарный объем разрушен, либо - нет. Введем скалярную функцию со, равную единице в неразрушенных микрообъемах и нулю в разрушенных. Тогда имеем

11 с вероятностью р,                              _л

[0 с вероятностью 1-р.

Из соотношения (31) находим

(0) = ^,                                   (32)

то есть математическое ожидание функции микроповрежденности. введенное с помощью функции (31), совпадает с вероятностью разрушения микрообъемов второго порядка малости.

Запишем теперь закон Гука для элементарных объемов первого порядка малости ст* =£^1 -соХе)]£\                            (ЗИ где величины со звездочками относятся к элементарному объему первого порядка малости. Величина со* имеет смысл вероятности разрушения р* элементарного объема первого порядка малости. Из соотношения (33) для .момента разрушения величина макронапряжений равна пределу прочности а*=о*, а макродеформация равна предельной деформации е* - е*. Откуда находим формулу для оценки критического значения макроповрежденности

,           с;,

О! =1---

Ее.

Установим теперь связь между вероятностями макроскопического разрушения р и структурного разрушения р. Принимая степенной закон распределения микроповреждений

F(co) = (о)",   0<со<1,   а>0.(36)

неизвестные постоянные а определим по формуле

(со) = |шС'(ю)^ш = р .(37)

Из (37) находим а=-^—.(40)

Из формулы (36) получаем зависимость вероятности макроразрушения от вероятности микр ораз рушения

/ ^l-^/'0”^.(41)

Как видно из формулы (35), (0^ не является новой константой материала, а выражается через известные предельные макроскопические характеристики материала.

Если записать обобщенный закон Гука через связи первых и вторых инвариантов, то для изотропных материалов получим два независимых критерия разрушения аналогично тому, как это сделано выше для одномерного случая.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 99-01 -00910.