О построении эволюционных определяющих уравнений

Здесь J -третий главный инвариант градиента места F,

Т, =R^r-T-R=7”⁷r_/r_y = T:jff^J = Tⁱ_jt,r^j = 7Vf^zr,.

• -    вращательная форма тензора напряжений (повернутый тензор) [3].

Т₂ =F-'.T-F"^r = T^iji₁r_j

• -    верхняя конвективная форма тензора напряжений (энергетический тензор) [3],

Т₃ = F⁷-Т-F = 7)_; г^! г⁷

• -    нижняя конвективная форма,

T4 = F ! T F =7(r,r#

• -    правая и

• Т5 =Fr Т F"r = 7 г г,

• -    левая конвективные формы тензора напряжений [5],

Т₆ = J F"¹ Т •F~^r = J Г’ г, r_; = JT₂

• -    второй (симметричный) тензор Пиола - Кирхгоффа и

• Т7 = J F T = J T^W,

• -    первый (антисимметричный) тензор Пиола - Кирхгоффа. Конечно, каждый из этих тензоров, например Т₂, может быть записан во взаимном и смешанном базисах, но

ковариантные и сметанные составляющие тензора Т, при этом, естественно, не будут совпадать с ковариантными и смешанными составляющими тензора Т .

Выписанные выше тензоры примечательны тем, что с их помощью легко строятся коротационные производные, необходимые для объективности (материальной независимости от системы отсчета) эволюционных определяющих уравнений. Так R- производная (известная еще как производная Зарембы, Грина - Нагди, Грина -

МакИнниса, Диенеса)

TR =t-®T + Tty = R-T1Rr, производная Олдройда

Т0'= t-1 Т-Т I5 =F t2 Fr =Г^ ^          Т2 = Г'; г; г;.

производная Коттер-Ривлина

T^fM+l⁷l + TJ =F■ЦT'¹=7;_VR'R^,■, Т₃ = Т:_уг^!г^;. (ID) левая конвективная производная

Т7 =Т-1Т+Т ! = F t4 F 1 =^R.R\       Т^г-гд правая конвективная производная т^'= t+it-t-tj7 = f-7'45-f'1 =77R\^^^      'Г^г/Гг,,с:?

производная Яуманна

Т^1(То' +тСА) = 1(т^ дТ ^^Т-зу Т + Т w = R trR7

производная Трусделла

Т7> =t-LT-T.|r +Т tr^J-'F-T^F7 = tu R.R + Г tri.(14)

производная Хилла

Тя =Т 1 Т + Т tri FT,.

Здесь

(9=R-Rr,     1-F F 1 =(VR)r -(Vx)7 =

W = ~(1 - Г) = |r-(U• U'¹ - F -U )• R^T и v- скоростьпсремещения.

Известны и другие коротационные производные [2, 6], а их общая форма имеет вид [6]

Т* = Г" + OjD Т + ^T DtщТ tri, где D = (l + ly)/2-тензор деформации скорости. Придавая коэффициентам я л, и а;

определенные числовые значения, получаем все, выписанные выше, корогашишные производные (за исключением ^-производной) и множество других.

Легко определяются также производные Д-ro порядка:

rj-’7? . /? __ J^ iqp -J^ Г             Т^^^*

_ТСЙ ■ -R _г / !   !

Т⁷'"⁷=F-T₄-F*¹, _т^г.д,_=F-7_/rr._F7_!         ._хт,^.тг j-l_{F у} ,р/

Т^я-^я = J-'F-Tt.

Здесь Т,- - .V -ая производная по времени тензора Т.

Определяющее уравнение релаксационного типа

Общую форму определяющего соотношения релаксационного типа N -го порядка можно представить в виде [5]

Ф](F, F,..F, Т, Т,.Т) = О,                          (17)

где Ф, - скалярная, векторная или тензорная функция. Исходя из принципа объективности (материальной независимости от системы отсчета), формализацией которого в данном случае будет соотношение (полагая Ф| тензорной функцией)

Ф^Г, Г,...,Р',Г,Т,...,Г) = Ф,*(Р,Р,...,Р,Т, Т,...,Т) = 0.

где F-O F, Т=ОТО^Г, Ф₎'=О Ф₁О¹и О - любой ортогональный тензор, получаем, положив О = R⁷ , используя полярное разложение градиента места Г = R I и учитывая соотношение (7),

(       МN )

Ф, U,U,...,U,T],T1,...,T1 =0.(18)

Таким образом, для выполнения принципа объективности аргументами в определяющем уравнении (17) могут быть только чистая деформация U и повернутый тензор напряжений T_t. Из соотношений (6) вытекает связь между Г и Т, z = 2*6:

Т] ^^-U^-^-U'^U-T^U-^U-'-TvU^^U-VU, и тогда определяющее уравнение (18) может быть представлено в эквивалентных формах

Ф,.((и},{Т,}) = 0, z = i + 6,(20)

где {U) = U. U,...,U; {Г,} = Д, Т„..Т,.

Рассмотрим некоторые частные случаи использования выражения (20) для построения определяющих уравнений.

Конкретизируя тензорные функции Ф, в соотношении (20) для материала дифференциального тапа зависимостью

Ф,({и}, {Т,}) = g_;({U})-Т, = 0, где g)({U})- отклик материала на чистую деформацию, приходим к следующим определяющим соотношениям:

T^g/JU}).

Любое из этих уравнений удовлетворяет аксиоме Нолла [7] и функции g,({U}) связаны между собой соотношением типа (19)

g, = 1^2л! = и~Ч3/и~! =u-g4.u-’ = и"^5^

Заметим, что простой физический смысл имеют функции g, и g6. Первая определяет истинные (усилие, отнесенное к текущей площади), а вторая условные (усилие.

отнесенное к начальной площади) напряжения при отсутствии вращения. Поэтому экспериментально легче определять их.

Конкретизируя тензорные функции Ф, в соотношении (20) зависимостью

Ф,({и}, {Т;}) = G,(U, L) - Т, -zt, = 0, приходим к следующим соотношениям:

I, 4-ЛТ, = С,(и, L).                              122)

Переходя с помощью зависимостей (6) и (8) - (14) к истинным напряжениям, получаем уравнения состояния с согласованными объективными производными (здесь термин “объективные” преобретает второй смысл: коротационная производная не назначается, что делается во многих случаях, а получается естественным образом):

Т + ЛТ* = RG R'.    Т + ЛТо; =FG2Fr,    T + tTcs = F G F т + лтЛ = fgf,    т+лт*' = f gf    т+лт7" =r1FG„F;.

Как уже отмечалось выше, Т) - это истинные напряжения при отсутствии вращения. Полагая в соотношении (22)

G, ^//((MJ-' + U^U), что соответствует тензору деформации скорости D при R, тождественно равном единичному тензору (см. (15)), приходим в терминах истинных напряжений к определяющему соотношению

Т + дТ^я=дО,                        (23)

где и - коэффициент вязкости. Это хорошо известное уравнение для среды Максвелла, обобщенное на конечные деформации [8]. Необходимый тип коротационной производной здесь, что до сих пор является предметом обсуждения многих работ, выявился автоматически.

На рисунке приведены результаты решения уравнения Максвелла для задачи простого сдвига. Уравнение (23) обезразмеривалось:

ItID

Здесь D=AD - безразмерный тензор деформации скорости, Т-лТ/^ - безразмерный тензор истинных напряжений, Т^й - X" Т^{я 1} р и введено безразмерное время (в единицах времени релаксации) 7 = /77. Для сравнения на этом же рисунке покатаны кривые напряжений, полученные при использовании в соотношении (23) обыкноьсшюй временной и яуманновской производных.

Рис. Обезразмсренное уравнение Максвелла с простой производной.. R- и J -объективными производными в задаче простого сдвига (приведены ненулевые компоненты тензора напряжений)

Компонента Г¹² при использовании R-производной практически совпадает' с решением классического уравнения Максвелла. Но при этом, в отличие от обычной производной, возникают нормальные напряжения, отвечающие экспериментальным данным [9], известным в литературе как эффект Вейссенберга. Осцилляции, характерные для яуманновской производной, описаны, например, в [10, II]. Использование производных Олдройда и Коттер - Ривлина приводит к симметричной относительно нуля линейной зависимости компонент Т'^-, что противоречит смыслу вязкоупругого материала (нет релаксации напряжений). Компоненты же Т'" в этих случаях совпадают с решением уравнения Максвелла для простой производной.

Модифицированное уравнение Максвелла [5] также вытекает из (20), полагая

Ф,({U}, {Т,}) = G,(U, U)- т, - Y4 т = о и представляя G; в виде

G^Go+^A.Go, где

Gi^yA^-U-'+U-'-U), а Т] и Go - к-ые производные по времени от соответствующих тензоров. В терминах истинных напряжений, учитывая выражения (16), получаем

Т + ^ Л = // (D + X A D¹ ). к=\                и

Таким образом, для определяющего уравнения релаксационного типа использование тензоров напряжений 1) + Т6 (6) автоматически приводит к согласованным коротационным производным (8) - (14) в эволюционных уравнениях состояния.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ-ГФЕН № 01-01-96494.