О построении полей скоростей для известных не особых полей напряжений

Автор: Сенашов Сергей Иванович, Гомонова Ольга Валерьевна, Михеев Анатолий Егорович

Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал @vestnik-sibsau

Рубрика: Математика, механика, информатика

Статья в выпуске: 5 (38), 2011 года.

Бесплатный доступ

Построено новое поле скоростей для уравнений пластичности, описывающих сжатие пластического слоя между плитами, сближающимися с разными скоростями.

Пластичность, поля скоростей, точные решения

Короткий адрес: https://sciup.org/148176724

IDR: 148176724

Текст научной статьи О построении полей скоростей для известных не особых полей напряжений

Пусть известно неособое напряженное состояние идеальной пластической среды для плоского деформированного состояния g = g ( x , y ) , 9 = 9 ( x , y ) [1]. В этом случае для нахождения соответствующего поля скоростей можно искать либо решение системы уравнений с переменными коэффициентами:

J 1 - y ²

для решения Прандтля tg 2 9 = ------. Для этого

д u д v „„Г д u д v |

---= - tg 2 91 — + — I д x д y (d y д x ) д u д v . — + — = 0, д x д y

либо решение системы с постоянными коэффициентами:

случая известно всего два решения. Одно получено А. Надаи, второе – почти одновременно Д. Д. Ивлевым и С. И. Сенашовым.

Гораздо более перспективным является второй путь нахождения полей скоростей. Он позволяет для каждого решения уравнений (2) сразу строить поле скоростей для любых неособых напряженных состояний.

Укажем решения для неособых напряженных состояний. Для этого приведем систему (2) к телеграф-

ному уравнению

8 U dn

- 1 V = 0, ^dV - 1 U = 0, 2 д^ 2

д ² U а^дп

- ¹ U = 0.

где u = U cos 9 - V sin 9 , v = U sin 9 + V cos 9 . Здесь ( u , v ) - компоненты вектора скорости вдоль осей Ox и Oy , а ( U , V ) - компоненты вектора скорости вдоль характеристик системы (1).

Решения данных уравнений другим способом были получены авторами ранее [2].

Традиционно исследователи решают систему уравнений (1). Несмотря на то что с первого взгляда эта система кажется достаточно простой, ее решений известно не так много. Это объясняется тем, что выражение для tg2 9 является довольно сложным, даже

В силу симметрии ^' = а£, п’ = П, которая допус-a кается уравнением (3), его решение следует искать в виде U = U (^n) = U (z).

Тогда (3) приводится к виду zU"-1U = 0.

Общее решение последнего уравнения имеет вид

U = 7Ц C 1 1 1 (,дп) + C 2 K 2 (V^n)) ,

где I ₁ , K ₁ – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода; C _i – произвольные постоянные.

Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева

Еще одно очевидное решение уравнения (3):

просто будут выглядеть решения 2, 5, 8. Запишем их в

U = exp f±-^⁺ⁿ) .

1 2 J

Для построения других решений уравнения (2) запишем его в другом виде. Для этого введем перемен-

E + n n-E „

ные z = —2— и t = —2—. В этих переменных уравнение (3) примет вид

d ² и д ² и

— - — - и = 0. (4)

д z ² д t ²

Будем искать решение уравнения (4) в виде

U = Z ( z ) T ( t ) , тогда (4) принимает вид

7" /" ----1 = 0,

откуда получаем

Z "-Х Z = 0, T " - ц T = 0, Х-ц- 1 = 0,

где Х , ц - произвольные параметры.

Имеем следующие возможные варианты значений параметров Х , ц (здесь a , b - произвольные постоян-

исходных координатах:

Г а -k - а -к )

и ₂ = C 1 е ² k + C ₂ е ² k ( C ₃ sin bt + C ₄ cos bt ) ;

I J

и ₅ = 1 C 1 sin а — + C ₂ cos а — | ( C ₃ sin bt + C 4 cos bt ) ;

у 2 k 2 k J

и ⁸ = У C 1 2 k ⁺ C 2 J ( C ₃ sin t + C ₄ cos t ) .

Все эти решения можно использовать с решением Прандтля, положив в них

G = 2 ( - x - 1- - y ² ) , y = cos2 0 .

Для отбора решения поставим краевые условия. Имеем

^V\_y =1 = V 1 , V y =_, = ^V 2 .

Тогда получаем

v = и sin 0 + V cos 0 = и ^ 1 - y - + V 1 + y ,

ные):

1) Х = а ² , ц = b ² , a ² - b ² = 1;
2) Х = а ² , ц = - b ² , а ² + b ² = 1;
3) Х = а ² , ц = 0, а = ± 1;
4) Х = - а ², ц = b ², а ² + b ² = - 1;
5) Х = - а ², ц = - b ², b ² - а ² = 1;
6) Х = - а , ц = 0, а = - 1;
7) Х = 0, ц = b ² , b ² = - 1;
8) Х = 0, ц = - b ² , b = ± 1.

Для случаев 1– 3, 5, 8 получаем решения уравнения (4), где C _i – произвольные константы:

и v I , = V | , = V , v| = и| , = V .

1 y =1 l y =1 1’ l y =-1 l y =-1 ²

Подберем такие функции, для которых и ^=-1 = V , . После ряда преобразований убеждаемся, что данному условию удовлетворяет только функция U 8 .

Таким образом, получаем следующее новое решение (новое поле скоростей) для уравнения (1), которое описывает сжатие пластического слоя плитами, сближающимися с различными скоростями:

u = ( V 1 - V ₂ ) cos 0 + V 2 sin 0 ,

v = V cos 0 + 2 k - ( V 1 - V ₂ ) sin 0 .

1) U = ( C 1 е^аа + C ₂ е ^- ^аz ) ( C ₃ e bt + C ₄ е ^- bt ) ;
2) U = ( C 1 е^аа + C ₂ е ^- ^az ) ( C ₃ sin bt + C ₄ cos bt ) ;
3) и = ( C 1 е^аа + C ₂ e ^- ^az ) ( C ₃ t + C ₄ ) ;

5) U = ( C 1 sin az + C ₂ cos az )( C ₃ sin bt + C ₄ cos bt ) ;

8) U = ( C 1 z + C ₂ )( C ₃ sin t + C 4 cos t ) .

Вернемся к исходным координатам. Тогда

E + n о . n-E

z =---- = —, t =---- = 0 . В силу этого наиболее

22 k 2

На плите, заданной уравнением y = - 1, скорость равна V 1 ; на плите, заданной уравнением y = 1, скорость равна V ₂ .

Библиографические ссылки

1. Предельное состояние деформированных тел и горных пород / Д. Д. Ивлев, Л. А. Максимова, Р. И. Непершин и др. М. : Физматлит, 2008.
2. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Эволюция характеристик решения Прандтля // Сиб. журн. индустр. математики. 2007. Т. Х. № 4 (32). С. 118–121.

S. I. Senashov, O. V. Gomonova, A. E. Mikheev

ABOUT CONSTRUCTION OF FIELDS OF VELOCITIES FOR KNOWN NONSINGULAR STRESS FIELDS

The authors set up a new field of velocity for the equations of plasticity, which describe a pressure of a plastic layer between two plates approximating different velocities.

Статья научная