О повторном особом интеграле Коши-Сеге

Будем рассматривать n -мерное комплексное пространство C n ( n >  1) переменных z = ( z_x, ^ , z_n ). Если z , w e C ⁿ , то ( z , w ) = z_xw + ... + z^w^, a | z | = ^z , z ) , гДе z = ⁽ z ! , ^ , z n ).

Пусть B_z ( e ) - шар в C ⁿ с центром в точке z радиуса £ , т. е.

Bz(e) = {?e Cn : I?-z|

Тогда B - единичный шар из Cn, а именно

B = Bо(1) = {s: S< 1}, а S - граница шара В:

S = {?: kl = 1} •

Обозначим через K(s, z) ядро интеграла Коши-Сеге для шара, т. е.

K (S, z) =

(1 -^z})n ,

а через g(c;) дифференциальную форму

• = ⁽n хП L^(-1)k^-1SkdS^{[к] Л d}S, (2п i) к=1

где           d S[ к ] = d S л л d Sк—1 л d Sк+1 л ... л d Sn,ds = ds л...лdsn.

Для любых точек s, z е S выполняются соотношения [1; 2]

Cj1 -^, z)|<|s- z < С2^1— (^ z)|.         (1)

Интегральное представление   Коши–Сеге.

Теорема 1 [3]. Для любой функции f, голоморфной в В и непрерывной в B, справедлива формула

^f(z) = J ^f(S) ^Kfc ^z) °⁽SX ^{z е}B.

S

Рассмотрим для точек z е S главное значение в смысле Керзмана-Стейна [1; 2]:

v.p.h. J ^f(s) Kfe z) ^s) =

= lim J f (s) K (s, z) a(s), £^0   *

где E_z(e) = {s : |1 -(s,z)|}. Оно отличается от обычного главного значения v. p. по Коши тем, что из границы области выбрасывается не шар Bz (e), а «эллипсоид» E_z (e). Далее в работе для точек z е S будем рассматривать главное значение в смысле Керз-мана-Стейна и знак v. p. h. будем иногда опускать.

Теорема 2 [1; 2]. При n > 1 справедлива формула v.Р.h. J f (S) K (s, z) g(s) = 1, z е S.

s                    ²

Обозначим для интегрируемой на S функции f предельное значение интеграла

J ^{f (}S)^K(S,^z) ^⁽S)

S изнутри шара B через K + [ f ].

Функция f удовлетворяет на S условию Гельде-ра с показателем а, 0 < а < 1, (т. е. f е С^а(S)), если для точек s, z е S выполняется неравенство [2]:

|^{f (}S) — ^{f (z})| < ^С I^{1 -}(s,^z)|“ .

Заметим, если функция f удовлетворяет на S условию Гельдера относительно метрики |1 -^s,z)|, то она также будет удовлетворять условию Гельдера относительно метрики |s — z| с тем же показателем (так как верно соотношение (1).

Теорема 3 [1; 2]. Если f е С^а(S), 0 <а< 1, то интеграл K⁺[f ] непрерывно продолжается на B и K⁺[ f ] е С^а(S) и справедливо равенство

K⁺ [ f ] = v. p. h. J f (s) K(s, z) g(s) + fz, z е S.

S                      ²

Целью работы является получение аналога формулы Пуанкаре-Бертрана для особого интеграла Коши-Сеге в случае, когда главное значение особого интеграла рассматривается в смысле Керзмана-Стейна.

Вспомогательные результаты. Следствием оценок, приведенных в [4], являются леммы 1 и 2.

Лемма 1. Пусть f е С^а(S х S), тогда для z е S

J dо(w) J f (s, w) K(s, z) g(s) =

Sw        Ss

= J K(s, z) g(s) J f (S, W) d^(W),

SS                 Sw где dg(w) - мера Лебега на S.

Лемма 2. Пусть f е С^а(S х S), тогда для z е S и 0 < v < n

J^{d G( w}) J rf/l'z^F ^{d G(S)}=

Sw          ^SS ¹ \ ^S, ^z/|

= J f (S,z) d CT(S) J

Sς d g( w)

.

11 -z, z) Г

Теорема 4. Пусть f (s, w) = f ,(s, w) ■ |1 - ( s , w) | ^v, f,(s, w)е С^а(S х S), 0 n, тогда

J d g(w) J f (s, w) K (s, z) g(s) =

Sw

= J K(S, z) g(s) J f (S, w) dg(w), z е S.

Sς

Доказательство. Введем разбиение единицы следующим образом. Рассмотрим множество M = B_Sx B_w={(s, w): sе B, w е B}. Введем в нем компактные окрестности    M₁    множества

{(^, w)g M : s = w}      и      M₂      множества

{(^, w)g M : s = z}, пересекающиеся лишь по одной точке (z, z). Тогда открытые множества U₁= M \ M₁ и U₂= M \ M₂ являются покрытием множества M \{(z,z)}. Пусть a₁(s, w) и а₂(s, w) - гладкое разбиение единицы, подчиненное этому покрытию, т. е. а, + а₂^ 1 на U1 и U₂, 0 < а, < 1, 0 < а₂< 1. Тогда а₁ (s, w) ^ 0 в окрестности точки s = w при фиксированном w * z, а, (z, w) = 1, а а₂ (s, w) ^ 0 в окрестности точки s = z и а₂ (w, w) = 1.

Тогда

J d o(w) J f (s, w) K (s, z) o(s) =

Sw

= J do(w) J(а1(^, w) + a2(s, w)) f (s, w) K(s, z) c(s) = Sw

= J d o( w) J a₁(s, w) f (s, w) K (s, z) o(s) +

Sw

+ J do(w) J а₂(^, w) f (s, w) K(s, z) o(s).

Sw

Рассмотрим интеграл

J do(w) J a1(s, w) f (s, w) K(s, z) o(s). Sw

Так как a₁(s, w) = 0 в области S_s о Ew (е), то в последнем интеграле, применив лемму 1, можно поменять порядок интегрирования. Тогда получим

J dо(w) J а^, w) f (s, w) K(s, z) o(s) =

Sw

= J do(w) J а^, w) f (s, w) K(s, z) o(s).

Sς

Рассмотрим интеграл

J do(w) J a2(s, w) f (s, w) K(s, z) o(s). Sw

Так как a₂(s, w) = 0 в области S, о E_z (е), то, применив лемму 2, можно поменять порядок интегрирования:

J dо(w) J a₂(s, w) f (s, w) K(s, z) o(s) =

Sw

= J K(s, z) o(s) J а₂(£, w) f (s, w) do(w).

Sς

Таким образом,

J do(w) J а^, w) f (s, w) K(s, z) o(s) +

Sw

+ J do(w) J а2(£, w) f (s, w) K(s, z) o(s) = Sw

= J K(s, z) o(s) J а^, w) f (s, w) do(w) +

Ss

+ J K(s, z) o(s) J а1(^, w) f (^, w) dg(w) =

Sς

= J ^Kfe ^z) a⁽0 J (^а1⁽?) ^{+ а}2⁽0 ) ^f fc ^w) ^d^^{( w}) =

Sς

= J K(s,z) o(^) J f (^, w) dg(w). Sς

Лемма 3. Для точек z⁰, ^⁰g S справедливо равенство

JK(w,z⁰)K(^⁰,w) c(w) = 0, z⁰*^⁰. S

Доказательство. Рассмотрим разбиение единицы, аналогичное разбиению из предыдущей теоремы. Рассмотрим множество M = B. Введем в нем компактные окрестности M1 множества {w g M : w = ^0} и M2 множества {w g M : w = z0}. Тогда открытые множества U1 = M \ M1 и U2 = M \ M2 являются по крытием множества M. Пусть а1(w) и а2(w) -гладкое разбиение единицы, подчиненное этому покрытию, т. е. а1 +а2 ^ 1 на Uj и U2, 0 < а1 < 1, 0<а2 < 1. Тогда а1(w) ^0 в окрестности точки w = ^0 при фиксированном ^0 * z0, а1(z0) = 1, а а2( w) = 0 в окрестности точки w = z и а2(?0) = 1.

Тогда

JK(w,z⁰) K(^⁰,w) о(w) =

= J(а1(w) + а2(w)) K(w, z⁰) Kfc⁰, w) o(w) = S

= Jа₁(w) K(w,z⁰) K(^⁰, w) c(w) +

S

+Jа₂(w) K(w, z⁰) K(^⁰, w) c(w).

S

Преобразуем каждое слагаемое отдельно, воспользовавшись теоремой 3 и учитывая, что а₁(z⁰) = 1, а2(^⁰) = 1, о(w)|S =о(w)|s и K(^,w) = K(w,s):

Jа₁( w) K (w, z⁰) K (s⁰, w) c( w) =

S

= lim j‘a1(w) K(s0, w) K (w, z) c( w) -а1(z ) K(s z ^z 0g S S2

= **т Ja1(w) K (s, w) K(w, z) c(w) - K(s , z ) z ^ z 0g S *

■ S ^S

∫α₂(w) K(w,z⁰) K(ς⁰,w) σ(w) = S

=∫α₂(w)K(w,z⁰)K(w,ς⁰)σ(w)= S

=∫α₂(w)K(w,z⁰)K(w,ς⁰)σ(w)= S

=lim   α₂(w) K(w, z⁰) K(w, ς) σ(w)-^α2(^ς)(^ς,z)

ς→ς0∈S S2

=lim   α₂(w) K(w,z⁰) K(ς, w) σ(w)-K(^ς,z)=

ς→ς0∈S S2

=lim   α₂(w) K(w, z) K(ς, w) σ(w)-K(^ς,z).

z→z0∈S2

ς→ς0∈S^S

Тогда, применяя теорему 1, получим

∫K(w,z⁰)K(ς⁰,w)σ(w)=

S

=lim   α1(w) K(ς, w) K(w,z)σ(w)-K(ς ,z)+ z→z0∈S                                            2

ς→ς0∈S ^S

+lim   α2(w) K(w,z) K(ς, w) σ(w)-K(ς ,z)= z→z0∈S                                            2

ς→ς⁰∈S^S

=lim   K(w,z) K(ς, w) σ(w)-K(ς0,z0) = z→z0∈S

ς→ς0∈S^S

=K(ς⁰,z⁰)-K(ς⁰,z⁰)=0.

Основной результат. Теорема 5. Пусть f∈C^α(S×S), тогда для z∈S

∫K(w,z)σ(w)∫f(ς,w)K(ς,w)σ(ς)=

Sw

=∫∫f(ς,w)K(w,z)K(ς,w)σ(ς)σ(w)+f(z,z).

Sς Sw4

Доказательство. Преобразуем интеграл следующим образом:

∫K(w,z)σ(w)∫f(ς,w)K(ς,w)σ(ς)=

Sw

= ∫K(w,z)σ(w)∫(f(ς,w)-f(w,w))K(ς,w)σ(ς)+

Sw

+∫K(w,z)σ(w)∫(f(w,w)-f(z,w)) K(ς,w)σ(ς)+

Sw

+∫K(w,z)σ(w)∫(f(z,w)-f(z,z)) K(ς,w)σ(ς)+

Sw

+f(z,z)∫K(w,z)σ(w)∫K(ς,w)σ(ς).

Sw

В первых трех интегралах по теореме 4 можно поменять порядок интегрирования. По теореме 2

∫K(w,z) σ(w)∫K(ς,w) σ(ς) =1 ,

Sw                Sς а по лемме 3

∫∫K(w,z)K(ς,w)σ(w)σ(ς)=0.

Sς Sw

Тем самым доказан аналог формулы Пуанкаре– Бертрана для особого интеграла Коши–Сеге и для главного значения в смысле Керзмана–Стейна.