О преподавании факультативного курса по комбинаторике, теории вероятностей и математической статистике в основной школе

Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно реагировать на социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Современные физика, химия, биология, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностностатистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин уже в средней школе.

Разделы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной и старшей школе стали обязательными после утверждения федерального компонента государственного стандарта общего образования в основной школе с 2003/2004 учебного года. При этом предлагалась ориентироваться на следующее содержание:

• •    решение комбинаторных задач: перевод вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения;

• •    представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы Эйлера. Средние результатов измерений;

• •    понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Перечисленный круг вопросов представляет собой некоторый минимум, доступный учащимся основной школы и достаточный для формирования у них первоначальных вероятностностатистических представлений. Об этом свидетельствует опыт практического преподавания соответствующего материала во многих регионах Российской Федерации.

Для внедрения указанного содержания в практику созданы реальные условия. Имеется учебно-методическое обеспечение, позволяющее включать элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебный процесс. Ряд учебников содержит соответствующий материал как органическую часть курса, к другим подготовлены специальные вкладыши. Помимо этого есть публикации, раскрывающие методику преподавания названного материала как по конкретным учебникам, так и в общем плане.

Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей целесообразно начать в 5-6 классах, или в 7 классе – в зависимости от системы изложения в учебнике, по которому ведется преподавание. Необходимое время может быть найдено за счет отказа от рассмотрения с учащимися вопросов, которые не входят в обязательный минимум содержания основной школы (корень степени п , степень с дробным показателем, метод интервалов, тригонометрический материал в курсе алгебры), но сохраняются в ряде учебников и в практике работы учителей.

О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет давно. Ведь именно их изучение и осмысление особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире. Но внедрение стохастической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями. В первую очередь, это методическая неподготовленность учителей, отсутствие единой методики преподавания и школьных учебников. Обладая одной из наиболее известных и признанных во всем мире академических школ теории вероятностей, мы до сих пор не имеем ни общей концепции преподавания этого раздела математики в школе, ни достаточного количества учебных пособий, содержащих соответствующий материал.

Государственным стандартом образования предусмотрен обязательный минимум и изложены основные требования к уровню подготовки выпускников.

Факультативный курс «комбинаторика, основы теории вероятностей, статистика» разработан для учащихся 8-9 классов в объеме 34 ч. Для основного общего образования, по теме «элементы логики, комбинаторика, статистика и теория вероятностей» на данный момент установлен следующий обязательный минимум:

Множества и комбинаторика . Множества, элементы множества. Подмножества. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность. Частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Целью факультативного курса «комбинаторика, основы теории вероятностей, статистика» является формирование у школьников основных комбинаторных и вероятностных представлений об окружающем мире и математических законах их объясняющих, ознакомление учащихся с миром случайного, с основными понятиями и методами теории вероятностей и математической статистики, с помощью которых можно анализировать и решать прикладные задачи.

Задачи курса :

• -    познакомить с закономерностями теории вероятностей и научить составлять различные комбинации из элементов и подсчитывать их число;

• -    ранжировать экспериментальные данные по признаку и строить гистограммы;

• -    развивать логическое мышление учащихся через межпредметные связи;

• -    формировать практические навыки научноисследовательской деятельности: вычислять характеристики выборки, развивать умение анализировать и интерпретировать данные, представленные в различной форме, проверять простейшие статистические гипотезы;

• -    оказать учащимся педагогическую под-

• держку в выборе профессии и дальнейшего продолжения образования после окончания средней школы.

Требования к уровню подготовки выпускника . В результате изучения курса ученик должен знать и понимать вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира, примеры статистических закономерностей и выводов. В результате изучения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей учащийся должен уметь:

• -    решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения;

• -    вычислять средние значения результатов измерений;

• -    находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

• -    находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• -    анализа реальных числовых данных, представления в виде диаграмм, графиков, таблиц;

• -    решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;

• -    сравнения шансов наступления случайных событий, оценка вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией;

• -    понимания статистических утверждений.

Таким образом, данный курс поможет ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы, найти свое призвание в профессиональной деятельности, требующей использовать точные науки. Динамика интереса будет идти через межпредметные связи. Изучение данного курса будет способствовать развитию логического мышления учащихся и расширению кругозора. На факультативных занятиях надо рассмотреть игровые, занимательные и практические задачи, решение которых позволит сделать соответствующие выводы о распределении случайных событий и математических методах их объяснения. На основе игровых и занимательных задач нужно изложить теоретические понятия курса, что позволяет избежать трудности восприятия новых, сложных понятий и расширить возможности обучения учащихся. Подбор содержания материала соответствует возрастным особенностям учащихся, их интересам и возможностям.

Ожидаемые результаты. После изучения курса учащиеся должны:

• -    знать основные понятия комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики;

• -    видеть в конкретных научных, технических, житейских проблемах вопросы, задачи, допускающие решения методами теории вероятностей, уметь формулировать и решать такие задачи;

Уметь:

• -    вычислять вероятности событий, пользуясь различными определениями вероятности и формулами;

• -    представить событие в виде комбинации нескольких элементарных событий;

• -    использовать приближенные формулы для вычисления вероятностей;

• -    находить числовые характеристики случайных величин;

• -    решать простейшие задачи математической статистики;

• -    обрабатывать полученные результаты.

Содержание курса факультатива разбито на 3 раздела.

Комбинаторика. Некоторые сведения из комбинаторики. Основные правила комбинаторики: правило суммы и правило произведения. Основные комбинаторные схемы: перестановки, размещения, сочетания. Упражнения по комбинаторике. Примеры комбинаторных задач. Перемножение возможностей. Задачи, закрепляющие правило перемножения возможностей без применения формул. Решение задач несколькими способами для понимания понятий: графы, перебор вариантов (дерево возможных вариантов) и т.д.

Основы теории вероятностей. Второй раздел посвящен основам теории вероятностей, вводится понятие случайного события, его достоверности и невозможности. Центральная теорема - правило перемножения возможностей разбирается и закрепляется на многих примерах. Для полного понимания и усвоения школьники учатся вычислять вероятность наступления события, применяют теоремы сложения и умножения вероятностей, используя при этом знания комбинаторики. Рассматривается статистическое и геометрическое определения вероятности, вероятности противоположного события. Операции над событиями. Возможность появления некоторого события, частота появления. Вероятность как мера возможного появления события. Формула полной вероятности.

Элементы математической статистики. В третьем разделе знакомимся с понятием выборки и ее характеристиками. Учимся представлять данные в виде ранжированных таблиц, гистограмм и находить числовые характеристики выборок: моду, медиану, среднее выборочное, знакомятся с формулой Бернулли. В процессе занятий учащиеся получают новые знания, развивают логику и творческие способности, повышают культуру мышления и познавательный интерес.

Таким образом, факультативный курс по комбинаторике, теории вероятностей и матема- тической статистике призван дать учителю теоретический материал, обучить решению задач помочь в овладении методикой проведения занятий, предостеречь от возможных ошибок.

Особенность курса – возможность использовать компьютер в качестве универсального источника случая, позволяющего в считанные секунды или минуты провести миллион случайных экспериментов и получить достаточно точные статистические оценки вероятности.