О применении системы компьютерной математики Maxima при изучении геометрии Лобачевского

фактически математическими формулами. Система компьютерной математики Maxima, выбранная нами для исследования, имеет аналогичные принципы работы. Мы считаем ее перспективной с точки зрения применения в обучении математике в вузе, в частности в математической подготовке будущих учителей. Для этого целесообразно научить студентов пользоваться этой программой. Основываясь на возможностях системы, нами был разработан учебник-практикум по применению Maxima, который рассчитан на самостоятельную работу как во время практических занятий по математике, так и в свободное от аудиторных занятий время с целью решения учебных или научных задач. Внедрение такой системы в преподавание математики позволяет повысить заинтересованность студентов в изучении математических дисциплин и, как следствие, качество подготовки по математике и связанным с ней дисциплинам.

Настоящую статью мы решили посвятить рассмотрению некоторых задач геометрии Лобачевского с применением системы компьютерной математики Maxima. Приведем теоретические сведения, необходимые для решения этих задач.

КОНФОРМНЫЕ МОДЕЛИ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Плоскость Лобачевского кривизны K = –1 изоме-трична полусфере мнимого радиуса R = i трехмерного Псевдоевклидова пространства с метрикой ds ² = ( dx ¹)² + ( dx ²)² – ( dx ³)². Модель Пуанкаре в круге можно получить, проектируя сферу( x ¹)² + ( x ²)² – – ( x ³)² = –1 на плоскость x ³ = 1 из южного полюса S (0, 0, –1).

Если абсолют перевести инверсией в Евклидову прямую, то получим другую конформную модель гиперболической геометрии – модель Пуанкаре в Евклидовой полуплоскости. Исследовать движения плоскости Лобачевского мы будем именно в этой модели.

Пусть абсолют плоскости Лобачевского в комплексных переменных задан соотношением Im ( z ) = 0. Кроме того, абсолюту принадлежит одна несобственная точка, которую обозначим через M _∞ . Точками плоскости Лобачевского будем считать точки полуплоскости Im ( z ) > 0. Прямые плоскости Лобачевского в этой модели изображаются Евклидовыми полуокружностями ( z – a )·( z^– – a ) = r ², Im ( z ) > 0 ( z ∈ C , a , r ∈ R ) с центрами на абсолюте и полупрямыми z + z^– = const, Im ( z ) > 0, перпендикулярными абсолюту. Прямые, параллельные (по Лобачевскому), в этой модели изображаются полуокружностями и полупрямыми, имеющими общую точку на абсолюте. Общей точкой параллельных прямых , задаваемых соотношениями вида z + z^– = const, Im ( z ) > 0, является несобственная точка M _∞ .

Эквидистанты прямых, изображаемых Евклидовыми полуокружностями, в этой модели изображаются дугами окружностей, пересекающихся с абсолютом в тех же точках, что и сама гиперболическая прямая. Эквидистанты прямых, моделируемых в данной интерпретации Евклидовыми полупрямыми, изображаются Евклидовыми полупрямыми, пересекающими абсолют в тех же точках, что и гиперболические прямые. Орициклы являются ортогональными траекториями пучка параллельных прямых плоскости Лобачевского. В этой модели для пучка с центром в конечной точке абсолюта они изображаются Евклидовыми окружностями, касающимися абсолюта в центре пучка. Для пучка гиперболических прямых с центром в несобственной точке M _∞ орициклы будут моделироваться Евклидовыми прямыми, параллельными абсолюту.

Евклидовы окружности, не пересекающиеся с абсолютом, будут служить изображениями окружностей плоскости Лобачевского в данной интерпретации. Окружности являются ортогональными траекториями пучка пересекающихся прямых. Для нахождения Неевклидова центра окружности можно взять пару гиперболических прямых, ортогональных окружности, и вычислить координаты их точки пересечения.

Линейный элемент метрики плоскости Лобачевского в комплексных координатах имеет такой вид:

ds ²

- 4 dzdz

( z — z )^{2 .}

Расстояние между точками z ₁ и z ₂ в этой модели можно вычислить также через логарифм двойного отношения этих точек и двух точек пересечения прямой, проходящей через них, с абсолютом. Это же расстояние можно определить по формуле

p ( z 1 , z 2 ) = In

z ₁

^- z 2

+

I z 1 — z 2

z 1 ^- z 2

I z 1 ^- z 2

ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Непосредственной проверкой можно убедиться, что дробно-линейные подстановки комплексной переменной z c вещесвенными коэффициентами a , b , c , d :

az + b

-----, ad - be >  0 и ez + d

az+b z =----- ez+d

ad - be <  0

сохраняют метрику. Следовательно, они служат движениями плоскости Лобачевского в этой модели. Подстановки без сопряжения служат движениями первого рода, а подстановки с комплексным сопряжением – движениями второго рода плоскости Лобачевского. Классификация движений осуществляется по наличию неподвижных точек. Хотя она сходна с Евклидовой, но имеет свои особенности. Нетождественное движение первого рода может быть вращением, сдвигом вдоль прямой или орициклическим вращением.

При вращении неподвижна одна собственная точка плоскости Лобачевского, то есть точка, задаваемая комплексным числом с отличной от нуля мнимой частью. Другие точки плоскости Лобачевского при вращении движутся по окружностям с Неевклидовым центром в неподвижной точке. Это преобразование имеет точный Евклидов аналог.

Если преобразование имеет две неподвижные точки на абсолюте, то оно является сдвигом вдоль прямой с «концами» в неподвижных точках. Преобразование является аналогом Евклидова параллельного переноса, но имеет свою специфику. Точки этой прямой движутся по ней самой, остальные точки плоскости Лобачевского смещаются по ее эквидистантам. Чем дальше от инвариантной прямой находится точка, тем на большее расстояние она смещается. Сдвиг вдоль прямой, изображаемой в этой модели Евклидовой полупрямой, моделируется Евклидовой гомотетией с центром в точке пересечения прямой с абсолютом.

Если движение первого рода имеет одну неподвижную точку на абсолюте, то оно является орици-

клическим вращением. Точки гиперболической плоскости при преобразовании такого типа движутся по орициклам, имеющим несобственный центр в неподвижной точке. Если при преобразовании неподвижна только точка M _m , то такое орициклическое вращение плоскости Лобачевского моделируется Евклидовым переносом в направлении, параллельном прямой, служащей абсолютом плоскости Лобачевского в этой модели.

Если движение второго рода имеет прямую неподвижных точек, то оно представляет собой симметрию относительно этой прямой. Это преобразование полностью аналогично Евклидовой симметрии. Более того, если прямая неподвижных точек изображается Евклидовой полупрямой, то образ точки при симметрии относительно такой прямой будет совпадать с ее образом при Евклидовой симметрии относительно этой прямой. Если же прямая, состоящая из неподвижных точек движения второго рода, изображается Евклидовой полуокружностью, то образ точки плоскости Лобачевского при симметрии относительно такой прямой совпадает с ее образом при инверсии относительно Евклидовой окружности, моделирующей гиперболическую прямую.

Если при движении второго рода неподвижны только две точки абсолюта, то это движение будет скользящей симметрией. Она является композицией симметрии относительно прямой и сдвига вдоль этой прямой.

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ

КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAXIMA ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ В МОДЕЛИ ПУАНКАРЕ

Приведем несколько примеров из разработанного нами комплекса упражнений по геометрии Лобачевского, при выполнении которых использование системы компьютерной математики Maxima значительно оптимизирует учебный процесс.

Пример 1. Определить тип преобразования a • z + b z = плоскости Лобачевского в модели Пуан-e • z + d

каре на верхней полуплоскости, если: a = 5, b = - 4, e = 1, d = 0;

a = 1, b = - 5, e = 2, d = 0;

a = 1, b = 0, e = 1, d = 1;

a = 2, b = - 2, e = 0, d = 2.

Для решения этого примера с помощью системы компьютерной математики Maxima необходимо ввести новую функцию w ( a , b , c , d ):

– w (a, b, c, d): = if a*d – b*c > 0 then if (d^2 – – 2*a*d+4*b*c+a^2)>0 then print

(«Это движение – сдвиг вдоль прямой с концами в найденных точках:»,(solve([z=(a*z+b)/(c*z+d)],[z]))) else if (d^2-2*a*d+4*b*c+a^2) < 0 and c#0 then print («Это движение – вращение вокруг найденной

точки:»,(solve([z=(a*z+b)/(c*z+d)],[z]))) else if (d^2-2*a*d+4*b*c+a^2)=0 and c#0

– then print («Это движение – орициклическое вращение с несобственным центром в найденной точке:»,(solve([z=(a*z+b)/(c*z+d)],[z]))) else if a=d and b#0 and c=0 then print («Это движение – ори-циклическое вращение с несобственным центром в бесконечно удаленной точке:», (solve([z=(a*z+b)/ (c*z+d)],[z])));

Решение:

• 1)    ^ w (5, - 1,4,0);

Это движение – сдвиг вдоль прямой с концами в найденных точках: [z = 1, z = 1/4].

• 2)    ^ w (1, - 5,2,0);

Это движение – вращение вокруг найденной точ-_r    V39% i - 1     V39% i = 1

ки: [ z =-------- , z =----- -------].

Замечание. В системе компьютерной математики

Maxima перед константами ставится знак %.

• 3)    ^ w (1,0,1,1);

Это движение – орициклическое вращение с несобственным центром в найденной точке: [ z = 0].

• 4)    ^ w (2, - 2,0,2);

Это движение – орициклическое вращение с несобственным центром в бесконечно удаленной точке: []

Следовательно, имеются четыре типа движений первого рода. Случаи 3 и 4 с точки зрения плоскости Лобачевского представляют собой один тип. Просто аналитическое задание отличается тем, что в случае неподвижной бесконечно удаленной точки преобразование становится линейным. Четвертый тип движений 1-го рода – тождественное преобразование.

Пример 2. Найти образ точки z при заданном дви-a • z + b жении z ^z =----- плоскости Лобачевского, c • z + d если:

• 1)    z = 1 + i , a = 5, b = - 4, c = 1, d = 0;

• 2)    z = 4 + 3 i , a = 1, b = - 5, c = 2, d = 0;

• 3)    z = 6 + 5 i , a = 1, b = 0, c = 1, d = 1;

• 4)    z = 3 + 7 i , a = 2, b = - 2, c = 0, d = 2.

Для решения данного примера нужно ввести новую функцию w ( z , a , b , c , d ):

^ w ( z , a , b , c,d ): = if a * d - db * c >  0

then ( w ( ' z ) = rectform (( a * z + b ) / ( c * z + d )));

(% o 1) w ( z , a , b , c , d ): = if ad - bc >  0

then ( w ( ' z ) = rectform | az ^{+ b} |

I cz + d )

• 3)    ^ w (5* % i + 6,1,0,1,1);     w ( z ) = — + 67.

,, ,,             74 74

• 4)    ^ w (7*% i + 3,2, - 2,0,2);     w ( z ) = 7% i + 2.

Таким образом, можно найти образы точки z при заданных движениях первого рода плоскости Лобачевского.

Пример 3. Найти прообраз точки w при заданном движении z' = a z + b  плоскости Лобачевского, c • z + d если:

• 1)    w = —+ — , a = 5, b =- 4, c = 1, d = 0;

1    3

• 2)    w = — + ³, a = 1, b = - 5, c = 2, d = 0;

10 10,       ,         ,       ,

67 5

• 3)    w =— +— , a = 1, b = 0, c = 1, d = 1;

74 74

• 4)    w = 2 + 7 i , a = 2, b = - 2, c = 0, d = 2.

Для решения этого примера необходимо ввести новую функцию z ( w , a , b , c , d ):

^ z ( w , a , b , c , d ): = if a * d - b * c >  0

then ( rectform ( solve ([ w = ( a * z + d )],[ z ])));

(% oi ) z (( w , a , b , c , d ): = if ad -bc > 0

az + b cz + d

then ( rectform I solve I [ w =

],[ z ] j

Решение:

• 1)    ^ z (% i /8 + 9/8,5, - 1,4,0); z = % i + 1.

• 2)    ^ z ((3*% i )/10 + 1/10,1, - 5,2,0); z = 3% i + 4.

• 3)    ^ z ((5* % i )/74 + 67/74,1,0,1,1); z = 5% i + 6.

• 4)    ^ z (7*% i + 2,2, - 2,0,2); z = 7% i + 3.

Эта задача является обратной к предыдущей.

Пример 4. Вычислить расстояния между двумя точками z = a + b · i и w = c + d · i , если:

• 1)    a = 5, b = - 4, c = 1, d = 0;

• 2)    a = 1, b =- 5, c = 2, d = 0;

• 3)    a = 1, b = 0, c = 1, d = 1;

• 4)    a = 2, b = - 2, c = 0, d = 2.

Расстояние можно вычислить по формуле: ^ z : a + b *% i ;

w : c + d *% i ;

log(( abc ( w - conjugate ( z )) + abc ( w - z ))/

/ ( abc ( w - conjugate ( z )) - abc ( w - z )));

(% o 1) % i b + a

(% o 2) % i d + c

• < 1% id + c + % ib - a l +1% id + c - % ib - a l

(% o 3) log

• ^ | % id + c + % ib - a | -1 % id + c - % ib - a |

Решение:

1) ^ w (% i + 1,5, - 1,4,0); w ( z ) = % i + 9.

Решение:

• 1)    ^ w :% i /8 + 9/8; z :% i + 1;

^ log(( abc ( w - conjugate ( z )) + abc ( w - z ))/ / ( abc ( w - conjugate ( z )) - abc ( w - z )));

Символьное решение:

log

' 74!   5 "

2 5/2 + 2 5/2 741  5

------------------------ ^^^^^™  ---------------------- к 2 5/2    2 5/2 J

Численное решение:

^ %, numer : true ; 2.095186025298517

2) ^ w :(3*% / )/10 + 1/10; z :3*% / + 4;

3% i 1

(% o 1)      +

10  10

(% o 2)3% / + 4

^ log(( abc ( w - conjugate ( z )) + abc ( w - z ))/

/ ( abc ( w - conjugate ( z )) - abc ( w - z )));

log

' 3729 + 375 "

7w + 72

329 35

I 7w

-

^ %, numer : true ; 3.294462292742194

3) ^ w :(5*% / )/74 + 67/74; z :5*% / + 6;

5% / 67

(% o 1)      +

74 74

(% o 2) 5% / + 6

^ log(( abc ( w - conjugate ( z )) + abc ( w - z ))/

/ ( abc ( w - conjugate ( z )) - abc ( w - z )));

1 og

к

73821   61 )

+

774  774

73821   61

^ %, numer : true ; 5.01617571867537

• 3)    ^ w :5 + 7*% / ; z :9*% / + 8;

(% o 1) 7% / + 5

(% o 2) 9% / + 8

^ log(( abc ( w - conjugate ( z )) + abc ( w - z ))/ / ( abc ( w - conjugate ( z )) - abc ( w - z )));

log

7265 + 713

7265 - 713

^ %, numer : true ; 0.45043909270382

Таким образом, мы рассмотрели некоторые возможности применения системы компьютерной математики Maxima в процессе преподавания Неевклидовой геометрии. Ее удобный и простой интерфейс привлекает внимание пользователя. Благодаря этому система становится весьма полезным инструментом преподавателя для достижения профессиональных целей в процессе преподавания математики в вузе. Систему аналитических вычислений Maxima можно использовать как в учебных целях, так и в качестве платформы для вполне серьезных научных