О применении Z-преобразования к анализу многокритериальных линейных моделей экономической динамики

Процесс оптимизации реальных инвестиций производственных отраслей в регионе можно представить в виде следующей многокритериальной многошаговой задачи линейного программирования (ММЗЛП) [1]:

X k ( t + 1) = X k ( t ) + U k ⁽ t )

( k = 1,..., n ; t = 0,..., T - 1 ) , x n + 1⁽ t ⁺ 1) = x n + 1⁽ t ) ⁺

+ L Uk(t) (t = 0,..., T2 -1), k=1

X n + 1⁽ t + 1) =

= -:Lxk(t)/Tk + Xn+1(t) + Luk(t) x k=1                          k=1

x(t = T2,..., T-1), xn+2 (t+ 1) = -a2 xn+1(t) + xn+2 (t) -

^Un + k ⁽ t ) < ^ k^Xk ⁽ t ) ^{x x}( k = 1,..., n ; t = T 2,..., T - 1 ) ; ^Xn + 3 ( T ¹ ) < I 0 , ^U 2 n + 2⁽⁰⁾ <  K 0 ,

U k ( t ) >  0 ( k = 1,..., n ; t = 0,..., T - 1 ) , ^U 2 n + 1⁽ t ) >  ⁰ ( t = 0,..., T ¹ - 1 ) , u 2 n + 2 (0) >  0;

J = { J 1 , J 2 } ^ max,

_r     T 1 - ^{1 U} 2 n + 1⁽ t )

гд ^е J 1 = ^- L----- r t = 0 (1 + r ) t

T - 1 + l ^l t = T ²

V Xk(t) “3 L Л k=1 Tk

-

^U 2 n + 2^{(0) +}

n

^{- 6 X}n + 1 ⁽ t ^{) + г} L ^Un + k ⁽ t ⁾

-------------k = 1-------J +

(1 + r ) t

Д ^x n + 1 ^{( T )} о T T - 1 ,

n

^- L u k ⁽ t ) ^{+ U} 2 n + 1⁽ t ) ^{+ U} 2 n + 2⁽ t ) ⁽ t = 0 ) , k = 1

T - 1

J2 = L2

t = T ²

- “ 3 L n ^X k^ ^{t )} + 6 X n + 1 ( t ) + c L U n + k ( t ) k = 1 T k                 k = 1

( 1 + r ) t

соот-

x n + 2 ⁽ t ⁺ 1) = ^-a 2 x n + 1⁽ t ) ⁺ x n + 2 ⁽ t ) ^{- n}

^- L u k ⁽ t ) ^{+ U} 2 n + 1⁽ t ) ( t = 1,..., T ² - 1 )

k = 1

x n + 2 ⁽ t ⁺ 1) = “ 3 L ^Xk ^^{) - 6} x n + 1 ⁽ t ^{) +} x n + 2 ⁽ t ) k = 1 T k

ветственно дисконтированная сумма собственных средств

^^^^^B

-^L u k ( t ) + k = 1

+ г L U n + k ( t ) + u 2 n + 1 ( t ) ( t = T ²,..., T ¹ - 1 )

k = 1

xn+2 (t+ 1) = “3 L ^k^ - 6xn+1(t) + xn+2 (t) - k=1 Tk

- L U k ( t ) + г L U n + k ( t ) ( t = T 1 ,..., T - 1 ) ; k = 1          k = 1

xn+3(t+ 1) = xn+3(t) + U2n+1(t) (t = 0,..., T1 -1) , xn+3(t+1) = xn+3(t) (t = t 1,...,t-1);

X k (0) = 0 ( k = 1,..., n + 3);

X n + 2 ( t ) >  0 ( t = 1,..., T ),

X k ( t )               ..

-L^--“2 Xn+1( t) + k=1 Tk

n

^{+ (} i -_B ⁾ L ^Un + k ⁽ t ⁾ ^ ⁰ ( t = t ²,..., t - 1 ) ;

k = 1

⁰ <  ^Un + k ⁽ t ) ^ q k ⁽ t ⁺ 1),

производственного сектора и регионального центра (налоговых поступлений в регион); U k ( t ) ( t = 0,..., T - 1 ) , ^Un + k ⁽ t ) ( k = 1,..., n ; t = T ²,..., T - 1 ) , ^U 2 n + 1⁽ t ) ( t = 0,..., T ^ -1 ) и u 2 _{n +} 2 (0) - стоимость приобретаемых основных про

изводственных фондов (ОПФ), выручка от реализации продукции k-го типа, внешние и внутренние инвестиции соот

ветственно; X k ( t ) , X_{n + 1}( t ) , X_{n +} 2 ( t ) , X_{n + 3}( t )( k = 1,..., n ; t = 0,..., T ) - соответственно накопленная стоимость всех ОПФ к - го

типа, остаточная стоимость всех ОПФ, текущие денежные средства предприятия и накопленные суммы внешних инвестиций в момент t; q k ( t + 1) ( t = T ²,..., T - 1 ) ,, V k , T k , c k и P k - соответственно прогнозный спрос в стоимостном выражении для момента t + 1, производительность, срок службы, стоимость единицы ОПФ и стоимость единицы продукции k-го типа; 1 0 , K 0 - суммы внешних и внутренних инвестиций, выделяемых на весь срок действия инвестиционных проектов (ИП); “ 1 , “ 2 , “ 3 , “ 4 - ставки налогов на добавленную стоимость (НДС), на имущество (НИ), на прибыль (НП) и единый социальный налог (ЕСН) соответственно (НДС включается в цену продукции, поэтому можно считать, что “ 1 = 0 ); в - доля выручки от реализации, выделяемая на фонд оплаты труда (ФОТ); T 1 , T ², T (1 <  T ² <  T ¹ <  T )-соответ-

ственно моменты завершения внешнего инвестирования, начала производства и срок действия ИП; 6 = (1 - “ 3 )“ 2 , д _k = P_kV_k / c_k ( k = 1,-, n ), г = (1 - “3 )(1 - b), c = (1 - b)“ 3 + “ ₄ B, r - ставка доходности ИП; д (0 < 8 < 1) - доля остаточной стоимости всех ОПФ на момент t = Т от ее балансовой стоимости, определяемая в общем случае экспертно.

В работе [2] рассмотрен пример применения z-преобразования для анализа однокритериальной МЗЛП. Обобщим указанный прием на случай ММЗЛП. Согласно источникам [3; 4], ММЗЛП (1), (2) равносильна однокритериальной МЗЛП, в которой векторный целевой критерий (2) заменен на скалярный: J(м) = м^J। + м2J2 , где me M = {(м1;м2)е E2 | мi > 0;м1 + М2 = 1} -вектор параметров, E2 - двумерное евклидово пространство. Таким об разом, учитывая, что м2 = 1 - М1 и полагая def м = М1,

мож

но свести исследование ММЗЛП (1), (2) к исследованию однопараметрической МЗЛП (1) при условии

J (м) = m J 1 + (1 - м) J 2 ^ max (3) где 0<ц<1.

Рассмотрим задачу оценки стоимости ИП, описанного моделью (1), (2), когда 8=0, т. е. продажа ОПФ регионом не предполагается. Для упрощения дальнейшего анализа доопределим управления u n + k ⁽ t ) ( k = 1,..., n ; t = 0,..., T ² - 1 ) , ^u 2 n + 1⁽ t ) ( t = T ¹,..., T - 1 ) , u 2 n + 2 ( t ) ( t = 1,-, T — 1 ) , полагаяих равными нулю и сопоставив им в исходных данных нулевые элементы. Дополнив задачи (1), (3) неравенствами

X n + 3 ( t ) ^ 1 0 ( t = 1,..., T );

un+k (t) - 0 , un+k(t) > 0 (k = 1, ..., n; t = 0, ..., T2 - 1) , u 2 n+1( t) - 0 , u 2 n+1( t) > 0( t = T V", T - 1) ;

u 2 n + 2 ( t ) - 0 , u 2 n + 2 ( t ) >  0( t = 1,..., T - 1) ,      (4)

перейдем к однокритериальной задаче с условием

-(9 + z -1) ^ELUk (z) + k=1

+r(z -1) EE Un+k (z) + k=1

^{+ ( z - 1)( U} 2 n + 1^{( z} ) ^{+ U} 2 n + 2 ^{( z} )) >  ⁰ ,

« 2 ^Lut ( z )          ,

--k =L---+ (1 - в) E U n + k ( z ) > 0 ,      (6) z - 1             _{k = 1}

U n + k ^{( z} ) ^ Q k ^{( z} ) ,

U n + k ( z ) ^ ^ k Uk^T ( k = 1,..., n ), z - 1

^U 2 n + 1^{( z} ) - I 0 ^{, U} 2 n + 2 ^{( z} ) - K 0 ^,

U_k ( z ) >  0( k = 1,..., 2 n + 2),

[1 - 2 m]9 E^ U k ( z )

j (m, z ) =--------k^1------+ z - 1

+[мг + (1 - м)с] EE Un+k(z) - k=1

^- H U 2 n + 1 ^{( z ) - U} 2 n + 2 ^{( z )]} ^ ^max,          (7)

^

где U j ( z ) = E u j ( t ) z ^- t ; (j = 1,..., 2n + 2) - z-изображения t = 0

управляющих переменных задач (1), (4), (5), J ( m, z ) = lim J (m) ,

T -^^

где j 1 =

T - 1 Е t = 0

T - 1

j 2 = E t = 0

9,

( t ) = •

J ( м) = м J 1 + (1 - м) J 2 ^ max ,          (5)

nn

^- « 3 Е T k ⁽ t ^{) x}k ⁽ t ^{) + 0} 0 ⁽ t ^{) x}n + 1 ⁽ t ^{) + г} Е ^un + k ⁽ t ^{) - u} 2 n + 1 ⁽ t ^{) - u} 2 n + 2 ⁽ t ⁾

.     k = 1 k = 1 _:

(1 + r ) t

nn

« 3 Е T k ⁽ t ⁾ x k ⁽ t ^{) -} 6 0 ⁽ t ^{) x}n + 1 ⁽ t ^{) + с} Е ^un + k ⁽ t ⁾

.   k = 1 k = 1_:

(1 + r ) t

def ^

Q k ⁽ z ) = E q k ⁽ t ⁺ 1) ^{z -} t ^{( k} = 1,..., ⁿ ).        (8)

t = T ²

Докажем, что в задачах (1), (2) существует решение, используя для этого, в отличие от работы [1], z-преобразование. Покажем сначала, что в ЗЛП (6), (7) допустимое множество непусто. Так как функциональный ряд (8) при постоянных и одинаковых q k ( t + 1) есть геометрическая прогрессия, то, очевидно, справедливы неравенства вида

0, t = 0,..., T ² - 1

-9, t = T ²..... T -1’

T k ( t ) = {

0, t = 0,..., T ² - 1

- 1/ T k , t = T ²,...., T - 1,

а управляющий вектор u(t) имеет постоянную на каждом шаге размерность 2и + 2. Здесь и далее значком (*) обозначены оптимальные значения переменных и целевых функций, чертой сверху - соответствующая целевая функция и параметры задачи с управлениями постоянной размерности.

Применим для исследования задач (1), (4), (5) z-преобразование. С этой целью устремим Т к бесконечности и положим z = 1 + г > 1, T ² = 1 . Учитывая соотношение Z ( x ( t + 1)) = z [ X ( z ) - x (0) ] и импликацию T ^+_тс^ T k ^+~ ( k = 1,..., n ), а также исключая

^

^xk ( z ) = Е X k ( t ) z ^- t ( k = 1,..., n + 3) - z-изображения фазо- t = 0

вых переменных указанной задачи, получим двухпараметрическую (по параметрам м и z) статическую задачу линейного программирования (ЗЛП), аналогичную приведенной в [2]:

Qk ( z )  ----- kprx ( k = 1,..., n ), r>0, откуда, в частности, r (1 + r ) T ^{- 1}

при T ² = 1 имеем

Q k ( z ) - q k ( k = 1,..., n ),                 (9)

r

где q k =

max q k ( t + 1) ( k = 1, t = T ²,...

n ) - наибольший прогноз

ный спрос на продукцию k-го типа за весь период произ

водства.

Будем предполагать, что прогнозный спрос по всем видам продукции конечен в течение всего периода производства, описываемого моделью (1), (2), т. е. справедливы условия q k < +~ ( k = 1,..., n ), из которых, с учетом условия (9), следует, что

Q k ( z ) <+“ ( k = 1,..., n ; z >  1). (10)

Найдем условия, при которых существует решение задач (1), (2) на бесконечном временном интервале. Ограниченность переменных U 2 _{n +} 1 ( z ) и U 2 _{n +} 2 ( z ) следует непосредственно из пятого, шестого и седьмого условий в выражении (6). Из условия (10), третьего и седьмого ограничений в выражении (6) следует ограниченность

переменных U n _{+ k} ( z ) ( k = 1,..., n ) приz > 1. Из второго неравенства в (6) следует, что n , _х ( z - 1)(1 - в) n      , _х

У Uk(z) <---------У Un+k(z). Учитывая седьмое ус- k=1             “2 k=1

ловие в выражении (6), дляк = 1, ..., и получимследую-

.       . (z -1)(1 - в) П _ щую систему оценок: 0 < Uk (z) < --------- У Qk (z), из “2     k=1

которой следует ограниченность переменных U k ( z ) при “ 2 > 0 . Заметим, что если “ 2 = 0 , то 6 = 0, и первое неравенство в (6) преобразуется к виду y^ U_k ( z ) <-г У U n + k ( z ) + U 2 n + 1 ( z ) + U 2 n + 2 ( z ) . Следова- k = 1             k = 1

тельно, и в этом случае переменные U k ( z )( k = 1,..., n ) являются ограниченными. Поскольку изображения вида U k ( z ) = 0 ( k = 1,..., 2 n + 2; z >  1) удовлетворяют ограничениям ЗЛП (6), (7), то допустимое множество D ( z ) ( z >  1) указанной задачи непусто. В силу нестрогости ограничений (6) указанное множество замкнуто, а значит, компактно. Легко проверить, что управление вида u k ( t ) = 0 ( k = 1,..., n ; t = 0,..., T - 1) ; U n + k ( t ) = 0( k = 1,..., n ; t = T ²,..., T - 1) ; u 2 n ₊ 1 ( t ) = 0( t = 0,..., T ¹ - 1), u 2 _{n +} 2 ( t ) = 0( t = 0) является допустимым в ММЗЛП (1), (2), поэтому допустимое множество D(z) этой задачи при T ^ +~ является непустым. Кроме того, очевидно, что при переходе в задаче (1) к пределу при T ^ +~ имеет место соотношение

D ( z ) с Пр D ( z )( z > 1) ,

где Пр D ( z ) - проекция множества d ( z ) на оси, соответствующие определенным в модели (1), (2) управлениям ^u j ⁽ t ) ^{( j} = 1 —^{, 2 n + 2)} при T ^ +~ (4). Непустота множества d ( _z ) следует из (11) и непустотыD(z). Множество D ( z ) ограничено, поэтому и D(z) также является ограниченным в силу формулы (11). По теореме Вейерштрасса, в силу непрерывности J ( м, z ) и J ( м) по своим аргументам (при фиксированных параметрах z > 1 и 0< ц <1) в задачах (1), (2) и (6), (7) существует решение, т. е. теорема доказана.

Теорема 1. Если выполняются условия qk < +“ (k = 1,..., n);T ^ +~;r > 0;T2 = 1,(12)

то задачи (1), (2) и (6), (7) имеют решение, причем справедливы следующие оценки:

0 < Uk (z) <(z -1)(1 - в) У Qk (z), “2

⁰ <  U n + k ^{( z} ) <  Q k ^{( z} ) ^{( k} = ¹ .... ⁿ ) ^,

0 < U2n+1(z) < 10 , 0 < U2n+2(z) < K0 .(13)

Заметим, что, зная диапазоны выражения (13), изменения z-изображений ^Uj ^{( z} ) ^{( j} = 1, -^{, 2 n + 2)} , можно получить интервал изменения соответствующих управлений задачи (1),   (2). Покажем это, например, для

U k ( t )( k = 1,..., n ; t = 0,..., T - 1). Пусть П(г) - множество изображений, удовлетворяющих ограничениям (13). Тогда по теореме 1 D ( z ) с П( z ) ( z > 1) , откуда, в силу (11), имеем

D ( z ) с П( z )( z > 1) ,               (14)

где ПрП(г) - соответствующая проекция множества П(/).

Пусть uk(t)(k = 1,...,n; t = 0,...,T-1) - допустимое управление в задаче (1), (2). Тогда с учетом формулы (14) и того, что все указанные выше управляющие перемен ные определены и в задаче (6), (7), для uk (t) выполняется первое условие в (13):

^

0 <У ukz-t < k=0

< ^{( z -} 1 ⁾⁽ 1 ^{- в)} j^ Q k ( z )( k = 1,..., n ).           (15)

“ 2      k = 1

С другой стороны, def

D t с lim      Пр D t 0      =    Пр D ( z )   ( z > 1) ,(16)

^T ° ^~ u ( t ) = 0( t = T ,...)     u ( t ) = 0( t = T ,...)

где   ПрDT0   - проекция множества управлений DT", u (t) = 0( t = T,...)

определяемого ограничениями выражение (1) для t 0

шагов, на оси u_k ( t )( k = 1,..., n ; t = 0,..., T - 1), u _{2 n + 1}( t ) = 0( t = 0,..., T ¹ - 1),       ^u 2 n + 2⁽ t ) = ⁰⁽ t = ⁰⁾       при

T0 ^ +^ , Dt - множество управлений, заданное условиями (1) для Тшагов. Следовательно, в силу (16), дополнительно к ограничениям (1) можем полагать, что u0(t) = 0(k = 1,..., n; t = T,...).               (17)

k

Тогда из выражения (15) получим v 0            —t / (z -1)(1 - в) n

У ukz = У ukz <  -------- У Qk(z) , откуда при k=0        k=0             “2

0 -1 ^( z -1)(1 - в), k^ 1, „., и имеем ukz <----------У Qk(z) и, следова-

“2

0 (z -1)(1 - в)zt v тельно,    uk <----------У Qk(z).    Поскольку

“2

u 0 ( t ) ( k = 1,..., n ; t = 0,..., T - 1) произвольно, то последнее ограничение имеет место для любого допустимого в задачах (1), (2) управления u k ( t ) ( t = 0,..., T - 1) .Для остальных управлений оценки сверху получаются аналогично. Таким образом, справедливо следствие теоремы 1.

Следствие 1. Для управляющих переменных задачи (1), (2) имеют место следующие неравенства:

0 <  u k ( t ) <  ⁽ z ^{1)(1 в)} z t У Q k ( z ) “ 2       k = 1

( k = 1,..., n ; t = 0,..., T - 1),

0 <  u _{2 n + 1}( t ) <  1 ₀ z t ( t = 0,..., T - 1),

⁰ <  ^u 2 n + 2⁽⁰⁾ <  K 0 .                 ⁽¹⁸⁾

Несмотря на то, что некоторые оценки на управления в МЗЛП можно получить и из уравнений движения и ограничений задачи, следует отметить, что предлагаемый подход к определению диапазонов управляющих переменных, основанный на идеях операционного исчисления, является универсальным и может применяться при увеличении количества переменных и неравенств модели и использоваться для быстрой оценки поискового пространства переменных многокритериальных МЗЛП и численной реализации решения указанного класса задач на основе соответствующих алгоритмов. Рассмотрим важные следствия и приложения используемого подхода. Для перенесения получаемых с помощью z-преобразования результатов на конечный временной интервал сформулируем теорему 2 и следствие из нее, справедливое приц^О, ц= 1.

Теорема 2. Функция j T ( _м) является неубывающей функцией переменной Т при фиксированных m e [ 0;1 ] .

Следствие. J * (i = 1, 2) есть неубывающие функции от параметра Т.

По построению для целевых критериев J ( м) и j ( м) соответственно задач (1), (3) и (1), (4), (5) имеет место неравенство: J ( m) < J (м) .Вчастности,

J ( m) <  J (м), 0 < м < 1 .             (19)

При T ^ +~ из теорем 1,2 получим: j *(ц) <  J *( р , z ). В свою очередь, из (19) и последнего неравенства следует выражение вида

J ( m) <  J (м z ) (0 < м < 1) .             (20)

Переходя от задачи (6), (7) к эквивалентной МЗЛП (зависящей от двух параметров миг), аналогично тому, как это сделано в источнике [2], найдем ее решение в следующем виде:

Uk ( z ) = rrQk ( z )/9; U * + k ( z ) = Qk ( z ), m e (0;1/2);

Uk ( z ) = r [ P kQk ( z )/Д k ⁺ [1 ^- P k +1K^r Qk ( z ) ^- ° k № U»+k ( z ) = Qk ;p k + 1 ^e [0;1],m = 1/2;

Uk i z ) = 0; U* + k ( z ) = 0, 8 k <  Щ И 2 /(1 - =),m e (1/2;1);                                    (21)

uk ( z ) = c krQk ( z )/д k ; U*n+k ( z ) = c kQk ( z );c k e [0;1], д k = Ш И 2/(1 - b), Pe (1/2;1);

Uk ( z ) = rQk ( z )/ д k ; иП + k ( z ) = Qk ( z ),д k >  Щ « 2 /(1 - =),m e (1/2;1)( k = 1,..., n ),

U * n+1( z) = 0; U 2 n +2( z) = 0, где щ = [2м—1]r- . Подставляя (21), например для мг + (1 - м)с me (0;1/2), в выражение J(м,z), с учетом условия (7), получим

*

J ( м, z ) = ({[1 -2м] r + м}г + n def

+ (1 - m)c) £ Q k ( z ) = r(M, z )(m e (0;1/2>> ,     (22)

k = 1

и учитывая (3), (20):

J ( m) = m J i +

+ (1 - m) J 2 <Г(м z ) (m e (0;1/2)) .          (23)

Анализ двухкритериальной модели (1), (2) показал, что значения критериев J* ( м) ( г = 1,2) , соответствующие оптимальному значению функции j * ( _м) в МЗЛП (1),(3) при фиксированном m e (0;1) , неотрицательны:

J* ( м) > 0( г = 1,2;m e (0;1)) ,             (24)

где J * ( m) ( I = 1,2) -вкладкритерия Ji (м) ( г = 1,2) вопти-мальное значение целевой функции j * ( м) из условия (3) при фиксированном m e (0;1) . Из выражений (23) и (24) следует, что:

J * ( м) <Г * (м, z )( i = 1,2;m e (0;1/2)) ,         (25)

def                    def где Г1(р,z) = Г(р,z)/р;Г1(р,z) = F(p,z)/(1 -р)(ре (0;1/2)).

Отметим, что теорема 2 позволяет перенести условие (23), а значит и (25) на конечный интервал времени. Условие (25) означает, что множество Парето в пространстве критериев ММЗЛП (1), (2) мажорируется линией, координаты ( Г 1 (м, z ); Г 2 (м, z )) точек которой зависят от параметров м e (0;1/2) иг> 1. Таким образом, указанная линия может использоваться для оценки этого множества в критериальном пространстве.

Приведем ниже еще одно приложение z-преобразования к оценке эффективности ИП, описываемого моделью (1), (2). Пусть i-е лицо, принимающее решение (ЛПР)

рассчитывает получить в результате реализации некоторого ИПзначение своего целевого критерия не ниже величины J * ( * = 1,2), т. е.

J * ( m) >  J * ( г = 1,2) .                   (26)

С учетом (23) и (26) имеем mJ1 + (1 - m) J2 < mJ1 + (1 - m) J2 < Г(м, z), откуда, учитывая (22) и группируя слагаемые при р, по- дП

J 1 - J 2 + ( [1 - 2 r ]г + c ) ^ Q k ( z ) ^ <  ( r r + c ) ^ Q k ( z ) - J 2 . k = 1        J k = 1

Обозначая выражения при р и правую часть последнего неравенства соответственной и В, получим следу ющие оценки на параметр р:

м <  B / A , A > 0

м>- B / A , A < 0

. Если,

кроме того,

0 <  B / A <  1/2

, то получим сужение ин-

0 <- B / A <  1/2

тервалов изменения параметра р вида

"m e ( 0; B / A ) с ( 0;1/2 ) ,        B/A > 1/2;

m e ( - B / A ;1/2 ) c ( 0;1/2 ) , - B/A >  0.

Таким образом, доказана теорема.

Теорема 3. Если имеют место условия

B / A <  1/2 9

- B / A >  0 9

A > 0

A < 0

, то в ММЗЛП (1), (3) параметр р изменяется соответственно в диапазонах, определяемых условиями (27).

Теорема 3 позволяет исключить из Парето-множества ММЗЛП (1), (2) те точки, для которых условия (26) не выполняются, и сузить его до множества точек в (1), (2), потенциально приемлемых для ЛПР.

Таким образом, основанный на z-преобразовании подход позволяет обосновывать ограниченность множества переменных, а значит доказывать существование решения в многокритериальных линейных моделях экономической динамики; проводить быструю предварительную оценку поискового пространства переменных многокритериальных МЗЛП для дальнейшей численной реализации решения задач указанного класса на основе соответствующих алгоритмов; строить явно задаваемые линии (поверхности) в критериальном пространстве, ограничивающие Парето-множество исходной ММЗЛП путем перехода к эквивалентной однокритериальной МЗЛП со сверткой критериев; исключать из Парето-множества ММЗЛП те точки, для которых значения целевых критериев ЛПР ниже требуемых им значений, сужая его до множества точек, потенциально приемлемых для ЛПР.

За счет простоты, быстроты и комплексности применения предложенного подхода для получения вышеописанного спектра результатов даже не математиками, он может быть рекомендован инвестиционным аналитикам, управляющим органам предприятий, регионов. при многоплановом экономико-математическом анализе линейных моделей экономической динамики. В настоящее время разработано математическое и программное обеспечение для реализации описанного подхода в виде пакета инвестиционного и финансового анализа [5].