О расчете конструкций из нелинейно-упругого материала в условиях действия агрессивной среды

В. В. Ерастов, А. В. Ерастов, В. Т. Ерофеев

В статье рассматриваются вопросы расчета физически нелинейных систем в условиях действия агрессивной среды. Материал конструкции наделяется свойствами нелинейно-упругого тела. Действие агрессивной среды проявляется в изменении ао времени физико-механических характеристик нелнней но-упругого материала.

Историческая справка. В 1638 г. великий итальянский ученый Галилео Галилей опубликовал трактат, в котором сформулировал один из основных принципов строительной механики — принцип предельного равновесия. В его основу положена задача определения нагрузок, разрушающих конструкцию. Следует отметить, что этот принцип мало способствовал созданию практически полезных методов расчета.

В первой четверти XIX в. французский ученый Анри Навье выдвинул более плодотворную идею расчета строительных конструкций по рабочему состоянию. В отличие от определения разрушающих нагрузок Навье предложил находить напряженно-деформированное состояние (напряжения и перемеще ния, возникающие в сечениях конструкций) от действия эксплуатационных нагрузок.

Одновременно с идеей расчета конструкций по рабочему состоянию Навье ввел принцип расчета по заданному (начальному) неде-формированному состоянию, которое всегда известно в отличие от неизвестного деформированного состояния, возникающего в процессе нагружения. В соответствии с принципом Навье отождествляются форма и размеры конструкций до и после деформации.

Предложенный Навье принцип, называемый также принципом малости перемещений, совместно с законом Гука послужили толчком к развитию теоретических методов расчета инженерных сооружений в пределах постановки линейных задач, т. е. позволили применить методы линейной теории для решения задач строительной механики.

Благодаря принципу малости перемещений и закону Гука строительная механика превратилась в «основу инженерных наук», так как на их базе возникло многообразие хорошо обоснованных теоретически методов расчета и было решено большое число задач по исследованию напряженно-деформированного состояния конструкций практически всех типов: стержневых, двухмерных и массивных. Кроме того, была разработана методика расчета по допускаемым напряжениям, обеспечивающая безопасность сооружений.

Стремление достигнуть наибольшей экономичности конструкций в начале XX в. привело к возрождению метода предельного равновесия, однако на новом, качественно более высоком уровне. Новый метод предельного равновесия вобрал в себя все необходимые для его развития достижения строительной механики, теории упругости, теории пластичности и других разделов механики деформируемого твердого тела.

Синтез обоих методов (предельного равновесия и расчета по рабочему состоянию) позволил в наше время производить расчет конструкций с учетом исчерпывающих представлений об их работе на всех этапах нагружения, включая и этап разрушения. Таким образом, современная теория позволяет предсказать и описать поведение конструкции при всевозможных условиях и в любой период ее существования. Очевидно, что в таком широком плане эта задача не может быть решена методами линейной строительной механики, так как положенные в ее основу два принципа (вместе с законом Гука) ограничивают ее возможности. Действительно, форма и размеры конструкции при определенных нагрузках существенно изменяются, и принцип малости перемещений становится неприемлемым. Кроме того, начиная с определенного уровня напряженного состояния, закон Гука практически для всех материалов перестает соблюдаться и должен быть заменен нелинейной зависимостью между напряжениями и деформациями. Отсюда следует, что для решения основной задачи расчета конструкций в широком плане нужно отказаться от простых предпосылок линейной теории и перейти к более широким и сложным обоснованиям нелинейной теории.

Прежде всего нужно отказаться от предпосылки расчета по недеформированному состоянию, который предполагает малость перемещений. При этом возникает нелинейность, называемая геометрической нелинейностью. В этом случае в теорию вводят нелинейные соотношения между деформациями и перемещениями, которые позволяют учитывать влияние изменения формы и размеров конструкции на ее напряженно-деформированное состояние. То есть форма и размеры конструкции, находящейся в различных фазах напряженно-деформированного состояния, не отождествляются. Замена закона Гука нелинейными зависимостями между напряжениями и деформациями составляет сущность так называемой физической нелинейности.

Вследствие действия агрессивной среды происходит изменение физико-механических свойств материалов:

• а)    уменьшается или увеличивается (в случае охрупчивания, старения пластмасс) модуль упругости;

• б)    изменяются прочностные свойства, например, предел прочности;

• в)    увеличиваются деформационные свойства, обусловленные не только уменьшением модуля упругости, но и поверхностным (механическим) разрушением элементов конструкций и т. д.

Действие агрессивной среды, как правило, приводит к физической и геометрической нелинейности. В отдельных случаях при действии агрессивных сред в процессе деформирования вероятно изменение расчетной схемы конструкции. Например, могут разрушаться отдельные связи. В таких случаях возникает конструктивная нелинейность.

Учет трех видов нелинейности: геометрической, физической и конструктивной — существенным образом усложняет решение задачи. В большинстве случаев в зависимости от поставленных целей расчета и особенностей конструкции приходится выделять определяющие параметры и рассматривать частные случаи общей задачи, в которой учитываются не все три вида нелинейностей сразу, а только некоторые из них.

При решении задач, характеризующихся физической нелинейностью, с целью упрощения широко используется гипотеза о нелинейно-упругом материале, согласно которой зависимости между напряжениями я деформациями при нагрузке и разгрузке тождественны. Эта гипотеза основа на теореме, доказанной Л. М. Качановым [2]: при активной пластической деформации поведение упругопластического тела неотличимо от поведения нелинейно-упругого тела с такой же зависимостью между напряжениями и деформациями.

В историческом плане задача физической нелинейности, относящаяся к нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями, впервые рассматривалась Г. Б. Бильфингером (1729), И. Ходкинсоном (1824) и Ф. И. Герстнером (1831). Сен-Венан в 1864 г исследовал изгиб балки с различными физически нелинейными законами в условиях работы материала при растяжении и сжатии. Со временем физическая нелинейность стала объектом исследования теории пластичности. Были установлены нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями (уравнения Генки), которые легли в основу теории пластичности малых деформаций А. А. Ильюшина.

Задача, относящаяся к геометрической нелинейности, впервые была сформулирована Леонардом Эйлером применительно к тонким упругим стержням. Во второй половине XIX в. А. Клебшом (1862), а позднее Г. Р. Кирхгоф-фом (1877) и Сен-Венаном (1881) осуществлены первые попытки создания теории расчета гибких пластин. Окончательно геометрически нелинейные уравнения пластинок были получены А. Фепплем и Т. Карманом (1910). Зависимость между напряжениями и деформациями (усилиями-перемещениями) является одним из основных физических свойств строительных материалов Она определяет физическую модель и выбор метода расчета строительных конструкций.

Исследование геометрически и физически нелинейных задач очень сложно, и в связи с этим данное направление начало развиваться только в середине XX в. благодаря широкому внедрению ЭВМ., которые существенно облегчили вычислительные процессы, необходимые при решении «дважды нелинейных» задач,

Конструктивно-нелинейные системы впервые рассмотрены С. П. Тимошенко [4]. Большой класс систем с односторонними связями исследовал И. М. Рабинович.

Об аппроксимации экспериментальной зависимости между напряжениями и деформациями образцов из полиэфирной смолы и молотого кварцевого песка. В процессе лабораторных испытаний образцов из полиэфирной смолы ПН-19 с наполнителем из молотого кварцевого песка были получены диаграммы усилия-перемещения. Усредненная зависимость между усилиями и перемещениями, найденная в процессе обработки шести результатов эксперимента, характеризуется существенной кривизной при нагрузке, превышающей 90 % от предельной, и является практически линейной при нагрузке, не превышающей 50 % от предельной. В момент разрушения образцов касательная, проведенная к кривой о —с, проходит параллельно горизонтальной оси, однако нисходящая ветвь диаграммы отсутствует.

Обработка диаграммы усилия-перемещения позволила получить основные характеристики: <7_пр = 1 206 кг / см²; е_п = 0,04532;

. {176-1,015    ,              ^ПР ,    ,

SJA (1,7/50)-0,975-1   ³⁶ °°° ^{КГ СМ} '

Для аппроксимации реальной зависимости су-е принимаем несколько физических законов, описывающих нелинейное поведение материалов. При этом характерные постоянные, входящие в аппроксимирующие зависимости, находим из условий:

• а)    равенства пределов прочности, определяемых по экспериментальной кривой и аппроксимирующей зависимости:

ч %= / (£пр>;               (0

• б)    равенства нулю производной в точке, соответствующей пределу прочности:

Закон Бюльфингера:

о = ЕЕ,             (3)

где постоянная К = 1,0975 определена из условия (1).

Зависимость а - ев виде параболы с одним неизвестным коэффициентом:

о = Ее-А^,         (4)

где постоянная Д2 = 207 000 кг / см2 найдена из условия (1).

Параболическая зависимость с двумя неизвестными коэффициентами:

• <7 = А₁е-А₂е²₁           (5)

где постоянные Л₁ = 53 200 кг / см² и А_г = 587 000 кг / см².

Закон в виде кубической параболы с одним коэффициентом:

(т = Ее-А₃е³₁           (6)

где Лэ = 4 569 800 кг / см2 определено из условия (1).

Зависимость в виде кубической параболы с двумя неизвестными коэффициентами:

сг = Л|£-Лэе3,           (7)

где А, = 39 900 кг / см²

и Л3 = 6 479 000 кг / см2.

Зависимость в виде полинома:

ст = Ее + Д^ - ЛдД³, (8) где А₂ = 173 080 кг / см²

и Д3 = 8 389 000 кг / см2

Закон в виде полинома пятой степени:

а = Ее- A^f Л^,     (9)

где Л3 = 10 550 000 кг / см2

и А5 = 2 911 000 000 кг / см2

Закон Гука:

tr = Ее.                  (9)

В табл, приводятся величины напряжений, найденных по аппроксимирующим зависимостям, и дается процент их отклонения от действительных значений.

Полученные исследования показывают: при малых уровнях напряжений (до 50 % от предельных значений) поведение материала образца подчиняется закону Гука (расхожде ния не превышают 2 %); при напряжениях, превышающих половинные значения предельных напряжений, наиболее приемлемой зависимостью следует считать кубическую параболу с двумя коэффициентами, т. е.

• <т = Л₁£+ Д^. В этом случае максимальные расхождения изменяются в пределах от 0,5 до -2,0 %.

О расчете конструкций. В статически определимых системах нахождение внутренних усилий не вызывает затруднений. Найдем несущую способность поперечного сечения изгибаемого элемента (балки) при условии, что материал обладает физически нелинейной зависимостью между напряжениями и деформациями.

Положим, что для изгибаемого элемента справедлив закон плоских сечений:

Е_д= У / р,             (И)

а изменением формы и размеров поперечного сечения будем пренебрегать.

Для аппроксимирующей зависимости между напряжениями и деформациями в виде кубической параболы с учетом (1) имеем:

=                         (12)

р р

Запишем уравнение моментов:

М =^aydf = ^y¹dF-^^y^AdF (13)

F        Р F Р Г или:

_{М =} АЕ_АА          (14)

Р Р

Таблица

Аппроксимирующие зависимости напряжений

Деформации образца е» % от предельных значений £ .             т	Экспериментальное значение налря жений, кг / смг	Значения напряжений в соответствии с аппроксимирующими зависимостями
		(3) кг / см2. %	(41 кг / см2, %	(5} кг / см1, %	(6) кг / см2, %	(7) кг / см1, %	(8) кг / см1, %	(9) кг / см2, %	(10) кг / см2. %
21,74	354,1	226,0	334,6	467,2	350,3	386,9	363,4	344,9	354,7
		-36,35	-5,51	31,94	-1,07	9.26	2,63	-2,60	0,17
43,48	697,5	483,7	628,0	820,1	674,4	736,6	712,3	637,3	709,4
		-30,65	-9,82	17,58	-3,31	5.61	2.12	-8,63	1,71
65,22	1 028,7	754,8	883.2	4 059,6	946,1	1 012,0	998,5	857,3	1 064,0
		-26.62	-14,14	3,00	-8,03	-1,62	-2.93	-16,66	3,43
86,96	1 170.5	1 035,0	1 097,2	1 184,9	1 139,1	1 176,0	I 174,1	1 049.8	1 418,7
		-3.30	2,29	1,23	-2,68	0,47	0,31	-1,77	21,21
100	1 206,2	1 206,0	1 206,2	1 205,6	1 206,2	1 205.2	I 206,2	1 206,1	1 631,5
									35,26

График зависимости напряжения — деформации

где у, = J/dF; J.j/dF —моменты инерции Bio-рого и четвертого порядков соответственно.

Рассмотрим случай, когда зависимость у-дне имеет нисходящей ветви (рис.). Наибольший изгибающий момент определим из условия, что в крайнем волокне напряжения равны предельному значению. Продифференцируем выражение (12) по у и приравняем производную нулю, т. е.:

da ₌ А ЗА,у² ₌ dy Р р’ ’ Из уравнения (15) определяем у:

у =

L^J

Предположим, что y_mai = h / 2 из (16), и найдем:               _г

Подставив формулу (17) в уравнение (14), в результате получим:

34J

м_ = А

LhJ

Для прямоугольного сечения:

У п — о । ²    12

Л = 6 \уМу= —

С учетом (19) выражение (18)

мает вид:

м 2Л-Ь*

прини-

,2

LHJ

Выражение (20) позволяет найти максимальный изгибающий момент, который может воспринять прямоугольное поперечное сечение.

Пример. Требуется подобрать сечение шарнирно-опертой балки из полиэфир- нои смолы с наполнителем из молотого кварцевого песка исходя из условия несущей способности. Максимальный момент в балке 180 000 кг / см. Величины: А^ = = 39 900 кг / см2, Д,= 6 479 000 кг / см2

Представим ширину балки равной 5 см и приравняем полученный максимальный момент к (10). Таким образом, получим:

180000 = г”900 Я‘

Г39900 3-6479000

отсюда й = 12,2 см.

О распределении напряжений в пря- моугольном поперечном сечении элемента конструкции из нелинейно-упругого материала. Задавая в (11) координату у = у^, для (12) и (14) получим:

Отсюда найдем отношения 1

I а^-Му} 1 /

Р У^-У^гА*

1 Му, -a,J-, I р³ Х^-^Л 4 .

Из первой формулы (22) найдем 1 / р3 и приравняем его к значению, полученному из второй формулы. В результате получим:

_д 4», [(^-0^)41 1

1 л {^(^л-уагд3}^'

Нелинейная зависимость (23) позволяет получить закон распределения напряжений в поперечном сечении при заданном изгибающим моменте.

Положив y_t - h_t= h_mai (частный случай /i, — координата фибрового волокна) зависимость (23) можно представить в виде:

_м „ ”1^1 ₊ [(^-аЛ^А! 1      (94)

A МЛ-АдУ^А

Для прямоугольного поперечного сечения высотой 15 см и шириной 8 см при A_t = = 39 900 кг / см², А = 6 479 000 кг / см³, J,=b— = 2 250 см⁴, Л ^— = 75 937,5 см⁶ 12                    80

и М - 180 000 кг-см в соответствии с формулой (23) получено распределение напряжений по высоте поперечного сечения (табл. 2).

Таблица 2

Изменение напряжений по высоте поперечного сечения

. - ^ Значение координаты у, см	1,0	2.0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	7,5
Значения напряжений, кг / см3	81,834	163,33	244,15	323,96	400,50	476,78	553,98	590,56

О действии агрессивной среды. Инженерные сооружения в процессе эксплуатации подвергаются различным воздействиям со стороны окружающей среды. По физической природе агрессивные среды подразделяются на биологические, химические, механические, электромагнитные и т. д. Несмотря на многообразие агрессивных сред, их проявление на строительные конструкции инженерных сооружений можно характеризовать тремя типами механизмов разрушения: гетерогенным, гомогенным и диффузионным.

При гетерогенном механизме происходит поверхностное разрушение материала без существенного изменения его физических свойств в объеме конструкции. С математических позиций действие этого механизма выражается в уменьшении линейных размеров конструкций и всех зависящих от них геометрических характеристик: статических моментов площади, моментов сопротивления и моментов инерции, используемых в практических расчетах. Примерами гетерогенного механизма разрушения являются коррозия металлических конструкций; механический износ поверхностей вследствие истирающего воздействия; разрушение полимерных материалов (пленок) под действием света и т. д.

Гомогенный механизм разрушения обусловливается изменением физических свойств материала в объеме конструкции практически без уменьшения ее размеров. Это изменение свойств математически описывается введением физически нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями как функции времени. Гомогенный механизм разрушения характерен для пористых материалов, которым свойственно быстрое насыщение химически или биологически активными средами.

Диффузионный механизм разрушения проявляется при неравномерном распределении концентраций агрессивных сред. Его особенностью является изменение физических свойств материала, в процессе эксплуатации, по толщине конструкции. Примерами диффузионного разрушения являются повреждение композиционных материалов химически активной средой: радиоактивное облучение толстостенных и объемных конструкций и т. д.

Исходные предпосылки. Как правило, строительные материалы при действии агрессивной среды характеризуются нелинейной зависимостью между интенсивностями напряжений и деформаций. Существует ряд аппроксимирующих законов, описывающих эту взаимосвязь в виде степенных, обратно-гиперболических, показательных, тригонометрических, комбинаций гиперболических, тригонометрических и других функций. Наиболее общим законом является аппроксимирующая кривая в виде ряда [3], т. е.

<т =£4(06^).           (25)

Для определения коэффициентов 4.U) и 6.(0 требуется составить ряд условий (на конкретные моменты времени):

• а)    равенство пределов прочности;

• б)    существование экстремума в точках с_п(|;

• в)    равенство удельных энергий, найденных по экспериментальной и аппроксимирующим кривым.

В рамках гомогенного механизма разрушения функцию (25) представим в виде:

ст = Е(0е " fjtOe^{3 _} E^f^ (26)

Теоретические исследования. Решение физически нелинейной задачи о расчете плиты осуществим энергетическим методом. Энергию деформации тела найдем в результате суммирования удельных энергий, т. е.

и = | ] | a'dxdydz.           (27)

Т

~       - з 5   ! 7 ,   l-2v07 ,

3«есь

Пусть материал, из которого выполнена плита, является нелинейно-упругим, несжимаемым. Кроме того, предположим совпадение направляющих тензоров напряжений и деформаций, согласно [1]. Тогда в выражении функции деформаций примут вид:                                ;

^7^.       (28)

где R= 4 ,-5^-е ,-5^ 4 = -^.

1 61   аг1’4' ау”^ асах'

to — прогиб тонкой плиты.

В условиях действия гетерогенного меха низма толщина плиты будет изменяться по

НСКОТОрОМу Ош ко ну.

/= s«).               (29)

При этом энергия деформации, характеризуемая объемом тела, также претерпит изменения.

Производя интегрирование (27), с учетом (26) и (29) получим:

и = f jca^COS, -сЖ -a^^O^W (30) Здесь Л(0 = Л_о - s(/); a, = ²^; а_г = -⁴^™; а,=^.       .....

• ³    576

Пусть плита загружена распределенной нагрузкой, тогда работа внешних сил будет равна:             г г

^ = J jgt^ y)a>dxdy. (31)

Для дальнейшего решения задачи необходимо задаться функцией прогибов, которая должна соответствовать граничным условиям. Так, для шарнирно опертой плиты:

со =too(t)cos—со®”-         (32)

2a

Выполним интегрирование (30) и (31) для случая равномерно распределенной нагрузки, действующей перпендикулярно срединной поверхности плиты:

н^-мМХ; ^=№о^.

Здесь р,.^.^; JO ар

• р, = ^’^’[^а¹ + F)* - Хба^Ча¹ + Ь¹? +16а*6*;

16а b

Ь’^^^-РХ^+Ь1)*^

*11a‘bV +6^г)^г.

Минимизируем приращение энергии: jU“-% а»,    д».

Получаем зависимость между нагрузкой и прогибом:     р , р 1 _зр 1

^■■“•‘to-to^" to ®>)'   <34)

flotmgnu as 16.09 0$.