О расчете на изгиб неупругих составных пластинок

Исследуется поведение под нагрузкой упругопластических многослойных пластинок, имеющих слои переменной толщины, которые соединены между собой абсолютно жесткими поперечными связями и податливыми связями продольного сдвига, обладающими переменной жесткостью на сдвиг в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Для материала слоев пластинки и ее связей устанавливается произвольная зависимость между деформациями и напряжением. Используется гипотеза о нелинейноупругом материале, основанная на теореме, доказанной Л. М. Качановым [2], согласно которой при активной пластической деформации поведение упругопластического тела неотличимо от поведения нелинейно-упругого тела.

Исследование базируется на использовании основных положений теории расчета многослойных пластинок, разработанной А. Р. Ржани-цыным [3]. В этой теории рассмотрены составные пластинки с упругими слоями постоянной толщины, соединенные между собой абсолютно жесткими поперечными связями и упругими продольными связями сдвига постоянной жесткости. В данной работе система дифференциальных уравнений изгиба упругих составных пластинок, полученная А. Р. Ржаницыным, заменена системой уравнений в конечных разностях, в которой учтена переменная толщина слоев, переменная жесткость продольных связей сдвига и нелинейная работа материала, как слоев, так и связей составной пластинки. Каждый k -й слой пластинки рассматривается как ортотропная пластинка. На срединную плоскость каждого слоя пластинки наложена ортогональная сетка, образованная семейством прямых линий: x = j • s_x , y = m • s, где j и m - порядковый номер прямых линий, расположенных перпендикулярно соответственно координатным осям x и y ; s x и s y - шаг прямых линий, образующих © Рочев А. А., 2012

сетку, соответственно в направлениях осей x и y . Расстояние между срединными плоскостями слоев - с^{( к} ) . Используется метод шагового за-гружения конструкции [1].

Дифференциальное уравнение изгиба неупругой пластинки, состоящей из ( n + 1 ) слоев в конечно-разностной форме для узла jm , расположенного на пересечении прямых линий, образующих сетку, с номерами j и m , на i -м шаге нагружения равномерно распределенной нагрузкой q® примет вид

+

Д ⁴ w ⁽ i ) n + 1

^x jm      equq u ( к , i ) .

4  ^ Dxjm sx

A⁴ и/ i ) n + 1

Ду wjm V equ(u(к,i) - „(i) c 4  ^ Dyjm sy

A²fA²w⁽ i )) n + 1

Дx (Д ywjm ) у eququ(к,i) c2 2    ^ Dxyjm sxsy n+1         A -(к, i)     A -(к, i)

+ ^С(к)( "jm + y”m ), к=1 jm sx

(i)

где w jm - перемещение узла jm в направлении оси z ; D x-j^’i и D yjmu^{к, 1)} - эквивалентные цилиндрические жесткости k -го слоя пластинки в узле jm соответственно в плоскостях, параллельных плоскостям xz и yz , для расчета на i -м

шаге нагружения

ух equ ^{( к} , i ) xjm

уequ ⁽ к , i )7 ³⁽ к ) xjm jm

12Л+v equ ^{( к} , i V equ ^{( к} , i А ^{1 (1 + v} xyjm ^v yxjm )

yx equ ^{( к} , i ) D yjm

уequ ^{( к} , i )7 ^{3( к} ) yjm jm

12fi+v equ ^{( к} , i )v equ ^{( к} , i A

^{1 (1 + v} xyjm    ^v yxjm   )

, (2)

equ( κ ,i) equ( κ ,i)     equ( κ ,i) equ( κ ,i)

здесь Exjm    , Eyjm    и Vxyjm , Vyxjm - эк вивалентные модули деформаций и эквивалентные коэффициенты Пуассона в двух взаимно перпендикулярных плоскостях; h^ - толщина k-го слоя составной пластинки; Dxyjmк,1) - эквивалентная жесткость k-го слоя составной пла-(κ,i)     (κ,i)

стинки при кручении; T xjm и T yj_m - погонные сдвигающие усилия в k -м шве в узле jm ; ^ x w jm , ^ yw^jm и ^ x ( ^ y w (m ) - центральные конечные разности четвертого порядка для функции w ⁽ _jm ^{i )} в узле jm .

Вышеперечисленные эквивалентные параметры определяются по результатам расчета на (i -1 )-м шаге нагружения. Погонные изгибающие моменты в k -м слое пластинки М⁽_х ^{к -} 1) и M j ^- 1) , действующие соответственно в плоскостях xz и yz , проходящих через узел jm , на (i - 1 )-м шаге нагружения определяются по формулам

вивалентных цилиндрических жесткостей k -го слоя составной пластинки для расчета на i -м шаге загружения:

De (^к2) = ^xjm

-м(к,i-1)/ х(i-1) /г-'9' ' зл'         - 1 пт xjm Xxjm yj'yjm          1VL yjm      xyjm .(1O)

M ⁽ к , ^{i - 1)} = _- Det qu ^{( к} , ^{i - 1)} xjm            xjm

XT(К-11) _ _piequ(K-11) yjm       yyjw

Д X w ( i - ¹) S x ² ^ y W jm 1) s y²

, equ ( к , i - 1) yxjm

, equ( к ,i -1) xyjm

^ y w Ti -⁰ s y ^ x w j - 1) s x²

, (3)

^{( к} ' ^- 1) M^{i-,i -} 1)                         (к^ ^К 1 ^- 1)

( Зн - ая ^M xjm , ^M yjm   ^{и осевые силы} N xjm ,

Nym"" ^, можно определить краевые относитель- ( к - 1)   ( к ,i - 1)

ные линейные деформации £ _xjm1 , £ _xjm2   и

(.i - 1)   (.i-1)

£ _yj_mvi ) , £ _yj_m2 ) , возникающие в плоскостях, параллельных плоскостям xz и yz и проходящих через узел сетки jm . При этом используется метод Р. С. Санжаровского [6]. Слой k пластинки делится по толщине И у К ) на n (в общем случае неравных) участков. Нормальные напряжения в k -м волокне на границе между этими смежными участками будут равны

—( к , ^{i - 1)} _ р<^к , ^{i - 1)} ( ^к , ^{i - 1) ( к} , ^{i - 1)}     Т7 ^К - ⁱ - ¹)<,( к , ^{i - 1)}

^ xjmk      x"^:gmk ^£ xjmk , ^ yjmk E yjmk ^£ yjmk , ⁽⁵⁾

TTP  /7 ^{( к ,i -} 1) ^{,i -} 1)      ^{у К ,i - -} 1)   ^{у К ,i - -} 1) _— iwnnvTTW

И    xjmk ,   yjmk      £xjmk , £yjmk         ^У продольных деформаций и относительные линейные деформации для k-го волокна k-го слоя пластинки.

С учетом (5) можно представить следующие равенства:

k = n

( , i - 1)                 ( , i - 1)    ( , i - 1)         ( , i

^М xjm / . Axjmk ^ xjmk , ^М yjm

k = 1

(к,1-1) _ k=n d(к,i-1) (к,i-1) (uiк xjm ~ ^ 'xjmk ^ xjmk , N yjm k=1

k=n i-1) =Ус( к-i-V) (к ,i-l)

/ , ^-' y/mk ^ yjmk , (6) k = 1

k = n

ⁱ -1) = у F( K ^, i ^ч)₍т1 к ^,ч>_m / yjmk ^ yjmk , (/) k =1

Д(к,'- 1) К-- 1) Х К1 - 1) F( К1- 1) _ итгтрпттотт я где Axjmk , Bxjmk , Cxjmk , Fxjmk     интерполя ционные коэффициенты.

Принимая во внимание справедливость гипотезы прямых нормалей, из (6) и (7) определяют ся Р ^(к - 1) Р^кK_" 1) (^кк* ^- 1) Р^кк, ^- 1) к'пиития ^{ся £} xjm1 , ^£ xjm2 и ^£ yjm1 , ^£ yjm2 • ^{Кривизна сре} динной поверхности в узле jm в направлениях плоскостей xz и yz с учетом влияния поперечной силы будет равна [4], [5]

v ⁽ i ^{- 1)} = -Л.с^{( к} , i ^{- 1)} /Л^{( к} ) -I- v^{( к} , i ^{- 1) x} Xjm      ^£Охр2 12     \jm ⁺ ' 1 xjm

Д Q^{( к} ,^{i - 1)} x^-'xim         (8)

X ⁽ i ^{- 1)} = -Д £ ^{( к} , i -^{- 1)} / h^{( к} ) + Y < ^к , i ^{- 1) х} yjm           yjm 12 jm • 1 yjm

sx

A Q ^{( к} , ^{1 -1)} y yjm ---------------------------,

ГТТР X^y ( к , i -1) — К^K , i -1) _ К^K , i -1) Af( к , i -1) — f¹ г^де ZA ^£ x₇m 12 = ^£ xjm 1      ^£ xjm 2 , ^Д£ yjm 12 = £

s y

»^{( к} , ^{i -} 1)    ^(КK , ^{i -} 1) - ’ yjm 1          yjm 2 ’

Y^jm 1) — углы сдвига материала слоев составной пластинки от поперечных сил соответственно Q( ^к » ^{- 1}) = 7иP ^Kк'^{1 _} 1) = 1 xjm             yj^yjm         .

Приравняв кривизну упругопластического слоя составной пластинки кривизне упругого слоя, получаем выражения для определения эк-

Эквивалентные параметры veq,u(к,1) и Veex^''^ у?equ(к,)    ~т'е(к(к,1 )    y           y связаны с Exjm    и Eyjm    известными зави симостями

equ(к,i) _ ^v xyjm

г equ(K'i)

E xjm        equ(K'i) _

Е<к)     ^V yx^jm   =

Г equ( К ,i)

-E yr '(11)

С учетом (2), (10) и (11) параметры т? equ( к) )

и — _yjm ^' определяются из выражений

-=Ч« ^1к - t⁾ = 3( D4« ^{( к} , ^{1 )} + D el« ^{( к} , ¹ ) ) „ - xjm           V xjm           yjm ' 1

Р equ(кд)

E xjm

Е(к "н o jm

-Е ^{( к} \/Ч'^{( к Л} /3S eq" ^{( к} - ^{i )}a„ o          xjm           yjm      ‘-'^-2^,

щ^{( к} , ⁱ ) _ 4/ F^{( к )} D equ ^{( к} , ⁱ ) -U D equ ^{( к} , ^{i )}'\zy ^T xjm = ^{6( —}o D xjm ⁺ D yjm ^{) U} 1

equ ^{( к} , ⁱ )V+ (пк^{11 ( к} , ^{i )}Vi+i76n equ ^{( к} , ⁱ ) nequ ^{( к} , ⁱ)\rz F^{k21 (13) {9[(} D xjm   ) ^{+ (} D yjm   ) ^{] + 126} D xjm    D yjm   ^{} a} 2   ^hjm^—o  ,

р equ( к,1) _ О tj-^equ (к,i)    ppqu(к,i )\     _ yjm       *?( ^xjm         yjm    )а1

Е ^{( к}^ o jm

-E ^{( к} ’ /т^{( к} ,° /3D ^{equ ( к}»kxq, o v yjm           xjm ^'^,'2^,

m^{( к} , i ) _ а/ г^{( к} ) n equ ^{( к} , i ) । n equ ^{( к} , i X™ ^T yjm ⁶⁽ E o D yjm    ⁺ D xjm   ^{) U} 1

equ ^{( к} , ⁱ h² + (п ^кк ^{и ( к} , ^{i ,}Vi+i?6n eq" ^{( к} , ⁱ ) neq" ^{( к} , ⁱ *1/7 -й^{3        (15)}

^{9[( D xjm   ) ^{+ (} D yjm   ) ^{] + 126} D xjm    D yjm   ^{} U} 2   h jm E o  ,

« 1 = (1 - 2Х ) ) , « 2 _ (1 - 4 у О ^к ) + 4 у О ^{к )2} ) , (16) где Е ^^к) и У ^{( к )} - модуль продольных деформаций и коэффициент Пуассона, соответствующие начальной точке диаграмма материала k -го слоя.

По результатам расчета на (i - 1 )-м шаге за-гружения погонный крутящий момент определится по формуле

ЛД (к,i - 1) _ _Tyqu(к.i - 1) ^ x ⁽^ y w jm )

1 xyjm       xymjm sxsy

.

Зная М^ X определяем краевые угловые деформации ^ xj ^{- 1)} и / (jV) из решения систе-

мы уравнений

У (к,1-1) = k=n т(Кк,1-1) (к,i-1) xyjm - ^ xyjmk Т xyjmk , k=1

k = n

У£( К , i - 1) ( К , i - 1) ^^ xyjmk xyjmk k = 1

_ ( к - 1)

где T _xyj_mk - касательное напряжение кручения в k -м волокне на границе между смежными участками разбиения по толщине пластины, равное

_ ( к , i - 1) =    ( к , i - 1) G (к , i - 1)

xyjmk / xyjmk jmk ,

здесь G m 1) — модуль сдвига, соответствующий ( к- - 1)

/xyjmk на диаграмме «касательные напряжения - угловые деформации»; (ХУ-1) и (ХУ1) — xyjmk xyjmk интерполяционные коэффициенты.

Эквивалентная жесткость при кручении для расчета на i -м шаге загружения будет равна

О расчете на изгиб неупругих составных пластинок

pxequ ^{( к} i) _ _Vjequ ^{( к} .1 ^-1) / y^{( i -1)} y^{( z -1)}₌ fy^{( r ,l -1}—y^{( к} . i ^-Ь/Л^{( к} ) ИП xyjm             xyjm       Ayjmm ^x xyjm ^{( Y} xyjm 1 ^Y xyjm 2 ) ¹ jpn ^{, (21} )

(i - 1)

где Z xyjm - кривизна пластинки при кручении.

Зависимости для определения погонных

(К,))   ( ( К))

сдвигающих усилий в k -м шве - _xj_m и - _yj_m устанавливаются на основе дифференциальных уравнений, полученных А. Р Ржаницыным [3]. Продифференцированные уравнения разности продольных смещений по обе стороны плоскости k -го шва [3] в конечно-разностной форме с учетом разных жесткостей связей шва на про- ( к , i) ( ( к , i)

дольный сдвиг 5 _xj_m и 5 _yj_m в направлениях, параллельных плоскостям xz и yz, примут вид

2 т(кА ZVCA^кА ) /к (к,i) Aylxjm _p (к,i) Ax( AyT yjm ) ( 5yjm 2 5xjm sy sxsy

7 к(к,i) к(к,i) (к) Ax(AyWjm ) , ,((к,i) ,(к,i)Q(к,i) 5xjm 5yjm c jm         2    ) 5xjm 5yjm xyxyjmo + sxsy

( к +1, i ) ^T xjm h^v .^{к + 1)} jm

------+—-— Itк. i) hv,к+1) hv,к) Ixjm jm       jm 7

- ( к -1, i )

+ -xj^ = 0, hк)        , jm

г к(к,i)p(к,i) ^{[ 5} xjm E yjmLo

2j т(к,)

y yjm

s y ²

, к (к,i)p(к) (к,) ^{+ 5} yjm ^Exjmo ^v xyjmo

A x ( A y — jm' )

sxsy

5 ^{( к} i) ^ xjm

•

К т(" : x xjm sx

_c ( к ) ^A x w m c jm    .2

sx

+ ^{1 к} i )- n ^{к у )} 3(&^(к i ) Я

⁺ e ( к , j)\y ^(U: jmo ) ^v yxjmo^{V( V} yjmo ^)] , xjmo

Aw⁽ⁱ⁾ к(ку)р(кл) (к)/ (кх) р(кУ) ^{А W jm 5} xjm ⁵ yjm ^cjm ^{( v} x ^y imo^Eximo     3

sx

с^{( :} i) ⁵ yjm

•

A t (' i y yjm sy

= С

A v

. ( к )    y ^V*j^m

' jm    .2

sy

+ ¹ A rr " ) - v^{( K}i ,y^ , (22)

( к , i ) ^L       yjmo' xyjmo 'mxjmo /J V /

Eyjmo

3  (i)

p(к) yywj^}! / к<к’i)к<к’i)/l _ук>)ук>) )_ PzP yjmo 3   )] ' 5xjm 5yjm ( ' vxyjmovyxjmo) V Z sy

5 ⁽ i ⁵ xjmo

•

A t кА y xjm sy

+—V 5 ^{( к} . i ) ⁵ yjmo

1 A t (к,° x yjm

sx

= 2 c ^{( к} )

jm

а , (a y W jm, )

sxsy

+ G ⁽ " А- ^{( к У )} ) , xyjm xyjmo

/г (к, i) ' ⁵ xjm

A X т j:^, s x ²

, К(кУ) ^{+ 5} yjm

A x ( A y -^)

sxsy

где A^ j ^{, A} y ^- j ^, A y ^' ^jmm и Д ^-^ ^- центральные конечные разности первого порядка для функ-ттыы т ⁽ⁱ⁾ и т^У)^ r vrttp < ^к()т^^{к ,} i )/т^{( к +1,} i )_/т^{( к ,} i )

^{ций T} xjm ^{и -} yjm в узле ^jm , °W xjmo )   ^ xjmo     ^ xjmo ,

5 ( _а ^{( к} , i ) ) = _а ^{( к +1} , i ) - _а ^{( к} , i ) X// i)) ) ₌ / ^{к +} 1^У) _ /i) - -

V yjmo / yjmo yjmo,    (V -xyjmo) txyjmo - xyjmo разность осевых напряжений k-го слоя в узле jm; Gxjn — модуль сдвига в плоскости xy.

С учетом (22) система уравнений равновесия осевых сил для (п + 1 ) слоев пластинки примет вид

2т(к,)                   Л (Л T(i)) )

ГК(к,i)p(к) Axlxjm KQtj)pQ)) v(r,i) AX( Aylyjm ) [ 5yim Exjmo 2 + 5xjm Eyjmcryxjmo sx                            sxsy

⁽Ki) к⁽кх)_г⁽к) / p⁽K) ^Ax^wjm

⁵ xjm ^{5 y}jm ^cjm ⁽ "^xjmo 3 s_x

2 К(кУ)к(кУ) (к) ^ ⁵ xjm ⁵ yjm ^c jm

A x ( A y w-^)

s_x ² s_y

1 / К(кУ)к(кУ)НкУ) ) ⁵ xjm ⁵ yjm xyjmo

+

_т ( к + 1, i )

-yjm h m1

1           , A             -(«-1>)

¹ I ¹      L^{( к+1,} i ) 1 ^- y^jm        n

, (к+1) + 1 (к+1) -yjm + 1 (к)      v , hjm     hjm  7          hjm

A W i)

<к^> р(к) Zywjm-H /P^i^ук-у(к,0,/к) \ v yxjmo yjmo 3   /1 xjxjm yjyjm ( v xyjmo* yxjmo /    v^-v sy

2 (i)      2 (i)      2 (i)      2 (i)              (i)

где ^A x ^- xjm ^{, A} y ^- yjm ^{, A} y ^- xjm ^{, A} x ^- yjm ^{, A} x ( ^A y ^- xjm ) ^и A x ( A y - yi^ ) - центральные конечные (у азности второго порядка для функций - xjm и — _yjm в узле

F(,i))          (/(к)) x/(K)) G(K'l) - соответ- jm, xjmo^Q , yjm?o,no , vxyjmo, vyxjmo, ^xyjmo соответ ственно модули продольной упругости, коэффициенты Пуассона и модуль сдвига для осевых волокон k-го слоя в узлеjm.

Совместное решение (1), (23) и (24) с учетом граничных условий позволяет решить задачу определения напряженно-деформированного состояния при изгибе многослойной составной пластинки за пределами упругости.

* Работа выполнена при поддержке Программы стратегического развития (ПСР) ПетрГУ в рамках реализации комплекса мероприятий по развитию научно-исследовательской деятельности на 2012-2016 гг.

280 с.