О расчете рамных систем из неупругих составных элементов

Рассматриваются плоские статически неопределимые рамные системы, включающие в себя упругопластические составные элементы, выполненные из ветвей, соединенных между собой структурными связями в виде планок, раскосов, распорок, перфорированных листов. Составные элементы имеют переменное поперечное сечение и переменную жесткость связей сдвига по длине элемента.

В работе применяются основные положения общей теории составных стержней, разработанной А. Р. Ржаницыным [3]. Для материала ветвей и связей, расположенных между ветвями составного стержня, устанавливается произвольная зависимость между деформациями и напряжением. Используется гипотеза о нелинейно-упругом материале, основанная на теореме, доказанной Л. М. Качановым в [2]. Раскрытие статической неопределимости рамной системы осуществляется методом деформаций с учетом влияния продольных сил.

Для определения перемещений плоской рамы элементы многоконтурного стержня рамы делятся по длине на участки постоянной жесткости (в общем случае неравные) длиной lj между узловыми точками j и j + 1. В узлы элементов рамы вводятся моментные 1j и силовые 2j связи, образующие основную систему метода деформаций. Расчет такой рамы производится шаговым методом [1]. Перемещения сечений и узлов рамы Z1(ij) и Z2( ij) определяются из решения системы уравнений my1 ^(i) 7(i) + /?(i) 7(i)    /?(i) -0

s ( R1 jlkZlk + R1 j2kZ2k ' + R1 jp = 0 , m-                                    (1)

• (i)    (i)      (i)     (i)        (i)

• 2^ 1 ( R 2 jlk Z lk ⁺ R 2j2k^Z2k ' ⁺ R 2jp = 0 ,

j = 1..m -1, где R1(ij1)k и R1(ij2)k – реакции в связях 1j от перемещения связей 1k и 2k, определенные с учетом влияния продольных сил на i-м шаге нагруже-

• (i)           (i)                                                    (i)

ния; R_{2 j1k} и R_{2 j2k} – то же, но в связях 2j ; R_{1 j} ^p и R₂⁽ⁱ_jp⁾ – реакции в связях 1j и 2j от внешней нагрузки на i -м шаге нагружения.

При определении реакций во введенных связях j-й участок элемента рамы рассматривается как жестко защемленный по концам составной стержень длиной lj. Дифференциальное уравнение изгиба упругого двухветвевого (n = 2) составного стержня было получено в [3]. При работе за пределом упругости уравнение для j-го участка элемента рамы, в котором действует продольная сила N(ji), будет иметь вид v1V(0) +" v"(1)(N(1)/C^qua) - ^(D ) -

- v^n^x²^ /с О;,^} = о , где v⁽_jⁱ⁾ – прогибы j -го участка элемента рамы на i -м шаге нагружения; C _x ^e _j ^{qu( i )} – суммарная эквивалентная жесткость ветвей составного элемента на на j -м участке элемента рамы при i -м шаге нагружения, равная

n

CT"' = s (eTJ„ „ ) ,       (3)

u = 1

здесь E juui — эквивалентный модуль деформаций для сечений υ -й ветви j -го участка элемента рамы на i -м шаге нагружения; J_xjυ – момент инерции поперечного сечения υ -й ветви, постоянный по длине j -го участка элемента рамы, C _o ⁽ _j ^{i )} – приведенная жесткость сечения j -го участка элемента рамы как монолитного на i -м шаге нагружения, равная

( i )        equ( i )        ( i )         ( i )        2 ⁿ ( i )

C oj = C xj    ^{+ E}cj1^Aj1^Ecj2 A j2^Cj 'V ^s (E cju A ju ' , ⁽⁴⁾

u = 1

здесь A _j1 и A _j2 – площадь поперечного сечения ветвей 1 и 2 j -го участка элемента рамы; c_j – расстояние между центрами тяжести ветвей составного элемента; E_c⁽_jⁱ₁⁾ и E_c⁽_jⁱ₂⁾ – секущие модули деформаций осевых волокон ветвей 1 и 2 на i -м шаге нагружения;

n

^ = _Л $)[ ^ (1/CE CjU A ju ) + c j ZC X"^l],    (5)

υ = 1

здесь ^ (i - коэффициент жесткости продольных связей сдвига на j -м участке элемента рамы при

i -м шаге нагружения.

Величина Е^е^⁽¹⁾ в (3) определяется по формуле [4]:

_Ee _j υ qu(i)

(i - 1)             (i - 1)

xj υ   j υ ⁽     ε oj υ ⁾

(i - 1)     (i - 1)        (i - 1)

^{( Δ} ε j υ  ^- γ 1 j υ ^h j υ ^Qyj υ ^)Jxj υ

где М —1) - наибольший изгибающий момент, действующий в сечении и -й ветви j -го участка элемента рамы на (i -1) -м шаге нагружения; h ^ -высота поперечного сечения и -й ветви j -го участка элемента рамы; ^ Oj - 1) - линейная деформация оси и -й ветви j -го участка элемента .рамы .на (i - 1) -м шаге нагружения; 4/; ' ?" ^]) = ej - ¹⁾ - ^ ('-J ;

(i - 1)      (i - 1)                           j ^{u 12j}

E\jи и ^2jи - краевые линейные деформации в волокнах поперечного сечения и-й ветви j-го участка элемента рамы, возникающие в соответствии с гипотезой плоских сечений на (i -1)-м шаге нагружения; y(J-f) - угол сдвига и-й ветви на j-м участке элемента рамы от единичной поперечной силы при (i - 1)-м шаге нагружения; Q'^-) - первая производная от поперечной силы, действующей и-й ветви j-го участка элемента рамы при (i - 1)-м шаге нагружения.

Общее решение уравнения (2) имеет вид

(i)       (i)       (i)            (i)(i)

v_j = C _1j ch( k_{1 j} z_j ) + C _2j sh( k_{1 j} z_j ) +

(i)       (i)            (i)(i)

+ C3 j ch k2 j Z j ) + C4j sh k2 j z j ), где

_(k1(i_j)₎2 ₌

-

_N(_ji) _{+ λ} 2_j( i)_Cxe_jqu( i) _2Cequ(i )

-

2(i)        (i) 2(i) equ( i) 2(i) equ( i) 2    2(i)        (i)(i)

N j 2Nj λj  Cxj   + λj  (Cxj   ) [λj  + 4Nj ] / Coj)

equ(i)

2Cxj

_{- N}( _j i) _{+ λ} 2 _j ( i)_{C x} e _j qu( i)

_{(k 1} (i _j )₎2 ₌

2Cequ(i)

2(i)        (i) 2(i) equ(i) 2(i) equ(i) 2    2(i)        (i)(i)

N j - 2N_j λ _j C_xj   + λ _j ( C_xj   ) [ λ _j + 4N_j ] / C_oj )

2CeejiuUi).

Производные от (7) имеют вид

• (i)       (i)       (i)       (i)       (i)       (i)(i)

vj  = C1j sh k1j Zj )k1j + C2j ch' k1j Zj )k1j +

• (i)       (i)       (i)       (i)       (i)(i)

+ C_3j sh( k_{2 j} z_j )k_2j + C_4j ch( k_{2 j} z_j )k_2j ,

• (i)       (i)       (i)       2(i)       (i)       (i)2(i)

v j   = C 1j ^Ch(k1j ^Zj^)k1j ⁺ C 2j ^{Sh( k}1j ^Zj ^)k1 j ⁺ (Ц)

• (i)      (i)      2(i)      (i)      (i)2(i)

+ C_{3 j} ch( k_{2 j} z _j )k_{2 j} + C_{4 j} sh( k_{2 j} z _j )k_{2 j} ,

• (i)       (i)       (i)       3(i)       (i)       (i)3(i)

v j   = C 1j ^Sh(k1j ^Zj^)k1j ⁺ C 2j ^Ch(k1j ^Zj^)k1j ⁺ (12)

Значения функции (7) ее производных (10)(13) при zj. = 0 будут равны

v(О _ (i(i) . (i(i)(14)

v _jo = C _{1 j} + C _{3 j} ,

J = C^yk*-) + C(lJk2p(15)

(i)       (i) 2(i)(i) 2

vjo = C1 j k1 j + C3j k2j,

V^0 = C^k^ + J-(17)

• (i)    (i)      (i)(i)

Начальные параметры v jo , v jo , v jo и v jo связаны с усилиями в связях сдвига т — и суммарными сдвигающими усилиями J , действующими в поперечном сечении с координатой z j = 0 , следующими зависимостями:

• (i)          (i)       (i) (i)       (i) equ( i)

• ¹    jo = ( ^М xjo ⁺ N j ^vjo ^{+ v}jo C xj    ^)/Cj , ⁽¹⁸⁾

(i)        (i)      (i) (i)       (i) equ( i)

v jo ’ jo-JO   1   *j j JO 1 j JO   x-xj      /I j, J,     v--*)

где Mj и Qj - соответственно изгибающий момент и поперечная сила в сечении с координатой zj = 0 участка j составного стержня рамы от внешней поперечной нагрузки (без учета усилий, передающихся от связей сдвига); cj - расстояние между центрами тяжести ветвей состав- ного стержня.

Решая совместно (14)-(19), получаем

(i)         equ(i) (i) 2(i)(i)

^C1j ^{=- (C}xj v jo^k2j ^{- T}jo c j ⁺

+ m J + Npv^/EC^-VkJJ) - k^)], ,

(i) ^C2 j ⁼

equ( i) (i) 2(i)(i)

^{- (C}xj    v jo ^k2j ^- τ jo c j ⁺

(i ) (i ) (i) equ( i ) (i )    2(i )2(i )

+ Q jo ⁺ N j ^vjo ^)/ iC xj    kxfkx  ^{- k}2j ^)] ,

_{C 3} ( _j i) _{= (C x} e _j qu(i)_v( _jo i)_{k 1} 2 _j j(i) _{- T j} ( _o i)_{c j +}

(i)      (i) (i) equ( i) 2(i)2(i)

^{+ M}xjo ⁺ N j ^vjo ^)/ LC xj   ^(k1j  - ^k2j ^)] , ,

(i)        equ( i) (i) 2(i)(i)

^C4j ^{= (C}xj    v jo ^k1j  ^- τ jo c j ⁺

• (i)      (i) (i) equ(i) (i)   2(i)2(i)

+ Q_jo + N _j v _jo ) /[ C_xj   k_{2 j} ( k_{1 j} - k_{2 j} )].

При повороте узла j на угол, равный ф₀ , в нем будут соблюдаться следующие граничные условия (в случае жестких на сдвиг торцов этого стержня):

VJJ = 0 , v ^ = _To , T jo = 0 ,        (24)

а в узле j + 1 : ^v (jy j = 0 , ^v ‘^ = 0 , ^т (^ = 0 ,         (25)

где г ^ и tJ^ - усилия в связях сдвига по концам j -го участка составного стержня рамы.

Подстановка C j .. C 4J в уравнения (10), (11) и (19) с учетом (24) и (25) дает систему линейных алгебраических уравнений

• (i)    (i)      (i)   (i)      (i) (i)(i)

^A11j^Mxjo ^{+ A}12j^Qjo ^{+ A}13j¹jo = ^V1j

((i)M(i) + А())О())4- A(i)T(i)-V(i)(26)

^A21j^Mxjo ^{+ A}22j^Qjo ^{+ A}23j¹jo = ^V 2j ,

• (i)    (i)      (i)   (i)      (i) (i)(i)

^A31j^Mxjo ^{+ A}32j^Qjo ^{+ A}33j¹jo = ^V3j ,

А. А. Рочев где

• 41)    =- [ChCk ij l j ) — ch^ y j/lC^k j - k^)];

A⁽ⁱ> -^shfk^(l>l A/k⁽ⁱ> - sh(k⁽ⁱ>l A/k⁽ⁱ> / /Г С^¹'¹'(k²⁽ⁱ> -k²⁽ⁱ> АГ ^A12 ^- Ls^h\^k1 ^lj^)/ki s^{h( k}2 ^lj^)/k2 ^]/L^Cxj ^(k1 ^k2 Л’

A^ ) = C j [ch(k 1i l j ) - ch(k^l j )] /[Cj^(k², ^ - k ^{2 ( г )} )];

д(l) - Г^кк(1)] Ak(г' - чWk(г>l Ak'^ Al /ГCequ(г>^k2(г> -к2(г' Al ■ a21 - Lsh\k2 lj)k2 shVki lj)k, )]/[Cxj (k1     k2 'b

А ⁽ⁱ⁾ --ГrЫk^(l>l A-M⁽ⁱ⁾l Al Я С^^м(г'кк^2(г'-к^2(г' Al ■

A22j - LCh\k1j lj) Ch\k2j lj)] /[Cxj (k1j    k2j 'b д (г)-Г г<:Wk(l>l Ak(г) - ^кк(г)1 йЯ ’ 1 ЛС^'Тк2)’ - k2) ’ Я a23 - CjLsh{k1 lj)k1 sh(k2 lj)k2 ]/[Cxj (k1 k2 )]

Л - {[_Sh(k'₁^1>l_J)kp^> - _Sh(k(^>l_J)k^]/(kf^1> - k^) +

+ P[_Sh(k⁽₁¹⁾l_J 'k' ^ - sh'k^l j Я] /[Cj‘^(t>(k1 - k ■)]} /c j ;

А(г) -ЯcMk(l>l 2k2

A 37    {L Ch( k 1 l )k 1       Ch( k y l )] /( k 1       k j )

- 1 + N cAk l ) - ch(k⁽ (4j )]/[C ]‘^{< г} (k²_l^{< г} - k)]}/C j ;

А(г) -    (Мк^к 3(г) -1ккк(г)1 3(г) 1 Як2(г) -к2(г) ) +

A 33 - {L sh( k 1 l j )k 1 Oh( k ^ l j 'k ^ ] /( k 1 k ^    ) +

-+- N(г) Г^ккк(г)1 Ак)г) - s"hkk(1)l Ак)г) 1 /гcequ(г)^'k2(г) - ^2(г) All

⁺ N j ^L s ^h { ^k 1 ^l j ^)k 1     s ^h V ^k 2 ^lj/^k 2 ^]/LC xj     ^(k 1      ^k 2 ^)]} .

В (26) свободные члены определяются по формулам

V ?) - ^PoLtO^A + с^е^⁽‘>k2^i>)_Sh(k(^>i_])]/k(> -

- (N j* + C e^' k²/⁰ )sh(k^f₁^i,i _] )]/k^f₁^i, }/[C^e _x]^^{, (i)}(k² ₁ ⁽ⁱ⁾ - k²^ ) )];

VA - P o {1 - L(N‘^> + C^eJ^(,)kf⁾)ch(k⁽₂^,)i ] ) -

- [(N⁽‘^> + с-kv' 'ch.k i )] ic-.k- - k²,^)]};

V (' - P _o {KN *' + с] ¹⁰ ' kf ' )ch(k⁽₂‘’i j ) -      ⁽²⁸⁾

- (N j + C^e ₁]^{, ,(i )}k² ₂ ⁽ⁱ⁾)ch(k⁽₁ⁱ4_J)k² ₁ ⁽ⁱ⁾]/(k²₁⁽ⁱ⁾ - k²₂⁽ⁱ >) +

+ N⁽_j* ^>[(N⁽_j^l> + CJ^{k2₁ >ck(k<₂l)l} _] > -

- (N j + C^e _x]' ^u(i >k² ₂⁽ⁱ > )ch(k⁽₂ⁱ⁾i _] )/[C^e _x]^^{, (i)}(k²₁⁽ⁱ⁾ - k²₂⁽ⁱ⁾)]}/c j.

Решение системы (28) имеет вид

Mx(jio) = D1(ij)/D(ji),(29)

Q-0 - D(]/D‘>,(30)

J - D-j/D-^,(31)

• (i)      (i)      (i)(i)

где D_{1 j} , D_{2 j} , D_{3 j} , D_j – определители метода Крамера для решения системы (26).

Изгибающий момент на опоре с координатой z _j = l _j рассчитывается при этом по формуле

M ] - M ] + Q ]0 l j .          (32)

При осадке опоры рассматриваемого стержня с координатой z_j = 0 на величину δ₀ будут соблюдаться следующие граничные условия (в случае жестких на сдвиг торцов этого стержня):

v ⁽o ^{- 0} ,   v’^ ^- °- ^T (0 ^{- 0} ,        (33)

а в узле j + 1: v jk - 5 ° , v'⁽ j ^- °, ^t ]!_j= °. ⁽³⁴⁾

При этих граничных условиях свободные члены будут равны

У(г'      /г/ыА) +yequ(г>L-2(г> }rl1^k(г>l A-

V 1 ^- ° o t ^L \ ^Nj ^{+ C}xj ^k2j > ^Ch(k1j ^lj )

/ M ⁽ⁱ> -L r^qe(ll>ⁱ)l⁽2>i) Vh^lг^(l)l 1 /ГС ^equ(i> C l(²A)   1(²О) )7 _|_ 0 >

- ^(Nj ^{+ C}xj ^k1j > ^Ch \ ^k2j^lj^]/ L ^Cxj ^(k1j ^{- k}2j Л ^{+ 2}} ’ v^ - 5 ° [(N;⁾ + c7⁽^⁾kl(^>)_Sh(k <^> l j >k <^> -

⁽ⁱ> д-r^eq^u(i>k²⁽ⁱ> Avll^k⁽ⁱh Ak⁽ⁱ> i /гr^eq^w(i>^k²⁽ⁱ> k²^) ai ^- (N j ^{+ C}xj ^k1j > ^sh(k2j^lj > ^k2j ^]/ L ^Cxj ^(k1j ^{- k}2j Л

V^ - -5 ° {[(N⁽ ^> + k 2]^> C7⁽¹>>sh(k‘₂ j l j 'k ^;* -     (35)

/М⁽ⁱ> д-k²⁽ⁱ>r^eq^u(i> Avll^k⁽ⁱ>l Ak²'¹! 1/fk²A) k²A) A-U ^- '^Nj ^{+ k}2j ^Cxj >^sh(k1j ^lj>^k1j ^]/(k1j ^{- k}2j ' ⁺

+ NpL'NW + klfC^l'sh'klkll j 'k^ -

/М⁽ⁱ> A-k²⁽ⁱ>r^eq^w(i> Avll^k⁽ⁱ>l Ak⁽ⁱ> 1 /гr^eq^u(i>^k²⁽ⁱ> к²А1АИ//- ^{- (N}j ^{+ k}2j ^Cxj > ^sh \ ^k1j ^lj > ^k1j ^]/ L ^Cxj ^(k1j ^{- k}2j '-M/c j -

Определение усилий на опорах осуществляется аналогично вышеизложенному для случая поворота узла с координатой z_j = 0 на угол φ₀ .

Если j -й составной стержень при z_j = l_j шарнирно оперт, то при повороте j -го узла на угол φ₀ граничные условия (в случае жестких на сдвиг торцов этого стержня) будут следующими:

v - ° , v ' k' - P o , t ] - ° ,          (36)

а в узле ^j + 1: j ^- °, k j °, M j j ^- °.  ⁽37)

При осадке на δ_j опоры с координатой z_j = l_j для составного стержня, шарнирно опертого при z_j = l_j , граничные условия (в случае жестких на сдвиг торцов этого стержня) будут:

v (o - ° , v 'jk - ° , j - ° ,          (38)

а в узле j + 1 : v'j j ^{- 5} j , ^^ ^- °, ^{m (} ] ^- °.     ⁽39)

С учетом (36)–(39) решается система уравнений (26) аналогично тому, как это было показано для j -го участка составного стержня с жестко защемленными концами.

Найденные усилия на опорах j -го стержня при φ₀ = 1 и δ₀ = 1 далее используются как реак- (i)       (i)       (i)          (i)

ции в связях R_{1 j1k} , R_{1 j2k} , R_{2 j1k} и R_{2 j2k} при решении системы уравнений (1).

Деформационный расчет рамы осуществляется с использованием эквивалентного модуля деформаций E^' [4]. Значения параметров, найденных при i -м шаге нагружения, могут быть использованы для проверки устойчивости методом профессора Р. С. Санжаровского [5].