О расположении спектра задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром

Теория краевых задач для уравнения смешанного типа является одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми и С. Геллерстеда, где были впервые исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Они изучали задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как «Задача Трикоми» и «Задача Геллерстеда».

В 40-х годах Ф.И. Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и

других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике.

В 50-е годы в работах Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. Краевые задачи для уравнения смешанного типа изучались многими авторами в нашей стране (Т.Ш. Кальменов, Е.И. Моисеев, С.М. Пономарев, К.Б. Сабитов, и др). Краевыми задачами для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения занимались М.М. Зайнулабидов, К. Б. Сабитов и др.

Ранее многими авторами достаточно подробно исследовалась задача для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с одной линией изменения типа

L&^sgn у z_xx + z_yy — Az = 0,                    (1)

где

я = [Й1,    при у > 0;

I^2,    при у < 0, в области D, ограниченной кусочногладкой кривой σ, лежащий в полуплоскости у > 0, с концами в точках

А(0, 0), В (Z, 0) , I > 0 и при у < 0 -хартеристиками и СВ уравнения (1).

Постановка задачи . Рассмотрим уравнение смешанного типа с двумя линиями изменения типа

Lu = sgn у • uxx + sgn x • uyy — Au= 0, где

(Л0 = .0,    при x > 0,у >0,

Л1 = .2,    при x > 0, у <0,

Л2 = .2,    при x < 0,у <0.

Л₀, Л 1 , Л₂ - комплексные параметры, в области D, ограниченной:

• 1)    гладкой кривой Г, лежащий в первой четверти плоскости (x, у) с концами в точках Л₁(/₁,0) и Л₂(0,/₂), /₁, 1 2 >0;

• 2)    характеристиками OC₁(x + у = 0) и С₁Л₁(x — у = / 1 ) уравнения (2) при x > 0, у < 0;

• 3)    характеристиками OC₂(x + у = 0) и С₂Л₂(x — у = /₂) уравнения (2) при x < 0, у > 0 где Г ,    _(т^— У, С₂ = ⁽Ь^—Ь), О = (0,0).

Обозначим D₀ = D П {x > 0, у > 0}, D 1 = D П {x > 0, у < 0}, D₂ = D П {x < 0,у, < 0}.

В области D для уравнения (2) поставим следующую задачу Трикоми.

Задача Т. Найти функцию u(x, у), удовлетворяющую условиям:

u(x,у) G С(О) П С1 (D) П C2(D0 U D1 U D2),(3)

Lu = 0, (x,у) G D0 U D1 U D2,(4)

u(x,у)|г = ф(x,у), (x,у)GГ,(5)

u(x,у)|C1C2 = ^(x,у), (x,у) G С1С2,(6)

где ф, ^ - заданные достаточно гладкие функции.

Ранее разными авторами изучалась задача Трикоми для следующих модельних уравнений с двумя перпендикулярными линиями изменения типа:

Lu = sgn у • uxx + sgn x • uyy — .2u = 0,(7)

Lu = sgn x • uxx + sgn у • uyy — .2u = 0,(8)

Lu = uxx + sgn (xу) • uyy — .2u = 0,(9)

Lu = sgn (xу) • uxx + uyy — .2u = 0,(10)

где .2 = const - действительный или комплексный параметр.

Рассматривая уравнение (2), мы обобщаем все четыре уравнения (7) – (10). Например, (10) получается из (2) при Л₀ = Л 1 = —Л₂ = .².

Под регулярным решением уравнения (2) в области D понимается функция u(x, у), удовлетворяющая условиям (3), (4) и имеющая непрерывные частные

производные u_x и u y в D₀, за исключением, быть может, точек О,Л 1 ,Л₂, где они могут иметь особенности интегрируемого порядка. В областях D 1 и D₂ для уравнения (2) рассмотрим следующие задачи Дарбу:

Первая задача Дарбу. 1) Найти в области D 1 решение u(x, у) уравнения (2), удовлетворяющее условиям:

u(x, 0) = ^(x), x G [0, / 1 ],

u(x,—x) = 0, x G [0, ^ 1 ],

где T 1 (x) - заданная функция.

2) Найти в области D2 решение u(x, у) уравнения (2), удовлетворяющее условиям:

u⁽0,у⁾ = Т 2 (у),у G [0,Z₂],

и⁽у,-у) = 0, уе [0,у, где 1 2 (х) - заданная функция.

Вторая задача Дарбу. 1) Найти в области D 1 решение и(х, у) уравнения (2), удовлетворяющее условиям (12) и

-у(х, 0) = 11(х), х е (0,/1),                                  (15)

где и , (х) - заданная функция.

2) Найти в области D 2 решение и(х, у) уравнения (2), удовлетворяющее условиям (14) и

-х^у) = ^2(у), у е (0Д2),

где v2 (х) - заданная функция.

Имеют место следующие утвеждения.

Теорема 1.

• 1.    Если 11(х) е С[0,/1] П С²(0,/1), 11 е L1[0, /1], 11(0) = 0, то существует единственное решение задачи (2), (11) и (12), и оно определяется формулой:

• 2.

2. Если 12(х) е С[0, /2] П С2(0,/2), 11 е L1[0,/2], 11(0) = 0, то существует единственное решение задачи (2), (13) и (14), и оно определяется формулой: у+х           ____________________

у+х           ____________________

и(х,у) =т1(х + у) + д1у Г 11^/1[^_(х+ у ^(х у t)]dt,         (17)

V(х + у-t)(х-у-t)

где J 1 (^z) — функция Бесселя.

Г             । Л ।              J1 [^V(х + у - е)(х - у - t)] .

ШЛ) ^(х + уМЫ' I T2(t)-- —dt.       (18)

7       V(x + у-t)(х-у-t)

Теорема 2.

• 1.    Если Ц 1 (х) е С 1 (0,/ 1 ) П L 1 [0, / 1 ], то существует единственное решение задачи (2), (12) и (15), и оно определяется формулой:

• 2.    Если г₂(х) е С 1 (0,/ 2 ) П L 2 [0,/ 2 ], то существует единственное решение задачи (2), (14)

у+х

и(х,у) = I ^1(t)/0 [^1 V(х+7—t)(х—7—

и (16), и оно определяется формулой:

у+х

и(х,у) = | V2(t)Jo [^2V(X + у-t)(X-у-

Из формулы (17) получим:

X

Uy(x, 0) = V1(x) = T‘(x) +^1j 0

At/h(x - О]

x — t

T1(t)dt, 0 < x < 11.

Аналогично из (18) будем иметь:

y

Ux(0,y) = V2M = j2(x) +H2 J 0

ШгС-У —t]

y — t

T2(t)dt, 0 < y < l2.

С учетом формул (19) и (20) получим

X

T1(x) = JJ0[p1(x — t)]v1(t)dt, 0 < x < 11, 0

y

^2(У) = J Jo[^2(y — t)"]V2(t)dt, 0<у <12. 0

Пусть Л0, A1, A2 являются комплексными числами: Л0 = Л01 + iA02, А1 = Аи + iA12, ^2 = ^21 + ^22 И ^0= ^01 + 1^02, ^1 = Ци + 1^12, Ц == ^21 + iP-22, ГДе ^tj. ^tj Е R, i = 0,1,2; j = 1,2. Тогда u(x,y) = U1(x,y) + +iu2(x, y), U(x,y) = U1(x,y) — iu2(x,y).

Лемма 1. Если u| ^ _Ci , то для любого регулярного решения (2) имеет место при любом x Е [0, 1 1 ] неравенство:

X

Relai

ReJ

е 2ait u(t,0)Uy(t,0)dt > 0,

где а1 = const > |ц12|.

Лемма 2. Если u| ^ _Cz , то для любого регулярного решения уравнения (2) имеет место при любом y Е [0, 1 2 ] неравенство:

у

Rel a i

=ReJ

е 2a2tn(0,t)u.x(0,t)dt > 0,

где а2 = const > 1ц221.

Лемма 3 . Если u|_r, то справедлива оценка

yu2dxdy<

D+

- mesD+

4      +

yivul2dxdy.

D+

Рассмотрим исследование единственности.

Теорема 3. Если в классе регулярных решений уравнения (2) существует решение задачи Трикоми, то оно единственно при всех А₀,А₁,А₂, удовлетворяющих неравенству: ReA₀ >  |/mp. 1 |² + |/тц₂|² —р,

Доказательство.

Введем функцию m(x,y) = exp(—a₁x—a₂y) u(x,y), где а 1 = ^1^ 1 1, ^а 2 = Vl^ 2 l, которая в области D 0 является решением уравнения

Мш — ш_хх + Ш уу + 2— 1 Ш х + 2о, 2 Ш у + (— 2 + — 2 — Л д )бо — 0.

Рассмотрим равенство:

шМш — (й)Ш_%)_% + ((л)Ш у ) у — ШШ _х — ШШ у + 2— 1< dW x + 2— 2< )Ю у + +(— 2 + — 2 — Л д )|ш| 2 — 0

и проинтегрируем его по области D^⁵ . У полученного равенства выделим его реальную часть:

^{Я [}(2^^{|ш|2 + —} 1 ^|ш| 2 )_х⁺ (2ly ^|ш| 2 ^{+ —} 2 ^|ш|2) ] ^{dxdy —}

Do^{v                                          у}

—

Я

[|Vw|² — Re(— 1

+ — 2 — А₀)|ш|²] dxdy — 0.

D

5,8 0

Применим здесь формулу Грина и перейдем к пределу при £ > 0, 5 > 0 с учетом граничного условия ш|Г — 0:

< i

+Re J e 0

Я |Vw|²dxdy + (Re2₀ — — 2

D o

—

^ 2

^2aiXtZ(x, 0)u y (x, 0)dx + Re J e

— 2 ) Я|Vw|²dxdy +

D o

^^(Q^Ux^y^y — 0.

(

В силу лемм 1, 2 и 3 при ReA₀ > |/тр 1 |² + |/mp₂|² из равенства (25) получаем:

Я|Vw|²dxdy < —( Re2₀ — — 2

—

— 2 ) Я|w|²dxdy <

D o

D o

(ReA₀ — — 2 <--

P

—

——Я l^wl2dxdy.

D o

тогда

(p + Re2₀ — — 2

—

^а 2 ) Я l^|²dxdy < 0.

D o

Отсюда вытекает, что u(x, y) = 0 в D.

Итак единственность достигается при условии, что

ReA₀ > |/mp 1 |² + |/mp₂|² — p.

(

Запишем неравенство (26) в другом виде. A i ^— Л 11 + 1Л 12 ^— P i ^— (Ри + ip i2 ⁾²,

^ 11

+ ^^A 12 ^{— p} 21

P12 ^{+ 2p} 11 i^p 12 ,

| P11   P 12 ^{— A} 11

(. ^2p11 ^p 12 ^{— A} 12 .

A 22 4^p 12

^p 12 ^{— A} 11 ,

^ 12 ^— 4^ 12 ^— 4/1 11 /1 22 = 0,

4^ 12 + ^4/ 11Р-12 ^{— /2} 2 = 0.

Решая биквадратное уравнение, нахо дим кор ни уравнения:

₂   ^{— 2Л} 11 ± ²     + ^/2 2    ^—Л 11 + V^Л2 1 + ^/2 2

=----------2--------- - =-------- 2--------,

₂    ^Л 11 + ^V/2 1 + ^/2 2

Ры =-------2-------'

Аналогично рассматривая равенство

/2 = ^21 + ^22 = 12 = (Ри + tpn)2, Л21 + i/22 = Р21 — Р22 + 2121^22, находим:

/^ =

1² 1 =

^-Л 21 + ^V/ 21 + ^Л 22

2________

^Л 21 + ^{V Л} 21 + ^{Л 2}2~

"                2               ,

,

Полученные результаты подставим в формулу (26), получим

^-Л 11 + ^{V Л2} 1 + ^Л2 2 .

ЯеЛ о >--------------- +

-

■ ^Л21 + ^{V Л} 21 + ^Л2 2 2

-Р,

2ЛвЛ о > |Л 1 | — ЛвЛ 1 + |Л 2 | — ^^/ 2 — 2р,

Рассмотрим случаи:

1) Л₀ = Л₁ = Л₂ = Л = а + 1р,т.е. случай уравнения (7).

С учетом этого формула (27) примет вид:

|Л| < 2РеЛ + р.

Возведем последнее неравенство в квадрат |Л|2 < (2РеЛ + р)2.

а2 + ^2< 4а2 + 4ар + р2, 3а2 — р2 + 4ар + р2 > 0, а2 — у+ 4ар + у > 0, (а + |р) 2 —4р 2 — р 2 + р 2 >0, v    3 v    9       3    3 (а+2р)2     р2 3 (р/3)2    (р/Vs)2

Неравенству |Л| < 2РеЛ + р соответствует следующая система неравенств: (     2РеЛ + р > 0

J (а + 3р)2     р2 1 (р/3)2    (р/Vз)2>1■

Областью, удовлетворяющей полученной системе, является внутренность правой ветви

гиперболы: (а + 3р)2     р2 (р/3)2    (р/Vз)2 > L где полуоси гиперболы равны: п = -,Ь = ^=,^=-

• 2)    X 1 = X₂ = X₀ = X = +(р , т. е. случай уравнения (7).

С учетом этого формула (27) примет вид 0 > 2|Л| — 2р. Откуда

|Л| < р

Данное неравенство равносильно системе неравенств: ( р > 0 {а² + р² < р².

Областью, удовлетворяющей полученной системе неравенств, является круг а² + р² = р², где р - радиус круга с центром в точке (0;0).

• 3)    X₀ = X 1 = —Л₂ = Л = а + ip, т.е. случай уравнения (10).

С учетом этого формула (27) принимает вид ReX = |Л| — р. Возводя последнее равен- ство в квадрат, получаем:

а2 + р2 < а2 + 2ар + р2, 2ра > р2 —р2

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Г ReX + р > 0 {2ра > р2 — р2

Областью, удовлетворяющей полученной системе неравенств, является внутренность параболы:

а >

р2 р

р

---— со сдвигом влево на —.

Область —2V2 < ^ <  2^2, ReX >  0, представляет собой угол между прямыми р = 2V2а при а > 0.

• 4)    Л₀ = Л₂ = — X 1 = X = а + (р, т. е. случай уравнения (9).

С учетом этого формула (27) принимает вид ReX > |Л| — р, то есть случай 4 совпадает со случаем 3.

В заключении хочется сказать, что в данной работе было рассмотрено уравнение сме- шанного типа с двумя линиями изменения типа

Lu = sgn у • u%% + sgu. х • иуу — Ли = 0,

где

(Л0 = д0,    при х > 0,у >0,

X1 = д2,    при х > 0,у <0,

Л2 = д2,    при х < 0,у <0,

X₀,X 1 ,X₂ - комплексные параметры. Доказано, что при выполнении условия

ReX0 > l/mpj2 + |/mp2|2 — р решение задачи Трикоми единственно.

Полученный результат уточняет результаты, полученные ранее другими.