О разрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения третьего порядка с дробной производной

При решении многих задач, возникающих при математическом моделировании различных физических, химических и биологических процессов в средах с фрактальной структурой широко используются элементы дробного исчисления [1]. Особенно широкое применение это нашло в нелокальных и внутреннекраевых задачх[2]-[6].

Оператор D a , который действует на функцию ф (t) по формуле:

D>( t ) Н

sign ( x - a ) x ^ ( t ) dt      _< q

Г ( — а )    ! ( x — t ) “ ^{+ 1} ’ “ <

ф (x ), a = 0

sign(x - a)        D“;Va]-1, a > 0, dx-a]

где символ signz определяется равенствами sign 0 = 0, signz = — ( z * 0) I z I

называется оператором дробного (в смысле Римана-Лиувилля)

интегродифференцирования порядка а с началом в точке а .

Рассмотрим уравнение:

D a = —u„ + u ( x , t ) 0, t            xx

с начальным       u (x,0) = ф(x), 0 < x < l, ux (0, t) - u (0, t) = 0,  0 < x < l, и граничными условиями(4)

u_x ( l , t ) - u ( l , t ) = 0,  0 <  t <  T .

Решение ищем в виде произведения: u(x,t)=X(x)T(t)(5)

Подставляя (5) в (2) получим:

DatT(t) - T(t)_ X"(x)_.

/С(6)

T'(t)         X (x)

X"(x)-XX(x)=G,(7)

D0 tT (t) + XT'(t) - T (t) = 0.(8)

Граничные условия (4) дают:  X'(G)=X(x), X'(l)=X(l).(9)

Отыскание функции X(x) приводит нас к задаче Штурма - Лиувилля

X^,(x)+ A X(x)=G,  X(G)=X(x), X ‘ (l)=X(l).

• 1.    При X < 0, X(x) = cve-^ + c2e^x(10)

• 2.    При 1 =0 имеем X(x)=c i x+ c ₂

и нетрудно проверить, что          X(x) = 0 .

' C i = c ₂

C = cj + c₂

^

c_x = 0

c ₂ = 0

^ X ( x ) S 0.

3. При 1 >0 общее решение выглядит следующим образом:

X ( x ) = c ₁ cos V X x + c ₂ sin Xxx .         (12)

Собственным значениям X =

V l )

соответствуют собственные функции

f

V

X n ⁽ x ) = c 2

гоп     гоп      .пт

— cos—x + sin — x l        l            l )

„               .                  — , ,    гоп     гоп      .пт

Положив с ₂ =1 , получим:   X_n ( x ) = — cos— x + sin— x ,

X T '( t ) + D a T ( t) - T ( t ) = 0, X T '( t) - T ( t ) = - D Ot T(t ).

(12 ‘ )

Решим дифференциальное уравнение (12 ‘ ) в предположении, что правая часть - DQ_tT ( t ) является известной функцией. Решение ищется методом вариации постоянной.

Решение однородного уравнения X T'(t)-T(t)=0 имеет вид: t

T ( t ) = ce .

t

Подставляя функцию T ( t ) = c ( t ) e ^X в (13) получим:

t/ A

к c '( t ) e ^{/ X} +— c ( t ) e ^X V          ^X      )

t

- c ( t ) e ^X = - D O t T ( t ),

t

c(t) = - Т J e /XD0,sT(s)ds + c.(14)

• ^X 0

t/    1

Подставим (14) в (13)    T(t) = ceXX--je 'D^QTT(s)ds.(15)

X 0

Мы пришли к интегральному уравнению (15) относительно T(t). Воспользуемся    следующим    свойствами    оператора    дробного дифференцирования dDQ-1 u(0,s)] = DQ,su(0,s).

С учетом последнего, (15) имеет вид:

T(t) = ceX -1 je"sXd[d0“-1T(s)]ds.(15

• ^X 0

К интегралу в правой части (15 ‘ ) применим метод интегрирования по частям:

• ts                                     s                      tt

J e X [DQ,-T ( s )]ds = e X DQsT (s) + - J e ^ЧО^Т ( s ) ds = t ss

= e ^-D -TT ( s ) + - J e ^ЧЗ^Т ( s ) ds .

^X 0

¹ Г ^{— s} a —1 Рассмотрим интеграл e ^x D — _S¹T ( s ) ds, где

^X о       0 ^s

Dl_sT ( s ) =

—s

Г(1 — a) J (s—n)

T ( n )

a d n ^-

оператор

дробного

дифференцирования порядка a -1.

t

s

- J e ^D — —1 T ( s ) ds =

^X 0

Г (1 — a )

ts _— ^s

Je Ads J

о

T ( n )

-—dn-

(s — n }a

Меняя порядок интегрирования в двойном интеграле в правой части (16)

t

s e ^Dt,1T (s ) ds =-------

⁰ , ^s           Г (1 — a )

t

t

J T ⁽ n ) d n J e

—

^{/ X} -—1— ds . ^{( s —} n ^{) a}

(16 ' )

Во внутреннем интеграле в правой части (16 ‘ ) сделаем замену: s = t ( n — t ) u , ds = ( n — t ) du ,

t

J e

—

,s x      ¹     d_s = Г e~ ’ ^{+ ( n —} t ¹ u ( t - n ) du

(s ~ nT     J[ t + (n — t) u — n]a

t

= J e ^— t ^{+ ( n —} t ) ^u ( t — пУ" “ (1 — u ) ^a du .

t

Таким образом, J e ^D — — T ( s ) ds = о

Г (1 — a )

t

J ^T ( n ) ^{K (} t , n ) d n , о

где K ( t , n ) = J e ^— t ^{+ ( n —} t ) ^u ( t — n )^{1 — a} (1 — u) ^a du .

А уравнение (15 ' ) учётом замечаний сводится к следующему:

ts    ^t

T ( t ) = ce^{/ x} — ¹ e ^/x ---¹--- T ^ ^ )- d n +

X      T (1 — a ) ^J ( t — n )  '

Таким образом, для определения интегральное уравнение Вольтера 2-го рода:

1            t

—----[ T ⁽ n ) к ⁽ t , n ) dn - ^{( 17)}

Х Г (1 — a )

функции T(t) мы получим

t/                      t,

T ( t ) = ce^{/ x} +--------- f T ( n ) к ( t , n )

XT (1 — a )^{J W} v

— A ce ^/X

( t — n ) ^a

d n ,

где K ( t , n ) = J e ^— t ^{+ ( n —} t ) u ( t — n )^{1 — a} (1 — u) ^a du - ядро. 0

Уравнение (17) всегда разрешимо. Следовательно, обе функции X(x) и T(t) определяемы. Для определения постоянной с остаётся использовать начальное условие:

-X)

u ( x ,0) = 0, u ( x, t )   V CT ( t )

n =1

( n n    n n

nil  ^

— cos— x + sin — x .

V l       l

l J