О разрешимости одной краевой задачи для полиномиального дифференциального оператора в классе функций экспоненциального типа

Различным вариантам Коши–Ковалевской посвящено много работ. В классической ситуации данные Коши задаются на нехарактеристической гиперповерхности и речь идет, как правило, о существовании локальных аналитических решений. О глобальных аналитических решениях известно значительно меньше. Например, в монографии [1] рассматривается задача Коши в комплексной области, в частности вопрос о существовании глобальных решений. В некоторых обобщениях задачи Коши дополнительные условия на решения ставятся на нескольких гиперповерхностях [2–4] и их называют начально-краевыми условиями типа Рикье.

В данной статье рассматривается обобщенная задача Коши для полиномиального дифференциального оператора с постоянными коэффициентами с начальнокраевыми условиями типа Рикье, заданными на координатных гиперплоскостях. Доказываются существование и единственность глобального решения этой задачи в классе целых функций экспоненциального типа, указывается связь характеристик роста решения с ростом входных данных задачи (теорема 1). Для доказательства использованы как классические методы комплексного анализа (преобразование Бореля степенных рядов, интегральные представления), так и сравнительно новые методы теории амеб алгебраических гиперповерхностей.

• 1.    Введем следующие обозначения z = ( z 1 ,...,z n ) -точки n-мерного комплексного пространства Cⁿ ; а = ( а ₁,..., а n ) - мультииндексы, || а || =а 1 + ... + а n , а ! = а 1 !... а n !), z ^а = z ^¹ ■ ... ■ z n ^{а n} , D j - оператор дифференцирования по j-й переменной, D ^а = D _x ^{а x} ■ ... ■ D_n ^{а n} .

В главе 5, посвященной задаче Коши, монографии Л. Хермандера [5] доказывается следующая теорема (теорема 5.1.1).

Теорема. Рассмотрим дифференциальное уравнение

D ^р F = £ c а ( z ) D ^а F + G ,         (1)

||а||< m где коэффициенты cа (z) суть аналитические функции от z = (zj,...,zn) в окрестности нуля в пространстве Cn; || в ||= m. Зададим краевые условия:

Dkk[F — Ф]|=0 = °, если 0

Если ^ са (0) меньше некоторого положитель-||а||=||в|| ного числа, зависящего только от || в || , то тогда для любых функций G и, Ф аналитических в окрестности нуля, краевая задача (1)-(2) имеет, и притом единственное, аналитическое в окрестности нуля решение F.

Отметим, что в (2) содержится || в || граничных условий и || в || есть порядок дифференциального уравнения (1).

Частными случаями данной теоремы являются классическая теорема Коши-Ковалевской (если | в = (m,0,...,°) и Ср(z) # 0) и теорема Гурса-Бодо [5].

Замечание. Краевую задачу (1)-(2) можно назвать обобщенной задачей Коши с начально-краевыми условиями типа Рикье (см. [2-4]). В данном случае значения искомой функции и ее производных задаются на координатных плоскостях.

Для формулировки глобального варианта теоремы Хермандера о разрешимости задачи (1)-(2) и его доказательства используем некоторые понятия и факты теории амеб алгебраических гиперповерхностей (см. [6]). Обозначим через Z множество целых чисел и через Zn = Z х — х Z - n-мерную целочисленную решетку. Пусть A = {а} с Zn - некоторое фиксированное конечное множество и P(z) = ^ cа zа - полином, α∈A а V = {z е Cn : P(z) = 0} - множество его нулей.

Многогранником Ньютона Np многочлена P называется выпуклая оболочка в Rn элементов множества А.

Амебой алгебраической гиперповерхности называется образ множества нулей V многочлена P(z) при отображении

Log: z = (z^,..., zn) ^ (log | z_x |,...,log| z_n |) = Log | z |.

Заметим, что отображение Log является композицией двух:

Abs : z = (z_x,...,z_n) ^ (| z_x |,...,| z_n |)

и log :(| z1 |,...,| zn |) ^ (log | z1 |,...,log| zn |).

Множество V, а значит и Log(V), замкнуто, поэтому его дополнение открыто. Пусть {E} - набор непустых связанных компонент дополнения Rⁿ\Log (V). Для любой непустой компоненты E* функция 1/ P(z) голоморфна в Log^-1E с Cⁿ \ V и разлагается там в ряд Лорана (см., например, [6]):

Pz)

aβ =∑ β βz коэффициенты которого можно определить следующим образом:

a= в   (2п i)n

z^βdz

Jr P(z) T ’

где Г = Log ¹u,u = (u1,..., u_n) е E - остов полицилиндра Г = {z е Cⁿ :| zj |= e*, j = 1,..., n}. Известно, что область сходимости ряда Лорана логарифмически выпукла, т. е. связная компонента Е дополнения амебы Log(V) является выпуклым множеством.

Для v е Np n Zⁿ двойственным конусом называется множество

CV = {s е Rⁿ : (s, v) = max (s, а)}.

α∈N_p

Существует инъективная функция v из множества компонент связности v:{E} ^ Zⁿ n Np такая, что двойственный конус CVE) есть асимптотический конус для выпуклой компоненты Е.

Приведем некоторые сведения из теории целых функций (см., например, [7]).

Целая функция F(z) называется функцией экспоненциального типа, если она удовлетворяет неравенству

| F(z)|< M exp a,,| z |)              (3)

для некоторых M > 0, где а е R*n, x е Rⁿ, х* > 0, | z |= (| z1 |,..., | z_n |), (a,| z |) = ,1 | z1 | + ... + an | z_n |.

Множество тех точек а е R + , для которых при фиксированной целой функции F (z) справедливо неравенство (3), будем обозначать стF и называть тип-множеством функции F(z).

Отметим, что открытое ядро стF множества стF является выпуклым множеством и R + является асимптотическим конусом для СТF .

Будем рассматривать полиномиальные дифференциальные операторы P(D) с постоянными коэффициентами со следующим условием на многогранник Ньютона Np  характеристического многочлена

P(z) = 2 cаzа : существует вершина m е Np такая, ае A что а < m для всех а е Np. Здесь неравенство а < m означает, что аj < mj для всех j = 1, ..., n .

При выполнении данного условия соответствующая компонента E_m дополнения амебы Rⁿ\Ap не пуста и двойственный конус Cm содержит R +.

Теорема 1. Если функция Ф(z), задающая краевые условия (2), и правая часть G(z) уравнения (1) являются функциями экспоненциального типа с тип-множествами ст_фи ст_G соответственно, то решение F(z) также является функцией экспоненциального типа, тип-множество которой стF удовлетворяет условию стf ^>стфОстg о Abs(Log^-1E_m).

2. Для доказательства теоремы 1 нам потребуется несколько вспомогательных утверждений.

Преобразованием Бореля функции экспоненциального типа

^F(z) = 2f^xTzx, ^x!= xi^!^^xn^!

x>0 x^!

называется функция

F(z) = 2

x >0 ^z

где I = (1,...,1).

Взаимосвязь между ростом целой функции F(z) и сопряженными радиусами сходимости ассоциированной по Борелю функции F(z) устанавливает теорема Бореля. Необходимые понятия и доказательство приведены в монографии Л. И. Ронкина [7].

Теорема Бореля. Гиперповерхность сопряженных типов при сопряженных порядках (1,..., 1) целой функции F(z) совпадает с гиперповерхностью сопряженных радиусов сходимости ряда, определяющего ее преобразования по Борелю F(z).

В частности, теорема Бореля означает, что открытое ядро тип-множества ст_F совпадает с областью сходимости ряда функции F(z).

ф( z) = 2^-z^x, x>0 x !

то коэффициенты f (x) ряда для F(z) удовлетворяют разностному уравнению

2 a а f^{(x + а)}= g^(x X ^x > ^{0         (4)}

0<а< m и краевым условиям f (x) = ф(x), 0 < x, x > m .           (5)

Здесь x > m  означает, что для некоторого j0 «j < mJ0.

Доказательство. Подставляя в (1)-(2) разложения функций F, G, Ф в степенные ряды и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z^x , поле стандартных выкладок получим (4)-(5).

Разрешимость задачи (4)-(5) и формулы для решения приведены в [8].

С точки зрения теории разностных уравнений ассоциированная по Борелю функция F(z) является производящей функцией решения f (x) разностного уравнения. Соответственно ассоциированные по Борелю функции G(z) и <Ф(z) - производящие функции соответственно правой части g(x) уравнения (4) и функции ф(x), задающей краевые условия (4).

Лемма 2. Для производящей функции F(z) решения f (x) разностной задачи (4)-(5) справедлива формула f                                           11

F(z) = У c_az^аФ_а (z) ----+ G(z)----,

10<²<m          ^JP(z)       P(z)

где ^Фа ^(z) = 2²;+г x>а ^z

Доказательство. Поделим равенства (4) на z^x+1 и просуммируем по всем x > 0:

Z^f 2 cа x>0V0<а<m

f (x + а)

x+1

z

) у g^(x)

I ²x+1 ) x>0 ^z

= G (z).

Меняя в левой вания, получим:

части равенства порядок суммиро-

.2 c«z-f? 0<а<m      Vx>0

f (x + а)

_x+I+а z

Лемма 1. Если решение F(z), правая часть G(z) и функция Ф(z), задающая краевые условия в задаче (1)-(2), являются функциями экспоненциального типа:

F(z) = У fx-z^x , G(z) = У g^z^x , x²x! " ²x!

Ea cnz

0<а< m

у f (x + а)

²  ^x+1

x >а ^z

= P(z)F(z) -2 cаz^а(^<Фа (z)) , а>m

где

^Фа (z)

0< x, x >а

Ф⁽x)

x+1 z

частичная сумма ряда

ф( z ).

Таким образом,

P(z)Fˆ(z)-∑ cαzα(Φˆα(z))=Gˆ(z) 0≤α≤m или

F^ˆ(z)=

c z^αΦ^ˆ (z) αα

0≤α≤m            P(z)

G^ˆ(z)

. P(z)

Известны также интегральные представления, связывающие функции F и Fˆ, ассоциированные по Борелю (см., например, [7]):

F(z)=¹   ∫∫Fˆ(ξ)expz,ξdξ,

(2πi) Γ где Г – остов полицилиндра, Γ:={ξ∈Cn :ξj =Rj, j=1,...,n}; R=(R1,...,Rn)∈σ°F, z,ξ =znξ1+...+znξn;

dξ = dξ₁∧...∧dξ_n .

Учитывая лемму 2, в случае экспоненциальных входных данных получаем следующее интегральное представление для решения задачи (1)–(2):

F(z)=

∑ cαξαΦˆ α(ξ)expz,ξdξ

1         ||α||≥0

(2πi)ⁿ_Γ^∫            P(ξ)

₊1    G^ˆ(ξ)expz,ξdξ

(2πi)ⁿ_Γ^∫       P(ξ)       ,

где Γ={ z_j =R_jj=1,...,n}; R=(R₁,...,R_n)∈σ_Φ ∩σ_G и LogR∈E_m .

Доказательство теоремы 1. Тип-множества σΦ и σG выпуклы и октантообразны (см. [7]), т. е. положительный октант R+n является дли них асимптотическим конусом. Этим же свойством обладает и компонента Em амебы характеристического многочле-о        о на P(z). Поэтому пересечение σΦ ∩σG∩AbsLog-1Em ≠∅.

Возьмем R= (R₁ ,

..

., Rn ) из этого пересечения, тогда остов Γ={ ξ∈Cn;ξj=Rjj=1,...,n} лежит в области, где голоморфны функции Φˆ α, Gˆ и 1/P(ξ) (здесь используется тот факт, что ряды Φˆ (ξ), Gˆ (ξ) сходятся

°

°

в σ_Φи σ_G ), поэтому для F(z) справедливо интегральное представление (6), которое означает, что F (z) – функция экспоненциального типа.

Стандартная оценка интеграла показывает, что R = (R1,..., Rn) ест F , таким образом   ттфпТт g п nAbsLog-1 Em с стf