О разрешимости одной системы интегральных уравнений нецелого порядка

В последние годы возрос интерес многих математиков к исследованию дифференциальных уравнений и систем с производными дробного порядка.

Рассмотрим следующую систему интегро-дифференциальных уравнений:

1           ...

Р(х) = A(x)D0x^(%) + J0 k1(x, t)p(t)dt +

+ Ск2(х, t)ip(t)dt + f 1(x), 0    i

^(x) = B(x)^0xP(x) + $0) ki(x,t)W)dt +

<        +$o k2(x,t)p(t)dt +f1(x),

• 1              1

где Sq_x и ^q_x - операторы дробного дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля.

Обозначим единичный интервал 0 < x < 1 через 3.

ТЕОРЕМА         1 .         Пусть                  функции

A(x),B(x'),f1(x'l,f1(x') е С(3); ki(x,t),k7(x,t) е С(Э*Т),1 = 1,2,j = 1,2.

Тогда система уравнений (1) имеет и притом единственное решение классаС(З). В этом случае система (1) представляет собой систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Второе уравнение системы перепишем в виде ^(x) — $ ^ k 1 (x, t)^(t)dt = F(t),        (2)

где F(x) = f i (x)+^-^;^l + ^ ; k₂(x,t)

          (3)

^Г(")    (x-L)2

Считая предварительно правую часть F(x)уравнения (2) известной и обозначая через/? (x, ^резольвенту ядра k1(x, t), после обращения имеем

^(x) = F(x) + J_o^xR(x,t)F(t)dt.

Подставляя значения F(x) из (3) в формулу (4), получим

*    ^ ^xWW   х              ^xRi(x,tW

V^(x) = ^f1 ^{(x) +}к J0     з ⁺ J0 ^R1^(x, Чф⁽4^⁺ J0      1 ,

^{1 (}2)     (x — L)2                                       (x-t)2

где/₁*⁽x⁾ = A(x) + i^ R(x,t)fi⁽t)dt,

_R^_x ^ ₌ J1B(L+(x-L)^)R(x,L+(x-L)^№ ⁰              ^2

R₂(x, t) = J^xR(x,t₁)k₂(t₁,t)dt₁.

Значение ^(x) из (5) подставим в первое уравнение системы (1). После несложных преобразований получим интегральное уравнение Вольтерра

второго родаф (x) = Jx С(х^)^ + F1 (x),

^{(x L)}

где Fi(x) = ^-j;1^ + J k2(x, t)fi’(t)dt,(10)

Г(-2) 0 (x-L)2

G(x, t)

A(x)

r(—2)

/

B(t + (x —t)f)df 3^-3 (i - e)2f2

+ (x — t)²N(x, t),

+

N(x, t) =  ^A(x>^R1(^x’^ _t

_        ^r(^-2^)(x-t)I

R(x,L)     ^(x)R1(x,L)

(x-t)^-2   ^r(^-D^(x-t)1,

A(x)k2 (x, t)

+-------------^+ I k²(x,t)R*(t₁,t)dt +

^{Г (—} 2) ^{(x — t)2}t

R^x.t) = k2(x,t) + R2(x,t),R1(x,t) = L^1R1(L+i^{(x L)f}1^L)df,              (12)

⁰     f2(1-f)2

R**(% t) ^_ J^{1 R}1^(L+(x-L)^i^L)^^

¹    ,        0       (1-02     ,

R(x, t) =

1 k2

Jo

(x,L+(x-L)^)R1(L+(x-t)^1L)d^

^2

,

^₂Q_x £) _ j1 B(L+(x-L)^)k²(x,L+(x-L)^)d^

^2

В силу свойств заданных функций и резольвенты R(x,t) ядра k1 (x, t) уравнения (2), в формуле (6)-(), (10)-(14) заключаем , что F1(x) G C(d), F1(0) = 0,G(x,t) G C(7* 7).

Таким образом уравнение (9) однозначно разрешимо и его решение ^(x) G C(7).

Обозначив через r1(x, t) резольвенту уравнения (9), решение этого уравнения мы можем представить по формуле

Р⁽х) = F₁ + J₀^XГ₁(x,t)F₁⁽t⁾dt.                                      (15)

Подставляя выражение (15) дляр(х)в формулу (5), находим ^(х). В силу свойств функций F₁1(х, t) легко заключить, что ^(х) G C(J).

В связи с тем, что 1 > 0, то второе уравнение системы (1) является итегро-дифференциальным, которое перепишем в следующем виде

^^((х) = ^^(x) —^/^^(х, t)^(t)dt —1- Г^ к₂ (х, t)p(t)dt — ^1^(x).(16)

0x'v 7    B(x)   B(x)J0  1V '       7      B(x)70                      B(x) v 7

На обе части равенства (16) подействуем оператором D^. Получим w)

Р⁽х)  -^-^^^—с1[——^^хк1(х,1)-1Ь⁽()(К —

Гш

^rU ⁰ (x—t)2      ^{V(j) 0}

/₀^Хк2⁽х, t⁾p⁽t⁾dt + F₂⁽x),

где кДх, t) = (х — t)2 J1 l_i+_^LZB2±2—2_il 0

^2^_% ^ _ ^ _ ^ 1 у1 ^(t+fo—OttyB^+fo—tXM

• 2   ,                   0              (1-О2

  _—•

  
  

F2(x) = —®oХ:[/1(x)/S(x)].

Запишем уравнение (17) в видер(х) + Ц- Jxк2(х, t)р(x)dt = #(х), Г(^)

W)

где е(х) = ВД - Г :хх   \ |у;ш№(!№

^Г(2) ⁰ (x—1)2   ГФ ⁰

и решим полученное интегральное уравнение Вольтерра второго рода, как если бы правая часть была заданной функцией.

В результате получим р(х) = #(х) + /^^(х, t)0(t)dt,(19)

где 3(х, t) - резольвента ядра к2 (х, t).

Подставляя р(х) из (19) в первое уравнение системы (1) и, заменяя# (х)его значением из (18), будем иметь

A^fX^iAdt + Ц_ rX»(t)/B(t)rtt = гХМ(х,t)ip(t)dt + Fз(x),(20)

r(-2)J°

Где

М(х, t) =

1  7 1/ ,A     1 (x—t)2 ,xЗ(x,t+

• ^—    Рр^^к1^(х, ^{t) —} ^1J _B(_t) Jo -------1---r(1)f_t ^^(х, ^t1^)к1^{(x, t)dt}1 ⁺

J^. (x-1)²J0^{1 tl}<^X2⁺<^X-t)O^df — к²(х, t) + + J_t^x3(х, t₁)к₁¹(х, t)dt_t +

(х — t)2 f к1(х, t + (х — t)t1) *

1                                          5

* t^S^t + (x — t)t1, t)dt1 + (x — t)2 J k1(x, t + (x — t)t1) *

* t^^t + (x — t)t1, t)dt1,(21)

3i(t,ti) = —L^_^—)di XTM =

^(Ci) 0^

Г 1^h(C,Ci + (C-Ci)^)k1(Ci + (C-Ci)^,Ci)d^

Jo                           ,1

^U                [(C-C1XJ2

F3⁽x) =

F2 (x) + J_o^%3(x, t)F₂ (t)dt — J^x k²(x, t)F₂ (t)dt —

• —    S^kY(x, t) {/QC3(t, t1)F2(t1)dt1} dt — A(x).(22)

Из представлений (21) и (22) легко заметить, что M(x,t) Е С(7 * 7), F₂(x) Е С(3^ и M(x, x) ^ 0, так как k²(x, x) ^ 0.

Уравнение (20) перепишем в виде

®0z*(x) = $^M1(x, t)^(t)dt + A1(x№- [5(2)] + F4(x)

где M1(x,t) = M(x, t) / A(x),A1(x) = —1 /A(x), F4(x) = F3(x) /A(x).

Действуя на обе части полученного уравнения оператором ^0^, получим интегродифференциальное уравнение, которое всегда разрешимо.