О разрешимости системы уравнений дробного порядка

Теория линейных интегральных уравнений играет исключительно важную роль в исследовании локальных и нелокальных краевых задач для дифференциальных уравнений и систем с частными производными.

В частности, изучение аналога задачи Трикоми и нелокальных краевых задач со смешением (по терминологии А.М.Нахушева) для смешанных гиперболо-параболических уравнений [1], краевых задач для уравнений дробного порядка приводят к необходимости исследования систем интегральных уравнений Вольтерра второго рода. В данной статье предлагается исследование системы линейных интегральных уравнений с операторами дробного дифференцирования и интегрирования[2].

г (рХ)) = А(х)Ф“х^(х) + ^Чх, t)p(t)dt + + Sa kЧx, t)p(P)dt + f Чх),

W) = В(х)<р(х) + S^kAx.tWOdt + <        +i^k2(x,t)p(t)dt + fL(x), где a, a, Р=  const,    ^“х    и  Фрх  - операторы дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля.

В зависимости от значений показателей операторов дробного интегродифференцирования а и Р , система (1) может

• 1)    Интегродифференцированой, если а >  0, Р > 0;

• 2)    Интегральной, если а < 0, Р < 0;

• 3)    Смешанной, если а • Р <  0

Здесь будет исследован вопрос разрешимости системы уравнений (1) при определенных условиях на а, Р и заданных функций Л(х), В(х'),

f1(x),f1(x^,kl(x,t) иkj(x,t),i = 1,2, j — 1,2, a — 0,

Обозначим единичный интервал 0 < х < 1 через 3.

ТЕОРЕМА 1. Пусть а < 0, Р < 0и — 1 < а + Р, функции Л(x),В(x),f1(x),f1(x) Е С(3); kl(x,t),kj(x,t) Е C(3*3),i = 1,2,j - 1,2.

Тогда система уравнений (1) имеет и притом единственное решение класса С(3).

В этом случае система (1) представляет собой систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Второе уравнение системы перепишем в виде

ф(х) — J0 ki(x, t)^(t)dt = F(t),(2)

где  Fto-fito+^X-g^ + $x0^^(3)

Г( р)(х

Считая предварительно правую часть F(x)уравнения (2) известной и обозначая через К(х, t) резольвенту ядра k₁(x, t), после обращения имеем

^(х) = F(x) + ^Х^(х, t)F(t)dt.

Подставляя значения F(x) из (3) в формулу (4), получим

• *       ^(х)  ^х_ф(х№    ^х *                ^х RitoW

  , (5) (6) (7) (8)

  
  

^(х) - fi (х) + г(—р) Jo (х-)1+Р + Jo К1(х,t)p(t)dt + Jo (х-t)^ где f1*(x) - f1(x) + J0 К(х, t)fi(t)dt,

1 B(t+(x-t)^)R(x,t+(x-t)^)d^

^ 1 ^(x,^t) ^{- J} 0             ^ 1+р            ,

R2(x,t) - ^хR(x,t1)k2(t1,t)dt1.

Значение ^(х) из (5) подставим в первое уравнение системы (1). После несложных преобразований получим интегральное уравнение Вольтерра х G(x,t)^(t)dt

второго рода    p(x) = Jo (x-t)1+a+p + F1(x),

Л(%) x ^*(t)dt    fx      tV*(t^dt где F1(x) - Г(—') Jo (X-t)i+« + Jo k (x. t)71 (t)dt. c(x. t) - ^I-T^»» + (x - t'^+'W. t). N(x, t) = “£ + в£ + J? k2 (x. t)Ri(t1. t)dt + R(x.t)      AtoRKx.t)

⁺ (x-t) » ^{-1 +} r(-')(x-t)^a +P ,

R^x. t) - k 2 (x. t) + R 2 (x. t), R 1 (x, t) - J₀^{1 R1(}t+₍⁽₁^X—^t)f 1‘ ^)df ,

D *4v A f ^{1 R}K^t+ ( ^X-t) ^ i ^t)d ^

К - ^(x. t) ^{- J} o     (1—^) 1+;     ,

^^ ^ _ J 1 k²(x.t+(x-t ⁾ ^ ⁾ R i (t+(x-t ⁾ ^ i t ⁾ d^

₂             1 B(t+(x-t)^)fc²(x.t+(x-t)^)d^

^k 1 ^(x. ^{t) - J}            _f i+»            .

В силу свойств заданных функций и резольвенты R(x,t) ядра k₁(x.t) уравнения (2), в формуле (6)-(), (10)-(14) заключаем , что F₁(x) е С(7),

^(0) - 0. G(x. t) е С(7*7).

Таким образом уравнение (9) однозначно разрешимо и его решение

^(x) е С(7).

Обозначив через Г1 (x. t) резольвенту уравнения (9), решение этого уравнения мы можем представить по формуле

^(x) - F 1 (x) + J^xr 1 (x.t)F 1 (t)dt .                              (15)

Подставляя выражение (15) для ^(x) в формулу (5), находим ^(x). В силу свойств функций F1(x) и r1(x. t) легко заключить, что ^(x) е С(7).

ТЕОРЕМА 2 . Пусть а < 0.1 + а > 0.0 <  а + ^ < 1.^ > 0.

-2 < а-Р <  1./ 1 (x).f¹(x) е С(7). 0 ^ Л(x) е С¹(7). 0 ^ F(x) е С(7).

k^[(x.t).k j (x.t) е С¹(7 * 7). i — 1.2. j — 1.2. k²(x. x) ^ 0. Тогда система уравнений (1) имеет и притом единственное решение и оно принадлежит классу С(7).

В связи с тем, что Р > 0, то второе уравнение системы (1) является итегро-дифференциальным, которое перепишем в следующем виде

^L^(x) — ^;^x) —^т-f_n^xk₁(x. t)^(t)dt —^г-f^xk₂(x. t)^(t)dt — ^y^.

^0x           B(x)    B(x) o ^1V .                B(x) o ²⁴ .                 B(x)

На обе части равенства (16) подействуем оператором ®0^. Получим

^(t)

^^{(x) -} Гс5) / О' &07W ^dt - Г' ^J o ^{x k1 (x}. tW^(t)dt -

-гi1jJ'₀^Xk 2 ⁽x.t⁾V⁽t⁾dt + F 2 ⁽x⁾,                                   (17)

где k1(x. t) - (x - t)' J1 ‘i

F2(x)--®-xⁱ[/₁(x)/S(x)].

Запишем уравнение (17) в виде ф(x) +

— J^-k2(.M>(x)dt - 6(x),

W)

где⁶(ж) = F_z⁽x)^— Г^^^-^ — Гр)^¹^^^       ⁽¹8)

и решим полученное интегральное уравнение Вольтерра второго рода, как если бы правая часть была заданной функцией.

В результате получим ф(x) - 6(x) + J₀^X5(x, t)6(t)dt,        (19)

где 5(x, t) - резольвента ядра k2 (x, t).

Подставляя ф(x') из (19) в первое уравнение системы (1) и, заменяя 6(x) его значением из (18), будем иметь

А(х) rx i^(x)dt      1 гх ф( t)/B(t)dt

Г(-а) ^J0 (x-t)^{1-f +}Цр) ^J0  (x-t)^1-f

= So M⁽x, t)^⁽t)dt + Fg(x),

где

M⁽x,t) - — ^k1⁽x,t) ^J-^x, ti)k⁽⁽x, t)dti + ^{F(P) (}

1  (x-t)3  x 3(x,t+(x-t)^)d^

— Hp) B(() ^J0      C-P

1  (x-t)³  1 kⁱ(x,t+(x-t)^)d^ ,2

Г(р) B(() ^J0      ^^

+ ^^(x, t₁)k1(x, t)dt1 + (x — t)^1+P J¹k¹(x, t + (x — t)t1) *

* t^p^1(t + (x — t)t₁,t)dt₁ + (x — t)^2+PS1 k1(x,t + (x — t)t1) *

* t1"+P^1(t + (x — t)t1,t)dt1,(21)

1    ¹3(t,ti+(t-ti)^)

^1(t,t1) = B(t1)So     

1^^f3⁽t,ti+⁽t-ti⁾^⁾k!⁽ti+⁽t-ti⁾^,ti⁾d^

^2(t,t1)-Jo              [(t-ti)^]f

F3⁽x) - F2⁽x) + Sq3⁽x, t)F2⁽t)dt — S₀^Xk²⁽x, t⁾F2⁽t⁾dt —

— JO k1(x, t) {S0t3(t, t1)F2(t1)dt1} dt — f1(x).(22)

Из представлений (21) и (22) легко заметить, что M(x, t) е С(5 * Т),

F₂(x) е С(Т) и M(x,x) ^ 0, так как k²(x,x) ^ 0.

Уравнение (20) перепишем в виде

®ox^(x) - J₀^XM1(x, t)^(t)dt + ^1(x)®-X [^(X)] + F₄(x)

где M1(x, t) - M(x, t) / Л(x), Л₁(x) - —1 /Л(x), F₄(x) - F₃(x) /Л(x).

Действуя на обе части полученного уравнения оператором Ф-“, получим интегродифференциальное уравнение

0⁽x) -®-£ J₀^XM1⁽x,tMt⁾dt + ®-X^1⁽x⁾I>-X?№⁽x⁾/B⁽x⁾] + +®-x“F4(x).                                                        (23)

Исследуем вопрос разрешимости уравнения (23). Для этого преобразуем двойные интегралы в его правой части.

Вычислениями, аналогичными предыдущим, получим

®-X Jo^XM1(x, t)*(t)dt - Г^ Jo^-"²^--?”"' +

+ _F^J^X(x-tr^+PM1x(x,tЖt)dt,гдеM2(x,t) - J₀^X"ⁱ⁽₍^t₁+(X^--^t«^?,t)d^,

ЗДАДх^-'ДОЮ/ВСх)]

а+р    ,-х Д₂(х, t)^(t)dt

Г(р)Г(1+а)^J0  (x-t)^1-a-P

_n¹----^: A₃ (х, t)^(t)dt,

Г(р)Г(1+а) 0   ^3V,            ,

1   ¹^i(^t+(^^t)f)^c£

Где ^A2^(x,t) ~_B(t)J₀  ^(1-<Г)-а ,

-

а+р ^{l 1}^1(^t+(^x_t)f)^c£

Aз(х,t)-(х   t)    dxJo ^i-P(1-^)-a

.

Таким образом, уравнение (23) можно переписать в виде х Q(х,t)•ф(t)dt J0 (x-t)1-a-P ,

гДе Q(x,¹⁾ - ⁽1m^   t) - ^

^ Г(1+а)^М1х(х’^

x-t    ЛLУ(x,t)

Г(1+а)Г(р) B(t) ^,

На основании формулы (25) и свойств заданных функций и показателей a, P интегро-дифференцирования, заключаем, что функция Q(x, t) G С(^ * ^). Далее установим свойства функции Р(х). Очевидно, функция F3(х) , в смысле гладкости, ведет себя также, как функция F2(х). Поэтому, вначале установим свойства функции F3(х).

Имеем

Х^   ¹/1(х,^)^/В(х,^)

г(P)^Jo (1-<0^1-i    ^'

F2⁽x) - -Ф₀Х^?[/1⁽х)/5⁽х⁾] -

-

Отсюда замечаем, F₂(х) G С(^) А С2(7\0), F₂(0) — 0 . Учитывая эти свойства функции F₂(х), получим Э-Х^МММ] - ^^-^(xVAto] - х^а+р^(х), где С(х) G C(J) А С^к(Д0),^ >2. _ Таким образом функция F(x) G С(^) А С²(7\0).

Следовательно (24) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода, которое однозначно и безусловно разрешимо и ф(х) G С(Т) А С^к(Й'\0'), к > 2.Обращая его и, подставляя найденное значение ф(х) в формулу (17) , получим интегральные уравнения Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции ^(х), которое также однозначно разрешимо и его решение ^(х) G С(^) А С^к(7\0),к > 2.