О решении одной краевой задачи для уравнения четвертого порядка смешанного типа с нелокальными условиями

Автор: Бекиев А.Б., Баймурзаева А.А.

Журнал: Экономика и социум @ekonomika-socium

Статья в выпуске: 12 (43), 2017 года.

Бесплатный доступ

В данной статье рассмотрены краевые задачи для уравнения четвертого порядка смешанного типа с нелокальными условиями, а также вопросы классификации и приведения к каноническому виду линейных дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка.

Дифференциальная уравнения, теорема, функция

Короткий адрес: https://sciup.org/140236656

IDR: 140236656

Текст научной статьи О решении одной краевой задачи для уравнения четвертого порядка смешанного типа с нелокальными условиями

Введение. В настоящее время во многих областях науки и техники возрос интерес к изучению дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. Потому что, изучение задачи динамики одномерных течений, динамики сжимаемой экспоненциально стратифицированных жидкости, задачи распространения волн в диспергирующих средах, поперечные колебания стержня и балок и другие, сводятся к решению краевых задач для уравнения четвертого порядка.

В работе [1] изучены вопросы классификации и приведения к каноническому виду линейных дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка. А также поставлены и исследованы корректные краевые задачи для уравнений гиперболических и смешанных типов. В данной работе рассмотрены краевые задачи для уравнения четвертого порядка смешанного типа с нелокальными условиями. Такие нелокальные задачи для уравнений второго порядка исследованы в работах Н.И. Ионкина [3], Е.И. Моисеева [4], К.Б. Сабитова [5].

Постановка задачи. В области Q = {(x, t) :0 < x < 1, - а < t < в} рассмотрим уравнение Lu = utt (x, t) + sgnt- uxxx(xx, t ) = f (x, t),(1)

где f ( x , t ) заданная функция.

Задача 1. Найти в области Q функцию u ( x , t ) , удовлетворяющую условиям:

u (x, t )^ 21( (Q)d   ..  (   ,U    ) ,

Lu (x, t) = f (x, t), (x, t)eQ+U ,(3)

u ( 0, t ) = 0, ux ( 0, t )= ux (1, t ), uxx (1 t ) = 0 uxxx ( 0, t )= uxxx (1, t ), — а < t < в, u (x,в) = ^(x),0 < x < 1,(5)

u(x,- а) = ^(x),0 < x < 1,(6)

где Q+=QP              П       и ^(x), у(x) и f (x,t)  - заданные гладкие функции.

Определение . Регулярным решением задачи (1)-(6) назовём такую функцию u ( x , t ) , которая: 1) непрерывна в области Q ; 2) обладает в области

Q непрерывными производными по t и по x второго и четвёртого порядка соответственно; 3) удовлетворяет уравнению (1) с условиями (2)-(6) в обычном классическом смысле. Система функций

X o ( x ) = 2 x , X (1) ( x ) = 2 sin Л x ,

^nx __ ^n^n ( 1 x )

X (2) (x) = ---- 7--+ cos Л x n            en _ 1            n

и биортогональная с ней система функций

A n x ,    Л! (1 - x )

= 2cos Лп x , Л п = 2 n n , n = 1,2,...(8)

Y 0 ( x ) = 1 Yn(1) ( x ) =---- Л ---i--- + sin n nx , Y 2° ( x )

e n 1

образуют базис Рисса в L ( 0,1 ) [2]. Имеет место следующая теорема.

Единственность и существование решение задачи.

Теорема. Если функции ^(x), у(x) и f (x,t) удовлетворяют следующим условиям: ^(x), у(x)e C(5)[0,1], ^(0) = у,(0) = 0, ^(0) = ^'(1), у'( 0) = у(1), ^"(1) = 0, у"(1) = 0, ^"'( 0) = ^'" (1), у (0) = у"'(1), ^4)(0) = у(4)(0) = 0, f (0, t) = 0, fx (0, t) = fx (1, t), и для Vn e N выполняются неравенств sin A2в chA^a + cos A^в shA2a ^ 0, то существует единственное регулярное решение задачи 1.

Доказательство . Существование решения задачи. Решение u ( x , t )

уравнения ищем в виде то                                                                                   .

u ( x , t ) = X 0 ( x ) u 0 ( t ) + S [ X 1 ) ( x ) u 1 ' ( t ) + ХП 2) ( x ) u 2 n ( t ) ]

n =1

Функцию f ( x , t ) разложим в ряд по системам (7), имеем

то f (x, t) = X0 (x) f0 (t) + ^[Xn1 (x) f.n (t) + x'2) (x) f2n (t)] • n =1

Подставляя (9) и (10) в уравнение (1), получим следующие уравнения для нахождения функций u0 (t), un (t), u2n (t):

Г u 0 ' ( t ) = f 0 ( t ) ,

L u ' ' ( t ) + A n u n ( t ) = f in ( t ) , i = 1,2

Г u 0 ' ( t ) = f 0 ( t ) ,

L u n ( t ) - A n u in ( t ) = .f in ( t ) , i = 1,2,

t 0, t 0.

Решая эти уравнения, имеем

u 0 ( t ) = ’

в a 0 t + b0 + f ( T

t

t co t + do + f (t

a

— t ) f 0 ( t ) d T , t 0,

— т ) f 0 ( t ) d T, t 0,

in

( t ) = Г

1 в ain COS A't + bin sin Att + -y f fin (T) Sin An (T — An t

t cine' + dine  ' +  2 f fin (T ) Sh An (t — T) dT n — cc

t) dT, t > 0, t < 0,

где    a 0, b 0, c 0, d0 , a.n , bin , c.n , dn, i = 1,2 пока неизвестные константы.

Для

нахождения этих постоянных используем условий uo ( 0 — 0 ) = uo ( 0 + 0 ) , u' ( 0 — 0 ) = u' ( 0 + 0 ) ,

u 0 ( в ) = ^0 , u 0 ( —a ) = у 0 , uin ( 0 — 0) = uin (0 + 0) , u'n (0 — 0) = u'n (0 + 0) , uin ( в) = ^in , uin (—«) = yin

Решение уравнений (11) -(12) в условиях (13) имеют вид u о ( t ) = ’

u n ( t ) = J

к о +( t , т ) =

:

^ о - ( t + а ) + ^ о ( в t ) +

о                                 в

+ J ( т + а )( t в ) f о ( т ) d T + J K 0 ( t, т ) f o ( т ) dr

а                                   О

+ ^ |^ ^ о ( t + а ) + W о ( в t ) +

в                                о

+ J ( t + а )( т в ) f о ( т ) dT + J K о ( t , т ) f о ( т ) dT о                                    а

А n ( а , в )

G + ( а, в )

-Т2 J f n ( т ) sh^ n ( т

Л

t о,

t о,

+ а ) sin A^ ( в t ) dT

1  в1

2 J K n ( t, T ) f n ( T ) d T [ ,      t о,

An о

1        J

1 G in ( а , в )      f in ( T ) sin A n ( в T ) sh A n ( t + а ) d T +

А n ( а , в ) [              Л п Ъ

1    о                               1

+ ttJ K in ( t, т ). f in ( т ) d T \ ,     t о,

A n а                    J

f ( t в )( т + а ) , о т t , [ ( т в )( t + а ) , t т в,

— z   xf( t — в)(т + а) , — а - т - t, о        [(т — в)(t + а), t — т — о,

G in ( а , в ) = p in ( sh A n а cos A n t + ch A n а sin A n t ) + p in sin A n ( в t ) ,

G in ( а , в ) = ^ in sh A n ( t + а ) + p in ( sin A n fi ch A n t cos A n в sh A n t ) , sin A ( в т ) ( sin A tch A^& + cos A t sh ^o ) , t т в , sin AA ( в t ) ( sin сЬ + cos A^r sHA^g ) , о т t , sh A n ( t + а ) ( cos A n в sh A^r sin A n в ch A^v ) , t т о, sh A n ( т + а ) ( cos A n в sh A n t sin A n в ch A n t ) , а т t ,

K i + ( t , т ) =

Ki n ( t , т ) = “

Ап (а, в) = sin AAвcHA^o + cos А^в shA^G, где ^, y0, pin, y/in, i = 1,2  - соответственно коэффициенты разложения функций ^(x) и у(x) в ряд по функциям (8). Тогда решение задачи 1

формально записывается в виде

^ о - ( t + а ) + р о - ( в t ) + J ( т + а )( t в ). f о ( т ) d т +

а

X о ( x ) f а + в [

в

+ J K о + ( t , т ) f о ( т ) d т

то     2

+

х П i ) ( x )

А n ( а , в )

{ G + n ( а , в )

u ( x , t )

--1 2 J f in ( т ) sh A n ( т + а ) sin A n 2 ( в t ) d T Т2 J K + ( t , т ) f in ( т ) d T A                                        A n о

в

Р о ( t + а ) + Р о ( в t ) + J ( t + а )( т в ) f о ( т ) d т +

t о,

n —а Xо ( x ) f а + в [

°                                  1            2

+ J K о ( t , т ) f> ( т ) d T ^ + ^^ ■ n I A { G in ( а , в )

а                       J     n = 1 i = 1 А n ( а , в )

1  в                                                              1   о

--^ J f in ( т ) sin A n ( в т ) s h A n ( t + а ) d T + GJ J K n ( t, т ) f in ( т ) d T Г t о.

An о                                             An —аJ

_(14)

Теперь нам нужно доказать u (x, t)g C42 (q) . Покажем равномерную сходимость рядов utt (x, t) в области Q (аналогично показывается равномерная сходимость рядов  uxxп(x,t)). Дифференцируем два раза решение (14) по t , тогда

»   2                            ®   2(

X о ( x ). f о ( t ) + xX X ni ) ( x ) л , ( t ) + XX -rtA) { A n G + а,в ) + n = 1 i = 1                        n = 1 i = 1 A n ( a , в )

о utt ( x, t) = <

+A2 J fin (t ) shAn (t + a ) sin An ( в - t ) dT + An J Kin ( t,T ) ftn (T ) dr t > 0,

— a0

»   2                            ®   2

X о ( x ). f о ( t ) + xX X ni ) ( x ). f nn ( t ) + XX7-7 S) A n G n ( а,в ) n = 1 i = 1                        n = 1 i = 1 ^ n ( a , в )

в                                                0

A n J f in ( T ) sin A n ( в T ) sh A n ( t + a d T + A n J K in ( t , T ) f in ( T ) d T Г , t 0.

Ряды (15) мажорируются рядами

^

C1 If0 ( t )| + c2 ZX [An ( ^^ I + ^n I)] + n =1 i =1

0   2

+c XX

n = 1

i = 1

A n

fin

L 2 ( a ,0 )

+

II fA ( 0, в ) ) +l - f in ( t )l

где c = const, i = 1,2,3.

Функций ^ ( x ) , щ ( x ) разлагаются в биортогональный ряд

^

^ ( x ) = ^ 0 X 0 ( x ) + X [ ^ 1 nA 1 ( x ) + ^ 2 nA ( x ) ] , n =1

щ ( x ) = щ 0 X 0 ( x ) + X [ ^ 1 An1 ( x )+ щ 2 An2 ) ( x ) ] , n = 1

где коэффициенты %, ^n, ^n,щ, щхn, щ2п вычисляются по формулам 111

% = J^( x ) *0 ( x ) dx, ^1 n = J ^( x ) Y^ x ) dx, ^2 n = J ^( x ) Yn 2)( x ) dx , 000

Щ 0 = J щ ( x ) Y 0 ( x ) dx , ^ n = J щ ( x ) Y n (1)( x ) dx , щ 2 n = J щ ( x ) YA x ) dx .

В (10) коэффициенты f 0 ( t ) , f n ( t ) , f2n ( t ) вычисляются по формулам

■ f 0 ( t ) = J f ( x , t ) Y ( x ) dx , ./ 1 n ( t ) = J f ( x , t ) Yf ( x ) dx ,

.f 2 n ( t ) = J f ( x , t ) Ytff x ) dx .

Интегрируя по частям пять раз второй и третий интегралы в (17), (18) и два раза интегрируя интегралы в (19) получаем:

^ 1 n

A n

e A n

e A n

e A n

n

A n e A

f n ( ' ) = e

e

[ a 1 n + b 1 n ] + T? , ^ 2 n

1                 A n

1       ( 5 )

=      ^2 > n ,

A n

[— a 2 n + b 2 n ] + -ГТ Щ 1 ( n 5 ) ,

1                  A n

1        ( 5 )

^ 2 n = -УТ Щ 2 n , A n

1 A J

f1 n ( t ) + f1 n ( t )

^ У2 f n ( t ) f 2 n ( t ) = 4 f 2 n ( t ) ,

A n                A n

где

a 1 n

= J ф ( 5 ) ( x ) e Л п ( 1 - x ) dx , bn = J ф ( 5 ) ( x ) e - ^ n x dx ,

a2n = J ^(5) ( x) e-Лп(1-x)dx, b2n = J ^(5) (x) e-ЛnX dx, ф!5 = J ф(5) ( x) cos Лnxdx, Ф2П) = 2 J ф(5) ( x ) sin Лnxdx, 00

1^15 = J ф ( 5 ) ( x ) cos Л n xdx , ^ 2n ) = 2 J ^ ( 5 ) ( x ) sin Л n xdx , 00

. f n ( t ) = J ЛЛ ( x , t ) e^ n xdx , fl n ( t ) = J f x ( x , t ) e - ^x dx ,

f 1 n ( t ) = - J f xxc ( x , t ) sin ^ nxdx , f 2 n ( t ) = - 2 J f x ( x , t ) cos ^ nxdx .

Если значения ф ,^n , fin ( t ) , i = 1,2 подставить в (16), то нетрудно

видеть, что эти ряды сходятся абсолютно в области Q . Тогда ряды в (15) сходятся абсолютно и равномерно в области Q . Единственность решения задачи следует из представления (14), а также из полноты системы (8). Теорема доказана. Теперь рассмотрим вопрос о нулях выражения Ап ( а , в ) .

Преобразуем Ап ( а , в ) к виду

А, , ( а , в ) = A n sin ( Л,2 в + Г , ) ,    (20), где

A , = Chh Ta ,

Y n

shX 2 a .   Из   (20)   следует, что при

— arcsin

A n

в =

— — Y 2-, k , n N

-n      Л п

имеет место равенства Ап ( а , в ) = 0 . При таких

значениях в нарушается единственности решения задачи (2)-(6).

Список литературы О решении одной краевой задачи для уравнения четвертого порядка смешанного типа с нелокальными условиями

  • Джураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. -Ташкент: Фан, 2000. -144 с.
  • Кадиркулов Б.Ж. Об одной обратной задаче для параболического уравнения четвертого порядка//Узбекский математический журнал. -Ташкент, 2012. -№1. -C. 74-80.
  • Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности неклассическим краевым условием//Дифференциальные уравнения. 1977 г. Том XIII, №2, стр. 294-304.
  • Моисеев Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи//Дифференциальные уравнения. 1999 г. Т. 35, С. 1094-1100.
  • Сабитов К.Б., Мартемьянова Н. В. Обратная задача для уравнения эллиптико-гиперболического типа с нелокальным граничным условием//Сибирский математический журнал. 2012 г, Том 53, № 3, стр. 633-647
Статья научная