О решении одной краевой задачи для уравнения четвертого порядка смешанного типа с нелокальными условиями

Введение. В настоящее время во многих областях науки и техники возрос интерес к изучению дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. Потому что, изучение задачи динамики одномерных течений, динамики сжимаемой экспоненциально стратифицированных жидкости, задачи распространения волн в диспергирующих средах, поперечные колебания стержня и балок и другие, сводятся к решению краевых задач для уравнения четвертого порядка.

В работе [1] изучены вопросы классификации и приведения к каноническому виду линейных дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка. А также поставлены и исследованы корректные краевые задачи для уравнений гиперболических и смешанных типов. В данной работе рассмотрены краевые задачи для уравнения четвертого порядка смешанного типа с нелокальными условиями. Такие нелокальные задачи для уравнений второго порядка исследованы в работах Н.И. Ионкина [3], Е.И. Моисеева [4], К.Б. Сабитова [5].

Постановка задачи. В области Q = {(x, t) :0 < x < 1, - а < t < в} рассмотрим уравнение Lu = utt (x, t) + sgnt- uxxx(xx, t ) = f (x, t),(1)

где f ( x , t ) заданная функция.

Задача 1. Найти в области Q функцию u ( x , t ) , удовлетворяющую условиям:

u (x, t )^ 21( (Q)d   ..  (   ,U    ) ,

Lu (x, t) = f (x, t), (x, t)eQ+U ,(3)

u ( 0, t ) = 0, ux ( 0, t )= ux (1, t ), uxx (1 t ) = 0 uxxx ( 0, t )= uxxx (1, t ), — а < t < в, u (x,в) = ^(x),0 < x < 1,(5)

u(x,- а) = ^(x),0 < x < 1,(6)

где Q+=QP              П       и ^(x), у(x) и f (x,t)  - заданные гладкие функции.

Определение . Регулярным решением задачи (1)-(6) назовём такую функцию u ( x , t ) , которая: 1) непрерывна в области Q ; 2) обладает в области

Q непрерывными производными по t и по x второго и четвёртого порядка соответственно; 3) удовлетворяет уравнению (1) с условиями (2)-(6) в обычном классическом смысле. Система функций

X _o ( x ) = 2 x , X (1) ( x ) = 2 sin Л x ,

^nx __ ^n^n ^{( 1 x} )

X ⁽²⁾ (x) = ---- 7--+ cos Л x n            eⁿ _ 1            n

и биортогональная с ней система функций

A n x ,    Л! (1 - x )

= 2cos Л_п x , Л _п = 2 n n , n = 1,2,...(8)

^Y 0 ( ^x ) = ¹ Yn⁽¹⁾ ( ^x ) =---- Л ---i--- ^{+ sin n} nx , ^{Y 2}° ( ^x )

e ⁿ — 1

образуют базис Рисса в L ( 0,1 ) [2]. Имеет место следующая теорема.

Единственность и существование решение задачи.

Теорема. Если функции ^(x), у(x) и f (x,t) удовлетворяют следующим условиям: ^(x), у(x)e C(5)[0,1], ^(0) = у,(0) = 0, ^(0) = ^'(1), у'( 0) = у(1), ^"(1) = 0, у"(1) = 0, ^"'( 0) = ^'" (1), у (0) = у"'(1), ^4)(0) = у(4)(0) = 0, f (0, t) = 0, fx (0, t) = fx (1, t), и для Vn e N выполняются неравенств sin A2в chA^a + cos A^в shA2a ^ 0, то существует единственное регулярное решение задачи 1.

Доказательство . Существование решения задачи. Решение u ( x , t )

уравнения ищем в виде то                                                                                   .

u ( x , t ) = X 0 ( x ) u 0 ( t ) ⁺ S [ X ¹ ) ( x ) u 1 ' ( t ) ^{+ Х}П ²⁾ ( x ) u 2 n ( t ) ]

n =1

Функцию f ( x , t ) разложим в ряд по системам (7), имеем

то f (x, t) = X0 (x) f0 (t) + ^[Xn1 (x) f.n (t) + x'2) (x) f2n (t)] • n =1

Подставляя (9) и (10) в уравнение (1), получим следующие уравнения для нахождения функций u0 (t), un (t), u2n (t):

Г u 0 ' ( t ) = f 0 ( t ) ,

L u ' ' ( t ) + A n u n ( t ) = f in ( t ) , i = 1,2

Г ^u 0 ' ( t ) = f 0 ( t ) ,

L u n ( t ) - A n u in ( t ) = .f in ( t ) , i = 1,2,

t >  0, t <  0.

Решая эти уравнения, имеем

^u 0 ( t ) = ’

в a 0 t + b0 + f ( T

t

t co t + do + f (t

a

— t ) f 0 ( t ) d T , t >  0,

— т ) f 0 ( t ) d T, t <  0,

in

( t ) = Г

1 в ain COS A't + bin sin Att + -y f fin (T) Sin An (T — An t

t cine' + dine  ' +  2 f fin (T ) Sh An (t — T) dT n — cc

t) dT, t > 0, t < 0,

где    a ₀, b ₀, c ₀, d₀ , a._n , b_in , c._n , d_n, i = 1,2 пока неизвестные константы.

Для

нахождения этих постоянных используем условий uo ( 0 — 0 ) = uo ( 0 + 0 ) , u' ( 0 — 0 ) = u' ( 0 + 0 ) ,

u 0 ( в ) = ^0 , u 0 ( —a ) = у 0 , uin ( 0 — 0) = uin (0 + 0) , u'n (0 — 0) = u'n (0 + 0) , uin ( в) = ^in , uin (—«) = yin

Решение уравнений (11) -(12) в условиях (13) имеют вид u о ( t ) = ’

u n ( t ) = J

к о ⁺( t , т ) =

+в :

^ о - ( t ^{+ а} ) ⁺ ^ о ■ ( ^{в —} t ) +

о                                 в

⁺ J ( ^{т + а} )( t ^{— в} ) f о ( ^т ) d ^{T +} J K 0 ( t^{, т} ) ^f _o ( ^т ) dr

— а                                   О

₊ ^ |^ ^ о ■ ( t ^{+ а} ) ⁺ W о ■ ( ^{в —} t ) ⁺

в                                о

⁺ J ( t ^{+ а} )( т ^{— в} ) ^f о ( т ) dT ⁺ J K о ( t , т ) ^f о ( т ) dT о                                    — а

^А n ( ^а , ^в )

G + ( а, в )

^— -Т2 J f n ( ^т ) sh^ n ( ^т

Л

t >  о,

t <  о,

+ а ) sin A^ ( в — t ) dT —

1  в1

2 J K n ( t^{, T} ) ^f n ( ^T ) ^{d T} [ ,      t >  ^о,

An о

1        J

1 G in ( ^а , ^в ) ^—      f in ( ^T ) sin ^A n ( ^{в — T} ) s^{h A} n ( t ^{+ а} ) ^{d T +}

^А n ( ^а , ^в ) [              ^Л п Ъ

1    о                               1

+ ttJ K in ( t^{, т} ). f in ( ^т ) ^{d T} \ ,     t <  ^о,

^A n — а                    J

f ( t — в )( т + а ) , о — т — t , [ ( т — в )( t + а ) , t — т — в,

— z   xf( t — в)(т + а) , — а - т - t, о        [(т — в)(t + а), t — т — о,

G in ( а , в ) = p in ( sh A n а cos A n t + ch A n а sin A n t ) + p in sin A n ( в — t ) ,

G in ( а , в ) = ^ in sh A n ( t + а ) + p in ( sin A n fi ch A n t — cos A n в sh A n t ) , sin A ( в — т ) ( sin A tch A^& + cos A t sh ^o ) , t — т — в , sin AA ( в — t ) ( sin ^т сЬ ^а + cos A^r sHA^g ) , о — т — t , sh A n ( t + а ) ( cos A n в sh A^r — sin A n в ch A^v ) , t — т — о, sh A n ( т + а ) ( cos A n в sh A n t — sin A n в ch A n t ) , — а — т — t ,

K i + ( t , т ) =

Ki n ( t ^{, т} ) = “

Ап (а, в) = sin AAвcHA^o + cos А^в shA^G, где ^, y0, pin, y/in, i = 1,2  - соответственно коэффициенты разложения функций ^(x) и у(x) в ряд по функциям (8). Тогда решение задачи 1

формально записывается в виде

^ о - ( t + а ) + р о - ( в — t ) + J ( т + а )( t — в ). f о ( т ) d т +

— а

^X о ( x ) f а + в [

в

⁺ J K о ⁺ ( t , ^т ) ^f о ( ^т ) ^{d т}

то     2

+

х П i ) ( x )

^А n ( ^а , ^в )

{ G + n ( а , в )

—

u ( x , t )

--1 2 J f in ( ^т ) ^{sh A} n ( ^{т + а} ) sin ^A n ² ( ^{в —} t ) ^{d T —} Т2 J ^{K +} ( t , ^т ) f in ( ^т ) ^{d T A                                        A} n о

в

Р о ■ ( t ^{+ а} ) ⁺ Р о ■ ( ^{в —} t ) ⁺ J ( t ^{+ а} )( ^{т — в} ) ^f о ( ^т ) ^{d т +}

t >  о,

n —а Xо ( x ) f а + в [

°                                  1            2

⁺ J ^K о ⁽ t , ^т ) ^f> ^{( т} ) ^{d T} ^ ⁺ ^^ ■ n I A { G in ^{( а} , ^{в ) —}

— а                       J     n = 1 i = 1 ^А n ^{( а} , ^{в )}

1  в                                                              1   о

--^ J ^f in ( ^т ) sin ^A n ( ^в — ^т ) s ^{h A} n ( t ^{+ а} ) ^{d T +} GJ J ^K n ( t^{, т} ) ^f in ( ^т ) ^{d T} Г ’ t <  ^о.

An о                                             An —аJ

_(14)

Теперь нам нужно доказать u (x, t)g C42 (q) . Покажем равномерную сходимость рядов utt (x, t) в области Q (аналогично показывается равномерная сходимость рядов  uxxп(x,t)). Дифференцируем два раза решение (14) по t , тогда

»   2                            ®   2(

X о ( x ). f о ( t ) + xX X ni ) ( x ) л , ( t ) + XX -rtA) { — ^A n G + а,в ) + n = 1 i = 1                        n = 1 i = 1 ^A n ( ^a , ^в )

о utt ( x, t) = <

+A2 J fin (t ) shAn (t + a ) sin An ( в - t ) dT + An J Kin ( t,T ) ftn (T ) dr t > 0,

— a0

»   2                            ®   2

X о ( x ). f о ( t ) + xX X ni ) ( x ). f nn ( t ) + XX7-7 S) A n G — n ( а,в ) — n = 1 i = 1                        n = 1 i = 1 ^ _n ( ^a , ^в )

в                                                0

^{— A} n J f in ( ^T ) sin ^A n ( ^{в — T} ) s^{h A} n ( t ^{+ a} d ^{T + A} n J K in ( t ^{, T} ) f in ( ^T ) d ^T Г , t <  0.

Ряды (15) мажорируются рядами

^

C1 If0 ( t )| + c2 ZX [An ( ^^ I + ^n I)] + n =1 i =1

0   2

+c XX

n = 1

i = 1

A n

fin

L 2 ( — a ,0 )

+

II ^fA ( 0, в ) ) ⁺l - f in ⁽ t )l

где c = const, i = 1,2,3.

Функций ^ ( x ) , щ ( x ) разлагаются в биортогональный ряд

^

^ ( ^x ) = ^ 0 ^X 0 ( ^x ) ⁺ X ^[ ^ 1 nA ¹ ( ^x ) ⁺ ^ 2 nA ( ^x ) ] ^, n =1

щ ( ^x ) = щ 0 X 0 ( ^x ) + X ^[ ^ 1 An¹ ( ^x )⁺ щ 2 An^{2 )} ( ^x ) ] , n = 1

где коэффициенты %, ^n, ^n,щ, щхn, щ2п вычисляются по формулам 111

% = J^( x ) *0 ( x ) dx, ^1 n = J ^( x ) Y^ x ) dx, ^2 n = J ^( x ) Yn 2)( x ) dx , 000

Щ 0 = J щ ( x ) Y 0 ( x ) dx , ^ n = J щ ( x ) Y n ⁽¹⁾( x ) dx , щ 2 n = J щ ( x ) ^YA x ) dx .

В (10) коэффициенты f ₀ ( t ) , f _n ( t ) , f_2n ( t ) вычисляются по формулам

■ f 0 ( t ) = J f ( x , t ) Y ( x ) dx , ./ 1 n ( t ) = J f ( x , t ) Yf ( x ) dx ,

.^f 2 n ( t ) = J ^f ( ^x , t ) Ytff ^x ) ^dx .

Интегрируя по частям пять раз второй и третий интегралы в (17), (18) и два раза интегрируя интегралы в (19) получаем:

^ 1 n

A n

e ^A n

e ^A n

—

e ^A n

n

A n e ^A

f n ( ' ) = e

e

—

[ ^— a 1 n ⁺ b 1 n ] ⁺ T? , ^ 2 n

^{1                 A} n

1       ( 5 )

=      ^2 > _n ’ ,

^A n

—

^[— a 2 n ^{+ b} 2 n ^{] +} -ГТ ^Щ 1 ⁽ n ⁵ ) ,

^{1                  A} n

1        ( 5 )

^ 2 n = -УТ Щ 2 n , ^A n

1 A J

f1 n ( t ) + f1 n ( t )

^ У2 f n ( t ) • f 2 n ( t ) = 4 f 2 n ( t ) ,

A _n                A _n

где

^a 1 n

= J ф ⁽ 5 ) ( x ) e ^{Л п} ( 1 - ^x ) dx , b_n = J ф ^{( 5 )} ( x ) e - ^ n x dx ,

a2n = J ^(5) ( x) e-Лп(1-x)dx, b2n = J ^(5) (x) e-ЛnX dx, ф!5 = J ф(5) ( x) cos Лnxdx, Ф2П) = 2 J ф(5) ( x ) sin Лnxdx, 00

1^1⁵ = J ф ^{( 5 )} ( x ) cos Л _n xdx , ^ 2n ) = 2 J ^ ^{( 5 )} ( x ) sin Л _n xdx , 00

. ^f n ( t ) = J ЛЛ ( ^x , t ) ^e^ n x^dx , fl n ( t ) = J f x ( ^x , t ) e - ^x dx ,

f 1 n ( t ) = - J f xxc ( ^x , t ) sin ^ n^xdx , ^f 2 n ( t ) = - ² J f x ( ^x , t ) cos ^ n^xdx .

Если значения ф ,^_n , f_in ( t ) , i = 1,2 подставить в (16), то нетрудно

видеть, что эти ряды сходятся абсолютно в области Q . Тогда ряды в (15) сходятся абсолютно и равномерно в области Q . Единственность решения задачи следует из представления (14), а также из полноты системы (8). Теорема доказана. Теперь рассмотрим вопрос о нулях выражения А_п ( а , в ) .

Преобразуем А_п ( а , в ) к виду

А, , ( а , в ) = A n sin ( Л,2 в + Г , ) ,    ⁽²⁰), где

A , = Chh Ta ^,

Y n

shX 2 ^a .   Из   (20)   следует, что при

— arcsin

A n

в =

— — Y 2-, k , n ^€ N

-n      ^Л п

имеет место равенства А_п ( а , в ) = 0 . При таких

значениях в нарушается единственности решения задачи (2)-(6).