О силовской 2-подгруппе в периодической группе с заданным набором конечных подгрупп

Введение. Группа G насыщена группами из множества групп M , если любая конечная подгруппа K из G содержится в подгруппе группы G , изоморфной некоторой группе из M [1].

Пусть группа G насыщена группами из множества групп M и K - конечная подгруппа из G . Через M ( K ) обозначим множество всех подгрупп из G , содержащих K и изоморфных группам из M . В частности, если 1 - единичная подгруппа G , то M (1) -множество всех подгрупп группы G , изоморфных группам из M [2].

Под символом e в данной работе будет пониматься единица группы G .

В [3] доказано, что произвольная периодическая группа, насыщенная группами из множества групп { L ₂ ( pⁿ ) } , где p и n не фиксируются, изоморфна L ₂ ( Q ), где Q - локально-конечное поле. Там же этот результат удалось обобщить на случай, когда группа насыщена группами из множества групп { SL ₂ ( pⁿ ) } . Естественно рассмотреть случай, когда периодическая группа насыщена группами из множества групп { GL 2 ( p n ) } .

Гипотеза . Пусть периодическая группа G насыщена множеством групп { GL ₂ ( pⁿ ) } , где p , n не фиксируются. Тогда G - GL ₂ ( Q ) для некоторого локально-конечного поля Q .

Следующий пример показывает, указанная гипотеза в классе периодических групп неверна. Рассмотрим группу

G = L2(2 n) x B (m, p), где m > 1; p = 2n -1 - простое фиксированное число. большее 665; B(m, p) - свободная берсайдова группа с m образующими и периода p. Так как

GL 2 (2 ⁿ) = L 2 (2 ⁿ) x Z ( GL 2 (2 ⁿ )),

I Z ( GL 2 (2ⁿ ))| = 2 ⁿ - 1 = p и порядок любой нетривиальной конечной подгруппы из B ( m , p ), как показано в [4, с. 296], равен p , то G насыщена множеством

M = { GL 2 (2 ⁿ ) } , состоящим из одной группы. Как показано в [4, с. 262], B ( m , p ) для указанных m и p не является локально-конечной группой. Следовательно, G не локально-конечная группа.

Таким образом, возникает задача выделения в периодических группах классов групп, в которых данная гипотеза имеет место. В [5] данная гипотеза доказана в классе локально-конечных групп. Одним из классов, в котором эта гипотеза может оказаться верной, является класс групп Шункова.

Для доказательства гипотезы в классе групп Шункова предлагается следующая схема:

• 1.    Доказать, что центр Z ( G ) нетривиален и является локально-циклической группой.

• 2.    Доказать, что G = G \ Z ( G ) является группой Шункова и насыщена группами из множества { PGL ₂ ( pⁿ ) } и, как следствие, вывести отсюда, что

• G изоморфна PGL2(Q) для некоторого локальноконечного поля Q .

• 3.    Используя верность гипотезы для локальноконечных групп, показать, что G изоморфна GL ₂ ( Q ).

В [6; 7] данная схема реализована в классе периодических групп Шункова при дополнительном ограничении - фиксированности p. Попытка отказаться от условия фиксированности p привела к необходи мости классификации силовских 2-подгрупп в указанных группах. В данной работе эта классификация сделана.

Пусть M = { GL ₂ ( pⁿ ) } , где p - простое нефиксированное число и натуральное n не фиксируется.

Доказан следующий результат.

Теорема . Пусть периодическая группа G насыщена группами из множества M . Тогда силовская 2-подгруппа S группы G одна из следующих:

. с I 2 ⁿ     2 , v     2 ^{n - 1} - 1\

• 1.    S = ( a = v = 1, a = a ) - полудиэдраль-

• ная группа и |S| = 2n+1.

• 2.    S = ( a , w a ² = b ²

  = w ² = e , a w = b , ab = ba

  
  

• 3.    S - конечная элементарная абелева 2-группа.

• 4.    S - бесконечная элементарная абелева 2-группа.

• 5.    S = SK , где S - полная 2-группа 2 ранга не более 2, K - конечная 2-группа, изоморфная некоторой подгруппе группы диэдра порядка 8.

• 6.    В G существует силовская 2-подгруппа S = ( A х B ) X ( w ), где A - бесконечная локальноциклическая 2-группа; w ² = e ; A w = B .

nn

сплетенная 2-группа и | S | = 2 ^{n + 2} .

Известные факты и определения.

Предложение 1. Определение черниковской группы. Группа называется черниковской, если она является конечным расширением прямого произведения квазициклических групп, взятых в конечном числе [8].

Предложение 2. Пусть G-p - группа Шункова. Если ранги конечных элементарных абелевых p подгрупп из G ограничены в совокупности, то G - чер-ни-ковская группа [9-11].

Предложение 3. Пусть G = ( A х B ) Z wX - конечная сплетенная 2-группа, т. е.

A = ( a ), B = ^Х , a w = b , a ² = b ² = w ² = 1. Тогда:

• 1.    Центр Z = Z ( G ) = ( ab ^ = ( z ), где z = ab .

• 2.    G = ( A х B )X ( w = ( Z х A )X ( w ), z^w = z , a w = b = = aba ^{- 1} = za ^{- 1} , a w ² = ( za ^{- 1} ) ^w = ( za ^{- 1} ) ^{- 1} = zz ^{- 1} a = a .

• 3.    G = ( Z х B ), z w = z , b^w = a = abb ^{- 1} = zb ^{- 1} .

• 4.    Пусть x e ( A х B ) и | x | = 2 ^m . Тогда | xw | <  2 ^{m + 1} , ( xw ) ² e Z , в частности, если x = a , то ( aw ) ² = ab = z , и если x = b , то ( bw ) ² = ab = z .

• 5.    ( aw )( bw ) = azb ^{- 1} = ab ^{- 1} z .

• 6.    ( ab ^^w = a w b w = ba ¹ и R = ^ab ^X (w ) - группа диэдра.

• 7.    Пусть d = a ² m ^- l b¹ и ( 1 2) = 1 d^w = b ² m ^- l a¹ , dd w = a ² m ^- l b l b ² m ^- l a¹ = a ² m b ² m = z ² m , d w = d ^{- 1} a ² m b ² m = = d -¹ z ² m ,| d\ = 2 k .

• 8.    Если m = k и dd^ = ^ab ^-1^ , тогда ( d^X(w ) = = (ab ¹ Xx(w ) = R - группа диэдра.

• 9.    Если m = k - 1, то a ² - инволюция из A , b

  _-

  
  

• 13.    Пусть G ₁ = ( CcX х dd ^)X( w ^, cw¹ = d , w2 = e и G ₁ c G . Тогда имеет место одно из следующих утверждений:

2 ^m                           ,2 ^m

• 1)    G ₁ = (( c ₁ )х( d ^)X( w ₂) , где c w ² = d ₁ , w 2 = e и (( c ₁ ^х ^ d ^) g A х B ;

• 2)    G ₁ = ({ vXX(w ₃) ), где | v | = 4, v e A х B , w 2 = e , v w ³ = v ^{- 1} .

Доказательство пункта 12 . Предположим, что (c)х ddX <  A х B . Тогда для некоторого x e (^ c ^х ddX ), x = yw , где y e A х B . Ясно, что для любого v e ( A х B ) Q ({ cX х (d )), vx = xv . Следовательно vyw = = ywv , yvw = ywv , vw = wv и v e Z . Следовательно, ( A х B ) Q (( cX х (d }) g Z . Так как Z - циклическая группа, то и ( A х B ) Q (( c ^ х (d }) - циклическая группа, а это не так, в силу условия | c | >  2. Противоречие. Пункт доказан.

Доказательство пункта 13 . Поскольку x ² = e , то y w = y ¹ . Если w ₁ e ( A х B ), то ({ c ^ х di ^)X ( w j = = ⁽( ^z 1 h ( x )^{) X} W = ({ z ₁ ^х ( w J) X xxX , положив w x = c ₁ , w ₁ = d ₁ , x = w ₂ , получаем пункт 1 предложения 12.

Пусть w ₁ г ( A х B ). Тогда w ₁ = vw для некоторого v e ( A х B ). Посчитаем w ₁ x = vwyw = vy ^{- 1} e ( A х B ). Очевидно, vy ^{- 1} * e , так как в противном случае v = y и x = w , что невозможно по условию. Если | vy ¹1 = 2, то vy ^{- 1} = z ₁ , v = yz ₁ , vw = z ₁ yw , w ₁ = z ₁ x , что невозможно. Итак, vy ¹ >  2, значит | vy ¹ 1 = 4 .

Положив v = w ₁ x и w ₃ = w ₁ , получаем утверждение 2 предложения 13. Предложение доказано.

Предложение 4 . В GL ₂ ( p n ), где p - нечетно, нет подгрупп, изоморфных A ₄ .

Доказательство . Предположим обратное: пусть H c GL ₂ ( p n ) и H ® A ₄ . Тогда H = ( a ^х ^ХX(уХ , где a ² = b ² = v ³ = e , a v = ab [12; 13]. Возьмем инволюцию z e Z ( GL ₂ ( p n )). Если z лежит в H , то ( a )х х bX х (z ^ - подгруппа в GL ₂ ( pn ), что невозможно. Следовательно z e H , что противоречит структуре A . Предложение доказано.

Предложение 5 . Пусть G - периодическая группа, c - инволюция из G , а b - элемент порядка 4 из G такие, что cb ² = b ² c . Тогда H = ( c , bX - конечная группа одного из следующих видов:

• 1)    H = bX х ccX ;

• 2)    H = bXX [cX - группа диэдра;

• 3)    H = dd^ X {с} , d' = b ² d ^{- 1} , b ² g dd ), \d\ >  4, b = dc -полудиэдральная группа;

• 4)    H = ({ d ) x bb ²) )X ( c ), d^c = d ^{- 1} b ² , b = dc , d^c = b ² d ^{- 1} ,

|d\ >  2.

Доказательство. Рассмотрим фактор-группу C = CG ( b ² )/ bb ²^ , а в ней подгруппу H = / a , b^ . Очевидно, C - периодическая группа и H = ^d^X(c } = = ^d^Xbb^ - группа диэдра. Пусть d = bc . Тогда H = (^ b ²^ ■ dd ))X ( c ) и либо d^c = d ¹ , либо d^c = d ¹ b ² [14]. Если H - абелева группа, то Н вида 1. Если H -неабелева и H = 8, то H вида 2. Пусть H >  8 .

Если d^c = d ^{- 1} , то d^c = cbcc = cb = c ^{- 1} b ^{- 1} , cb = с ^{- 1} b ^{- 1} и b ² = c ² = e . Противоречие с тем, что |b | = 4. Таким образом, d^c = b ² d ^ч, и если b ² g ( d ), то H = (^ b ² x ^d)XX (c ) ( H - вида 3), а если b ² g d , то H = ( d ) X ( c ) - полудиэдральная группа ( Н - вида 4). Предложение доказано.

Предложение 6 . Пусть ( a ) - циклическая порядка 2 ⁿ и ф - изоморфизм порядка 2 группы ^ . Тогда имеет место одно из следующих утверждений:

• 1)    ф ( a ) = a ^{- 1} ;

• 2)    ф ( a ) = a ^{- 1} z , z ² = e ;

• 3)    ф ( a ) = az .

Доказательство . Ясно, что для некоторого нечет- n                  l                      2                        1 ²

ного l <  2 , ф ( a ) = a . Так как ф ² ( a ) = a , то a = a ,

2 ⁿ s (2 n ^{1 - 1} + 2 ^{n 2 - 1}

Если n s - 1 - 2 >  0 , то, как и выше, n s - 1 >  2, 2 ³ = 2 ⁿ , n = 3, l = 2 ² + 2 + 1 = 7 и противоречие с тем, что n s _{- 2} >  2. Следовательно, n s - 1 = 2 , S 1 = 2 ^{n - 1} . Действуя подобны образом, получаем, что l = (2 n ¹ + 2 n ^{1 - 1} + ... + 2 ² + 2 + 1), ( e - 1)( e + 1) = 2 a 2 ^m , где a - нечетное число, 2 ^m = (2 n ¹ + 2 n ^{1 - 1} + ... + 2 ² + + 2 + 1) + 1 = e + 1 и 2 ^{m + 1} ^ 0(mod2 ⁿ ). Следовательно, либо m = n , либо m = n - 1 и m + 1 >  n .

По формуле геометрической прогрессии имеем (2 ^{n - 1} + 2 ^{n - 2} + ... + 2 + 1) + 1 = (2 ⁿ - 1) + 1 = 2 ⁿ в первом случае и (2 ^{n - 2} + 2 ^{n - 3} + ... + 2 + 1) + 1 = (2 ^{n - 1} - 1) + 1 = 2 ^{n - 1} во втором случае. Соответственно, либо l = 2 ^{n - 1} - 1 и имеет место утверждение 2, либо l = 2 ⁿ - 1 и имеет место утверждение 1. Предложение доказано.

Доказательство теоремы . Если в G некоторая S конечна, то из предложений 1, 2 вытекает, что S одна из первых трех видов 1, 2, 3, и в этом случае теорема доказана.

В дальнейшем считаем, что S - бесконечная группа.

Лемма 1 . Если S содержит подгруппу D = Хх^ xdy) x ^ z ^, где x ² = y ² = z ² = 1, то S - элементарная абелева группа.

Доказательство . В силу предложения 4 и [14; 15] D вложена в бесконечную локально-конечную подгруппу I групп S .

Если I содержит элемент в порядке 4, то ^ D , b ) - конечная 2-группа, которая по условию насыщенности является подгруппой группы D 1 , где D 1 - одна из следующих (предложение 6):

• 1)    D ₁ - конечная группа полудиэдра;

• 2)    D ₁ - конечная сплетенная 2-группа;

• 3)    D 1 - элементарная абелева 2-группа

Но в первых двух случаях D 1 не может содержать подгруппу D , а в последнем - не может содержать элемент b .

Итак, I - элементарная абелева 2-группа, и можно считать I максимальной в указанном смысле ( D <  I ).

Если S = 1, то все доказано. Предположим, что х g G \ I ^ 0 . Покажем, что х можно выбрать так, что xz = zx для некоторой инволюции z g I .

Если | х | = 2, то группа ( х , z ^ конечна для любой инволюции Z из I . Пусть t - инволюция из Z (dх , z ^). Если t g I , то положим Z = t . Если t g I , то положим х = t . Подгруппа ( z ) x ( х ^ = K 1 , очевидно, не лежит в I и K 1 П I = ( z ^. Возьмем в I инволюцию t * z . Ясно, что tz = zt .

Рассмотрим конечную подгруппу ^ z , х , t Y Данные подгруппы, очевидно, не лежат в I и ^ z , х , t ^ П I >  ({ х ^ x tt ^). В силу леммы 1 в z^z , х , t)

существует элемент v такой, что v е N G (( z^ х tt ))\ I и v ² е I . Тогда группа K ₂ = ( v , z , x , t , t^, где t ₁ е I \ (( z ^ х tt }), конечная 2-группа.

По условию насыщенности K ₂ <  K ₃ е M (1). Так как K ₂ содержит подгруппу 0 х ( t ₁ (х zz^ , то из структуры M вытекает, что K ₂ - элементарная абелева 2-группа. В силу произвольности t ₁ как инволюции из I получим, что x перестановочен с любой инволюцией из I . Таким образом, I х xx^ - элементарная абелева 2-группа, что противоречит максимальности I как элементарной абелевой 2-группы.

Пусть | х | = 4 . Возьмем x ₁ = x ² . По доказанному выше x ₁ е I . В дальнейшем, дословно повторяя рассуждения для случая | x | = 2 , получим, что x е K ₂ -элементарная абелева 2-группа. Противоречие с тем, что | x | = 4 . Лемма доказана.

В дальнейшем будем считать, что G не содержит элементарных абелевых групп порядка более четырех.

Лемма 2 . Если ранг S равен 2, S ¹ типа 5.

Доказательство . В этом случае S = A х B , где А , В -локально-циклические группы. Возьмем в S конечную подгруппу R = ( а ) х ^^ , где a е A , b е B ,| а | = = | b | >  2. По условию насыщенности R с K е M (1). Следовательно, K - GL ₂ ( p n ) и p * 2 . Пусть S K -силовская 2-подгруппа из K , содержащая R . По предложению 3 S K = (( с } х ( d ) ) ”w - сплетенная 2-группа, т. е . | с | = | d | >  2 и с ” = d . По предложению 4 R <  (( с ) х ( d )) и R ” = R . Возьмем в S \ R элемент у со свойством у ² е R . Очевидно, такой, в силу структуры S , найдется. Ясно, что у е C_G ( R ). Следовательно, группа ( R , у , w ) - конечна.

По условию насыщенности ( R , у , w ^ с K ₁ е M (1) и K ₁ - GL ₂ ( p n ¹ ), где p ₁ * 2 . По предложению 5 (R ₁ , у , ” с N_{K 1}( R ) = (( с ₁ (х ( d J) X ” - сплетенная группа. Здесь | с ₁ 1 = | d ₁ 1 = ( p n ¹ - 1) ² и с ” = d ₁ . Кроме того, C K ( R ) = (( с ₁} х ( d ₁}) . В частности, отсюда вытекает, что ^ у ” , у^ <  (( с ₁ (х (d ₁) ). Пусть у ₁ - другой элемент из S \ R со свойством у 2 е R и ^у^ * ( у ^. Покажем, что у ₁ у ” = у ” у ₁ . Действительно, ^R , у ₁ , у” ^ - конечная группа.

По условию насыщенности ^R,у1,у”^ < K2 е е M(1), K2 - GL2(pn2), где p 1 Ф 2. По предложению 5 Ck2(R) = ((с2 )х (d2)), где |с2I = |d2I = (pn2 — 1)2. Так как RR, у1, у”^ < Ck2 (R), то у1 у” = у”у1, что и требовалось.

Пусть Y - множество элементов из S \ R со свойством, что для нового у е Y , у ² е R . Ясно, что Y -конечное множество. Из сказанного выше получаем, что ^ Y , Y ” ^ - конечная абелева группа из C_G ( R ), а ^ R , Y , Y ” , w ^ - конечная группа из N G ( R ). По условию насыщенности ^ R , Y , Y ” , w ^ <  K ₃ е M (1), K ₃ - GL ₂ ( p 3 ³ ) и p ₃ * 2 . По предложению 5 N k ₃ ( R ) = « с 3) х ( d 3 »х ( ” ), (( с 3) х ( d 3» = C k 3 ( R ) и ^ R , Y , Y ”^ <  C K 3 ( R ). Положим, R ₁ = S A ({ с ₃ х dd ₃ }).

По построению R <  R ₁ = (( v ₁) х ( и ₁ )), где (v) <  A ,^ и ) <  B и v ” = u ₁ . Действуя по описанному выше алгоритму, мы строим цепочку подгрупп S

R <  R ₁ <  R ₂ < ... <  R i < ...

со следующими свойствами

• ^{1)    R} i = ⁽( ^u i )^х ( vi ));

• 2)    v ” = U.

Так как S полная 2-группа ранга 2, то очевидно R i = S и w е N (, S ).

Осталось показать, что S X ( w ) = S . Рассмотрим N G ( S ) / S = N . Очевидно в N силовская 2-подгруппа конечна, а значит все силовские 2-подгруппы из N конечны и сопряжены. Поэтому с точностью до сопряженности можно считать, что S X ( ” ) <  S^x , а значит S X ( w ^ <  S^x для некоторого x е N G ( S ). Это означает, что S = S (у ) и у ² е S . Из предложения 5 получаем, что у е S X ”^ . Следовательно, S X ( w ^ = S . Лемма доказана.

Лемма 3 . Если S содержит подгруппу ⁽⁽{ a n }^х bb_n )^{) X} ( ” n )) ^с S , где a n | = b n I >  2, a ” = b n и w 2 = e , то S типа 5.

Доказательство . Положим, D_n = (^ a n ^х ( b n }) х хX ( w_n ^. Если S содержит бесконечную цепочку

D 1 <  D 2 <  ... <  D n < ...,                 (1)

то очевидно S насыщена конечными сплетенными 2-группами по предложению 2 S типа 5.

Предположим, что бесконечных цепочек типа (1) в S нет. Пусть D_n -максимальная конечно-сплетенная 2-группа из S . Пусть (( a n} х ( b n )) = R_n .

Покажем, что Rn нормальная подгруппа S . Возьмем 5 е S \ Dn и 5 е NS \ D . По условию насыщенности конечная группа (Dn, S) с K с G и K - GL2(pn), где p * 2. Более того, DDn, S) c SK e Syl2K. По предложению 1 SK сплетенная 2-группа и Rn дSk и S e N(R). Пусть Dn = Sk о S. Возьмем S2 e NS (D,). Повторяя проведенные выше рассуждения, показывают, что S2 e NS (Rn). Действуя подобным образом, получаем, что NS(Rn) бесконечная группа. Таким образом S c N(Rn), а поскольку S = SDn, то S = NS (Rn).

Пусть 5 такой элемент из S, что s2 e Rn. Тогда Dn ,s,x конечная группа и по условию насыщенности DD„, s, x) c K - GL2 (pn), где p * 2 . По предложению 3 s e Ck (Rn), т. е. xs = sx. Используя индукцию по |S|, получим что S c CG (x) и SS, x^ абелева группа. Пусть теперь |x| > 2 и (S2, x2^ абелева группа. Рассмотрим конечную группу  Rn,x,S, где s e ^Rn, x2^, тогда (Rn, x, S) - конечная группа. И по условию насыщенности получим, что R, x, S^ c c K - GL2 (pn), где p * 2 . По предложению 3 (Rn, x, S^ c Ck (Rn) и значит R, x, S^ - абелева группа. Далее, используя индукцию по S , получим, что ^S, Rn, x^ - абелева группа. Теперь перейдем к индукции по |x| и получим, что SS, Rn, x) абелева 2-группа и значит, по предложению 4, CG2 (Rn) = S1 - абелева 2-подгруппа и SK c S1 K . Лемма доказана.

Лемма 4 . Пусть S не содержит подгруппу ^D n = ⁽( a n) ^х( b n)^ wO ^с условием |a n | = | b n | >  2. Тогда S типа 6.

Доказательство . Очевидно в этом случае полная часть S группы S квазициклическая 2-группа. Положим S = A . Тогда S / A - конечная 2-группа, и пусть K – ее минимальный по порядку прообраз в S . Тогда S = AK и K - конечная подгруппа из группы диэдра порядка 8. Лемма доказана.

Заключение. Пусть периодическая группа G насыщена группами из множества M . Тогда силовская 2-подгруппа S группы G одна из следующих:

, / 2 ⁿ 2 i v 2 " “1-1

• 1.    S = ( a = v = 1, a = a ) - полудиэдраль-ная группа и | S | = 2 ^{n +1} .

  2 ⁿ

  2. S = ( a , wa

  
  

• 3.    S – конечная элементарная абелева 2-группа.

• 4.    S – бесконечная элементарная абелева 2-группа.

• 5.    S = Sk , где S - полная 2-группа 2 ранга не более 2, K – конечная 2-группа, изоморфная некоторой подгруппе группы диэдра порядка 8.

• 6.    В G существует силовская 2-подгруппа S = ( A х B ) Х ( w ), где A - бесконечная локальноциклическая 2-группа, w ² = e ; A w = B .

= b2 = w2 = e, aw = b, ab = ba сплетенная 2-группа и |S| = 2n+2.