О системах дифференциальных уравнений с двумя характеристиками

Рассмотрим систему дифференциальных квазилинейных уравнений первого порядка ay (u )дxUJ + by (u )д yuj = 0, i, J = 1,..., m,     (1)

где u = ( u 1 ,..., u m ).

Пусть система (1) имеет только две характеристики dy = A(u), dy=в(u), dx          dx а также m инвариантов Римана Е1,..., Еm.

В этом случае система (1) может быть записана в виде

;+a (Е1,..., еm) 7=o, дx              дy

+в (Е1,..., еm) d|2=o, дx              дy

дЕ         mm.

+ C(Е ,..., Е )         0, I 3, ..., m, дx              дy где С равно либо А, либо В.

Для простоты рассмотрим случай m = 4, который часто встречается, например, в теории пластичности.

Имеем f1+a (Е1,..., е4) д^=o, дx              дy

f2+в(е1,...,е4) д|2 = о, дx               дy f3+a (^,..., ^4) д|1=о, дx              дy f+в (SV.. sV dS*-=0. дx               дy д^3

Умножим первое уравнение системы на ,

дy д^‘ а третье на--и сложим их. В результате получим

дy

дЕ? д^1 д^ д^3 = о. дy дx   дy дx

Это означает, что якобиан преобразования

j=

д( x,y)

Следовательно, S3 есть некоторая функция от Е^- -

Аналогично из второго и третьего уравнений по лучаем, что Е4 есть некоторая функция от Е2.

Поэтому

A (Е¹,..., Е⁴) = A (Е¹, Е²),    в (Е¹,-, Е⁴) = B (Е¹, Е²).

Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева

Отсюда получаем, что система уравнений

где σ

2^∂ξ1=0, ∂y

– гидростатическое давление; θ=(1,x)-

π

4,

где

(1, x) – угол между главным направлением тензора

^∂ξ2+B(ξ¹,ξ²)^∂ξ2=0, ∂x            ∂y

напряжений и осью ox; u, v – компоненты вектора скорости.

Система уравнений (3) имеет две характеристики и четыре соотношения на них:

^∂ξ3+A(ξ¹,ξ²)^∂ξ3=0, ∂x           ∂y

^∂ξ4+B(ξ¹,ξ²)^∂ξ4=0.

∂x            ∂y

В результате получаем следующее утверждение: система m уравнений с двумя характеристиками сводится к двум квазилинейным уравнениям и к m – 2 линейным уравнениям.

Первые два уравнения можно решить, используя законы сохранения, как это описано, например, в [1]. Остальные уравнения решаются традиционными методами.

В качестве примера рассмотрим уравнения идеальной пластичности

∂σ-2ks(∂θcos2θ+∂θsin2θ)=0, ∂x∂x∂

∂σ ∂θ ∂θ

-2ks( sin2θ-cos2θ)=0, ∂y∂x∂

∂u∂v

_-

∂x∂y∂

=tg2θ,

∂u+ ∂v∂

∂y∂x dy =tgθ,   dy =-ctgθ, dσ∓2kdθ=0, dx dx dudu

= -tg θ,          =ctg θ.

dvdv

В результате преобразований система приводится к известному виду. Здесь мы использовали тот факт, что инварианты Римана ξ³, ξ⁴ зависят от ξ,η, а, следовательно, от них зависят и компоненты вектора скорости. Так получены два последних уравнения

∂ξ ∂ξ         ∂η ∂η

+tgθ=0,     -ctgθ=0,

∂x∂y         ∂x∂y

∂u∂v          ∂u∂v

+ tgθ=0,     - ctgθ=0,

∂ξ ∂ξ         ∂η ∂η где

ξ =σ+2ksθ,η=σ-2ksθ.

Рассмотренный пример показывает, что можно выписать линейную систему уравнений, даже если не удается проинтегрировать два последних соотношений на характеристиках.

Библиографическая ссылка

1. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Наука, 2001.

ABOUT SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH TWO CHARACTERISTICS

The author shows that the system m (m> 2) of quasi-linear differential equations, derived from two variables and having two characteristics, is reduced to a system of two quasilinear equations and m-2 linear equation system.