О слабо периодических мерах Гиббса для модели Поттса c треия состояниями на дереве Кэли

Понятие меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли вводится стандартным оброзом [1-6] . В работе [7] изучена трансляционно-инвариантная мера Гиббса для ферромагнитная модель Поттса с тремя состаяниями на дерева Кэли. В работе [3] изучена периодическая мера Гиббса на дерева Кэли. В работах [4]-[7] изучена слабо-периодическая мера Гиббса для модели Поттса. Такие мера Гиббса появилась на дерева Кэли порядка щесть. Естественно возникает вопрос существуетли слабо-периодическах мерах Гиббса при менших порядках дерева Кэли. Настоящая работа посвяшена изучению слабо-периодических мер Гиббса на дереве Кэли порядка два.

Известно, что дерево Кэли Т можно представить как G_k - свободное произведение к + 1 циклических групп второго порядка (см., например, работы [1]-[2] ). Обозначим через S ( x ) множество всех ближайших соседей точки x е G_k, т.е.

S i ( x ) = { У е G k : xx , y) } .

Пусть x^ = S ( x ) \ S ( x ) .

Гамильтониан модели Поттса определяется как

H( a ) = - J 2 ^S . (x „( y ) .                             (1)

(x, y) eL где J e R, Яу - символ Кронекера.

Определим конечномерное распределение вероятностной меры р_п в объеме V как

A , ⁽ a , ) = Z ; ¹ exp ] - P H , ⁽ a ) +

2 h a ( x ), x [ x e W ;

где в = 1T , Т > 0 - температура, Z _n ¹ - нормирующий множитель, { h_x = ( h i, x ,-, h q , x ) e R q , x e V } - совокупность векторов и

H, (a ,, ) = - J 2 S , ₍ x , ( y ) .

{ ^x , У ^e L n

Следующее утверждение описывает условие на h , обеспечивающее согласованность a (, )•

Теорема 1 . [1]. Вероятностное распределение a ( a ), n = 1,2,..., в (2) является согласованным тогда и только тогда, когда для любого x e V имеет место следующее соотношение:

hx = 2 F ( hy ,#),                            (3)

y e S ( x )

где F : h = ( h ,..., h_q_ J e R^{4 - 1} ^ F ( h ,0) = ( F ,..., F_q_ J e R^{4 - 1} определяется как

( ( 0 - 1) e h +₂ ’ - 1 e h + 1 1

j = ¹

i             e + 2 ’ ¹          ’

• V           j^J = ¹          J

и 0 = e J , S ( x ) - множество прямых потомков точки х.

Пусть G_k/G k = { H ,..., H_r } -фактор-группа, где G ’-нормальный делитель индекса r >  1 .

Определение 1. Совокупность векторов h = {hx, x e Gk} называется Gk' -периодической, если h^ = hx для любых x eGk, y e Gk.  Gt -периодические совокупности называются трансляционно-инвариантными.

Определение 2. Совокупность векторов h = { h_x , x e G_k } называется G_k ’ - слабо периодической, если h_x = hy при x e H , x^ e H , V x e G_k .

Определение 3. Мера a называется G’ -периодической (слабо периодической), если она соответствует  Gk’ -периодической  (слабо периодической) совокупности векторов h .

СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА

Пусть A с { 1,2,..., k + 1 } и H_A = { x e G_k : 2-_{e A}^ ( x ) - четное число }, где a j ( x ) -число буквы a у в слове x e G_k , G £²⁾ = { x e G_k : | x | - четное число }, где x - длина

- четно } . Отметим,

слова x е Gk, и G (4) = НА П GP =Х e Gk :S jeAWj (x) - четно, |x| что G £4) -являются нормальный делитель индекса 4(см. [1]). Получим z 1 = f (fk (z7)) ■ fk-i(z2), Z 2 = f (fk (z 8)) ■ fk - i (z 1), z 7 = f (fk (z 1)) ■ fk-i( z 8), . z 8 = f (f' (z 2)) ■ fk-i{ z 7).

Заметим, что (4) есть уравнение z = W ( z ). Чтобы решить систему уравнений (4), необходимо найти неподвижные точки отображения z * = W ( z ).

Легко доказать следующая

Лемма 1. Отображение W имеет инвариантные множества следующих видов:

I 1 = I ^z 1^{, z} 2 ^{, z} 7 ^{, z} 8 ) ^e R ^{4 : z} 1 = z 2 = ^z 7 = ^z 8 l ^,

I 7 7  7_        R ⁴ ‘ 7 = 7_ 7 = I

( ^z , ^z 7, ^z 7, ^zQ ) ^{e      : z    z} 7, ^Zr) ^zR r

Изучая система уравнение (10) на инвариантных множествах описанных в Лемме 1 доказано следующая:

Теорема 1. 1) Для модели Поттса с q - состояниями все G ⁴⁴⁾ -слабо периодические меры Гиббса, соответствующие совокупности векторов из I _t, являются трансляционно-инвариантными.

• 2)    Пусть | Л | = 1, q >  3, тогда не существует G ^⁴⁾ -слабо периодической (не периодической) меры Гиббса, соответствующей совокупности векторов

  из    1 ₂ , т.е.

  
  

все  G^4) -слабо периодической меры Гиббса являются трансляционно-инвариантными.

Доказательство теоремы 1. Очевидно что, z - ^ ( ^ ( z )) ₌₀

Известно, что следовательно, z = 1

z - ^ ( z ) z = 1 является

решением уравнение z = ^ ( z ) ,

является решением z = ^ ( ^ ( z )) . Для решение z = 1

соответствует трансляционно-инвариантная мера Гиббса. Рассмотрим z - ^(^( z)) = 0

z -1

Легко видит, что (6) не имеет положительного решения. Отметим, что в работе [3] доказано, что для модели Поттса на дереве Кэли порядка два не существует периодические меры Гиббса. Отсюда получим, что G ' ⁴ - слабопериодические меры Гиббса являются трансляционно-инвариантными. Теорема доказана.