О слабой сходимости эмпирического процесса хвостов распределения для копульного временного ряда

Исследование статистических свойств экстремальных значений зависимых временных данных часто затруднено технически непростой проверкой условий слабой зависимости (перемешивания) далеко отстоящих по времени наблюдений. При исследовании экстремальных значений часто используется условие сильного перемешивания Розенблатта, но если данные можно моделировать гауссовским временным рядом, то проверка слабой зависимости может быть сведена, к оцениванию скорости убывания корреляции.

Пусть ^1, ^2, • •• ~ стационарная гауссовская последовательность с нулевым средним, единичной дисперсией и ковариацией R(j^ = сог(ф ,$i+j ), такой, что

∞

^ |kR(k)| < то,                                     (1)

к=1

и пусть / - такая функция, что

• X. = J (^к ), к = 1,...,п,

  © Мазур А. Е., 2020

• - стационарный временной ряд с маргинальной функцией распределения Ғ, принадлежащей области максимального притяжения Фреше с параметром 1/у, условия на / см. в [3]. Такой временной ряд мы называем гауссовским копульным временным рядом.

Обозначим Ғ (ж) = 1—Ғ(ж) - хвост функции распределения Ғ. Пусть {и_п}п=1 - последовательность, стремящаяся к бесконечности при п ^ то, и {оу >  0}^= ~ последовательность положительных чисел такая, что 1іт_п^^ о _п ^ с > 0.

Определение 1. Эмпирическим нормированным хвостом функции распределения Ғ называется статистика

Тп(ж) =

1 п Ғ (и_п)

п

52 ^I{^i>«n+^a_n}, г=1

где I - индикатор события [6]. Введем также нормированный хвост функции распределе-

ішя Ғ:

Ғ (ип + жсп) Тп (ж) =     -         при ж > 0, п = 1,2,...                     (о) Ғ (ип)

Условие 1. Пусть последовательность и_п такая, что нормированный хвост функции распределения Ғ сходится к обобщенному распределению Парето:

Т_п(ж) ^ Т (ж) = (1 + 7^ж}     ^ПР^И ж > 0, п ^ то,

где у > 0, а ж+ = тах(ж, 0) [1], [6].

Определение 2. Эмпирическим процессом, построенным по хвосту функции распределения Ғ, называется статистика [6]:

е(Тп)(ж) = у пҒ (ип)(ТП (ж) — тп(ж)).                           (5)

Разделим числовую прямую на большие блоки длины Гп и маленькие блоки длины 1_п так, что

Гп = О(п) И 1п = 0(Гп)

при п ^ то. Пусть при этом выполнены соотношения пҒ(ип) - 'X И ГпҒ(ип) = 0(1)                            (6)

при п ^ то.

В [6] доказана слабая сходимость в пространстве Скорохода статистики е(Т_п)(ж) при п ^ то к п. н. непрерывному гауссовскому процессу с нулевым средним и ковариационной функцией г(ж,у). Кратко опишем условия сходимости, сформулированные там. Они накладывают ограничения на размер кластеров, состоящих из превышений заданных уровней, ограничивая их рй момент, ограничения на зависимость между блоками превышений заданных уровней. Наконец, имеется условие, обеспечивающее экспоненциальную скорость убывания по и_п коэффициента сильного перемешивания. То есть утверждение теоремы 2.2 из [6] о слабой сходимости процесса е(Т_п)(ж) предполагает выполнимость условий сильного перемешивания. В предлагаемой нами модели вместо проверки условия сильного перемешивания достаточно проверить явные условия на скорость убывания корреляционной функции исходной гауссовской последовательности.

Теорема 1. Пусть Х1 , ...,Х_п - стационарный временной ряд, Ғ - функция распределения случайной величины Х1, принадлежащая области притяжения функции распределения Фреше с хвостовым индексом 1/у. Пусти / - такая функция, для которой Хк = / (^к ), к = 1,...,п, где ^₁,...,^_п - стационарная стандартная гауссовская последовательности с ковариационной функцией cov^y^j ) = R(i - Л Пусти выполнено условие 1.

Далее, пусть 5 г = sup |Д(ттг)| < 1 и 1_п = г“, 0 < а < уд^- Кроме того, пусть выполнено т>1

следующее:

i—   го

6 22

D2 :   п/ ^-1(и_п + ха_п )(р(/ ^-1(и_п + ха_п )))' ² I^W)I ^ 0           (7)

k=lH при п ^ то, г де р - плотность стандартного нормального распределения. И пусть выполнено условие второго порядка lim t^ro

и(tx)-U (t) - _Ж7-1 «(t)            7

A(t)

^:= Н ^(х),

х >  0,

с а(х) = х7 и Н (х) = х7 жРр 1, г де р < 0, функция U (t) = ( ^—р )  (t), и где A(t) - функция, не меняющая знак и стремящаяся к нулю при t ^ то.

Тогда

е(т„)(-) ^ 6(0

в пространстве Скорохода D([0, то)).

Одной из основных идей доказательства, которая приводится в [4], [5], является возможность оценки сверху коэффициента сильного перемешивания для последовательности

N -1

^Zk = 52 ^UnI&е[«„,«„+1]}

П=1

где I - индикатор события и U1 <  ... <  U n при выполнении условия на корреляционную функцию (1) гауссовской стационарной последовательности <Д.

Автор благодарит В. И. Питербарга за постановку задачи и руководство работой, а также И. В. Родионова за полезные обсуждения.