О средней силе, действующей на включения в системах с распределенными и сосредоточенными параметрами

Публиковавшиеся ранее авторами работы [1–5] и др. были посвящены силовому воздействию звука на частицы, взвешенные в жидкости. Такое силовое воздействие в акустике носит название давления звукового излучения или традиционнее — радиационного давления, под которым понимается среднее по времени избыточное давление на препятствие в звуковом поле, определяемое импульсом, передаваемым волной в единицу времени на единицу площади препятствию [6, с. 553]. Акустики обнаружили и описали (Лорд Рэлей и др.) радиационное давление, вслед за тем как было обнаружено (Кеплер) и описано (Максвелл) давление света, или в общем давление электромагнитного излучения.

Согласно [6, с. 533], "давление света (давление электромагнитного излучения) — (среднее) давление, оказываемое светом на отражающие и поглощающие тела … одно из пондеромоторных действий света, связанное с передачей импульса электромагнитного поля веществу".

Следует отметить, что в результате разработанные в обеих этих областях теории среднего давления оказались идентичными по конечному виду выражений для радиационного давления и давления света. Так, когда первичное поле, представляющее собой бегущую плоскую волну, нормально падает на границу раздела двух однородных сред, выражение для среднего давления P на гра- ницу раздела записывается как [6, с. 533, 7]

P = E 1 + E '1 - E 2 . (1)

Здесь E 1 , E '₁ и E 2 соответственно средние плотности энергии в падающей, отраженной и прошедшей волнах. Таким образом, среднее давление на границу в акустическом и электромагнитном случаях равно разности средних плотностей энергии в контактирующих средах.

Когда рассчитывается соответствующее среднее давление на ограниченных включениях, то в акустике для этого через тензор плотности потока импульса, а в электродинамике через тензор энергии-импульса электромагнитного поля рассчитывается средний поток импульса за единицу времени через охватывающую включение поверхность.

В вибрационных процессах также наблюдаются силы весьма похожие на силы радиационного давления в акустике. Так, например, колеблющаяся струна воздействует с некоторой отличной от нуля продольной средней силой на находящиеся на ней неоднородные включения (см. [8–12] и др.). Таким образом, давление вибраций (на струне) — средняя продольная сила, действующая на неоднородное включение на струне в поле различных первичных волн.

При рассмотрении выражения (1) применительно к колебаниям струны соответствующее выражение для продольных средних сил несколько отличается [12]:

P _ 2 ( E 1 + E '1 - E ₂ ) . (2)

Здесь смысл обозначений сохранился. Как видно, в случае струны появляется корректирующий множитель 1/2.

В связи с этим отметим тот факт, что, несмотря на схожесть уравнения колебания струны и уравнения колебания жидкости при распространении плоской бегущей волны вдоль какой-либо оси координат (и уравнение Гельмгольца, и волновое уравнение для жидкости становятся одномерными и неразличимыми от уравнений струны), тем не менее между ними сохраняется существенная разница. Связано это с тем, что в случае жидкости скорость изменения импульса единицы объема (что влияет в конечном итоге и на средние силы) равна

d ( P v ) dt

d v

dp p— + v— dt     9t а в случае струны в силу независимости плотности струны от времени

d(pv) _ dv d1 P d t ’ что эквивалентно несжимаемости жидкости. Здесь ρ — плотность жидкости либо плотность струны; v — вектор колебательной скорости жидкости; v — поперечная скорость струны.

Формально колебания струны рассматриваются как колебания системы с распределенными параметрами, однако различные определения скорости изменения импульса и различия, например, выражений (1) и (2) позволяют говорить о том, что в некотором смысле струна как система с распределенными параметрами находится ближе к системам с сосредоточенными параметрами, чем акустическая среда.

Отметим, что рассматривавшиеся выше эффекты средних сил, создаваемых различными полями, являются величинами второго порядка по отношению к параметрам полей в силу того, что средние силы в первом порядке равны нулю.

Между тем существует множество работ, посвященных системам с сосредоточенными параметрами, находящимся в быстропеременных полях, где фактически решения ищутся методом усреднения [13], т. е. находятся средние силы, действующие на частицы с конечной массой. Впервые метод был предложен П. Л. Капицей и описан, например, в [13, 14]. В [14] этим методом решены задачи о колебании маятника при продольном и поперечном высокочастотном перемещении точки подвеса. Множество работ посвящено применению метода усреднения при движении заряжен- ных частиц в быстропеременных электрических полях (примеры см. в [13], там же приведена библиография по этой тематике). Укажем из последних работ на эту тему цикл публикаций в данном журнале [15–19].

СВЯЗЬ ТЕОРИИ ЭФФЕКТИВНОГО ПОТЕНЦИАЛА С РАДИАЦИОННЫМ ДАВЛЕНИЕМ В СЛУЧАЕ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Как уже говорилось выше, в линейных системах с гармоническим возбуждением средние по времени силы равны нулю. Поэтому уравнение системы с сосредоточенными параметрами, в которой образуются средние силы, должно быть нелинейным.

Для получения более прозрачной аналогии радиационного давления для акустического случая и теории эффективного потенциала несколько видоизменим вывод последнего, изложенный в [13, 14]. Пусть ставится задача для системы с сосредоточенными параметрами следующего вида m4 _ F(4)cos rot.               (3)

Здесь ξ — смещение частицы; F ( ξ ) — амплитуда гармонической силы, воздействующей на частицу с частотой ω . Как видно, задача (3) является в общем случае зависимости F ( ξ ) нелинейной (амплитуда силы зависит от смещения). Будем решать задачу (3) методом последовательных приближений. Положим

^ _ ^ 1 + ^ 2 ,                    (4)

не заботясь пока о сходимости решения. Имеем далее, полагая функцию F ( ξ ) медленно меняющейся функцией,

F ( 4 ) - F (0) + 4 d F ^ ⁴ ) d ξ

.

4 = 0

Подставляя (4), (5) в (3), имеем для ξ ₁ и ξ ₂ следующие уравнения: ..

m4 j _ F (0)cos rot ,                 (6)

..       d F ( ξ )	cos ωt .	(7)
2   1   d ξ	4 _ o

Для ξ ₁ из (6) имеем

4 ] _ F (0)cos rot .            (8)

mω ²

Подставляя (8) в (7), получаем уравнение для ξ ₂

..

m4 2 =

—

-1y | F(4 )d ^F4 mto ^       d 4

cos tot =

4 = 0

• 1    ( d F ² ( 4 ) )

2 mto ²1    d 4   J

ξ

2 cos ² ωt .

Усредняя (9) по периоду T = —, получаем окончательно mJ = —    f d)

• ²      4 mto ² ( d 4 J₅

  
  

Слева в (10) стоит значение средней силы, действующей на частицу массой m в быстропеременном поле.^*)

Отметим, что приведенный выше вывод действующей на частицу средней силы идеологически идентичен схеме вычисления радиационного давления в акустическом случае (см., например, [20]), а именно:

• –    нелинейная задача решается с точностью до приближений второго порядка;

• –    задача для приближения первого порядка является линейной, и поэтому усредненная скорость изменения импульса равна нулю;

• –    решение задачи для приближения второго порядка строится на основе полученного решения для приближения первого порядка;

• –    усредненная скорость изменения импульса для приближения второго порядка отлична от ну-

  .

  
  

ля, и с ее помощью рассчитывается собственно радиационное давление на включении.

Таким образом, при указанных выше условиях средняя сила, действующая на частицу в быстропеременных полях с амплитудой, зависящей от координат, определяется совершенно идентично определению радиационного давления в акустическом случае.

Отметим, что частицы концентрируются в локальных минимумах эффективного потенциала, как в механическом случае [13], так и потенциала силы радиационного давления в акустическом случае [21].

Еще один пример родственности понятий радиационного давления в акустическом случае и средней силы в случае движения частиц в быстропеременных полях заключается в возможности транспортировки частиц. Например, в работах [15–19] показано, что при помощи специально организованной зависимости электрического поля от времени и пространства происходит транспортировка частиц, концентрирующихся в минимумах эффективного потенциала. Покажем на простом примере, как можно организовать транспортировку частиц с помощью радиационного давления в акустическом случае.

Известно, что в акустическом случае, когда частицы помещены в поле первичной стоячей гармонической волны, они концентрируются либо в пучностях, либо в узлах этой стоячей волны в зависимости от соотношений акустических свойств окружающей жидкости и частиц. Если заставить перемещаться в пространстве стоячую волну, то вместе с ней будут перемещаться и частицы. Покажем, как это сделать, на простом примере.

Пусть в однородной жидкости слева направо распространяется плоская бегущая волна e^{l (} k ⁰ x ^{— to 0} t ) частотой ω ₀ , а справа налево распространяется плоская волна с небольшим приращением частоты to = to ₀ + 5_to , 5_to « to ₀. Выражение для этой бегущей волны имеет вид

• ^— i ⁽ kx + ^tot ) _ ^— i ⁽⁽ k 0 + 5 _t ) x + ^{( to} 0 + S to ) t ) e e .

Здесь k0 = ^0- — волновое число в невозмущен-c ном случае; c — скорость звука в жидкости. Разумеется, сдвиг частоты должен быть настолько мал, чтобы возмущение амплитуд рассеяния частиц было небольшим, что в свою очередь не приведет к заметным возмущениям величины радиационного давления.

Суммируя плоские волны, имеем e (kо x - ®o t) + e - i ((kо + Sk ) x+(®o + 3m) t) _

• = 2cos ^f k_ox + ^ k ^ + ^ ^ t- ) e - ^{, ю} о t .

• ( ⁰      2     2 )

Учитывая очевидное соотношение 5k = —, полу-c чаем окончательно выражение для действительной записи результирующей волны

2cos (k0x + 5mt) cos

ВЫВОДЫ

В работе подчеркнута схожесть понятия средней силы, принятого в электродинамике (давление света) и в акустике (радиационное давление), а также силы вибрации (струна) и средней силы воздействия на системы с сосредоточенными параметрами, движущиеся в быстропеременных полях. На примере движения частиц в быстропеременных полях показана идентичность определения средних сил в такой системе и радиационного давления в акустике. Кроме того, на примере показана возможность транспортировки частиц в точках минимума потенциала в акустическом поле по аналогии с описанной ранее подобной возможностью в системах с сосредоточенными параметрами.