О стабилизации пластины, закрепленной шарнирами с двух сторон, при сверхзвуковом обтекании

При проектировании конструкций с упругими элементами в случае, когда они могут подвергаться воздействию сверхзвукового потока газа, важное значение имеет поведение упругих элементов. Воздействие потока на составные части конструкций может приводить к возникновению неустойчивых колебаний и деформации упругих элементов, нарушению требуемых функциональных свойств и к их полному разрушению. В связи с этим возникает задача стабилизации конструкций с целью обеспечения надежности их эксплуатации и удовлетворения требуемых функциональных свойств даже во время экстремальных ситуаций.

Рассмотрим задачу управления динамикой упругого элемента конструкции в виде пластины-полосы при одностороннем обтекании ее сверхзвуковым потоком идеального газа в случае ее шарнирного закрепления на обоих концах. В работе [1] были получены достаточные условия устойчивости упругого элемента конструкции при обтекании его сверхзвуковым потоком газа. В работе [2] в виде неравенств сформулированы достаточные 1

условия асимптотической устойчивости и показано, что в случае двустороннего обтекания можно добиться выполнения этих условий с помощью подходящего выбора сжимающего продольного усилия, приложенного к пластине.

Исследуем, при какой длине пластины, в случае одностороннего обтекания ее сверхзвуковым потоком идеального газа, будет наблюдаться ее асимптотическая устойчивость. А для случая неустойчивости построим стабилизирующее управление.

Механическая система, описывающая динамику упругой стенки (защитного экрана) резервуара, заполненного жидкостью, при взаимодействии стенки со сверхзвуковым потоком газа представляет собой краевую задачу для дифференциального уравнения с частными производными [2]

mw + Dw"" + Nw" + aw"" — ^W + / ( w^ + Vw' ) +f ( x , t , w, w ) = 0, x e ( 0; l ) , t >  0. (1) Здесь w ( x , t ) - прогиб пластины; x - продольная координата, t - время, l - длина пластины; V - скорость потока; m - погонная масса пластины; D - изгибная жесткость пластины; N -сжимающее ( N > 0) или растягивающее ( N < 0) продольное усилие; а - коэффициент внутреннего демпфирования; /3 - коэффициент, учитывающий инерцию вращения сечений; / ( w + Vw' ) - аэродинамическая нагрузка, у = apao = const ( a = 1 при одностороннем обтекании, p - плотность газа, а₀ - скорость звука); f ( x , t , w , r w ) - некоторое управляющее воздействие; штрих обозначает производную по координате x , точка - производную по времени t .

В качестве управляющего воздействия выберем f (x,t, w, iw) = u(t)+ u2(t) cos^x-,

где u ₁ ( t ) , u 2 ( t ) - некоторые кусочно-непрерывные функции (управления).

Шарнирное закрепление на обоих концах пластины описывается краевыми условиями:

w ( 0, t ) = w ( l , t ) = w'' ( 0, t ) = w' ( l , t ) = 0 .

Будем искать решение задачи (1), (2), (3) методом Галеркина в виде [3]

/ л        ■ I nx V       . (2nx

w(x, t) = у (t) sml — I + v2 (t) sinl —

В результате, после замены y = у (t), y2 = v2 (t), y 3 = v1(t), y4 = v2 (t) получим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и приведем ее к нормальному виду:

Л = У 3

У 2 = У 4

^У 3 =    2 О /2

(пр +1 m)

1        Г y 4=(4п2^ C

Г п ² ( Nl ² - п² D ) ~^~T2-----У 1 ⁺

V        l

8lyV

y ₂

-

8lyV — y i ⁺

4 п ² ( Nl ² - l ²

4п ² D )

y ₂

п2 a +1У4

-----У з l           пJ

16п2 a +1У

У 4 ^- —u 2

3п

-

l ²

(t )^

J

Найдем область асимптотической устойчивости системы (4) в зависимости от длины пластины l при нулевых управляющих воздействиях Uj (t) = 0, u2 (t) = 0 путем пошагового просчета. Для этого, выбирая длину пластины от 1 до 30 метров с шагом 0.125 метра, находим собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов системы (4), ищем решение уравнения (1) при краевых условиях (3) методом Галеркина – функцию прогиба w (x, t) и строим ее график. При этом в одних случаях мы получаем, что вещественные части собственных чисел матрицы системы отрицательны, а значит решение системы асимптотически устойчиво. На графике функции прогиба мы можем наблюдать затухающие колебания пластины (рис. 1). В других случаях среди собственных чисел матрицы системы имеются собственные числа с положительными вещественными частями и, следовательно, решение неустойчиво. Тогда амплитуда колебаний на графике функции прогиба с течением времени неограниченно возрастает (рис. 2). В результате вычислений получена область асимптотической устойчивости l е [1; 5.125 ].

при l = 5.125 .

при l = 5.25 .

Рис. 1. Функция

Рис. 2. Функция

В случае, когда система (4) неустойчива, найдем управляющие воздействия, обеспечивающие ее стабилизацию [4]. По теореме об устойчивости решений линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами [5], решения системы

2 1 = z 2 (t )

. z2 = Pzl(t)- z2 (t)

устойчивы при p = 0, асимптотически устойчивы при p < 0, неустойчивы при p > 0 .

Приведем систему уравнений (4) к виду (5) дважды путем такого выбора управлений

Uj (t), u2 (t), что при подстановке их в систему (4) эта система распадается на две системы, каждая из которых принимает вид (5). Для этого выберем управления в виде:

U\ (t ) = —

1        _{2 l}

7 п ² N

^“

2 l

ПО

2 l ³

^“

4   ., I

Р У1 + ~уУ2

7    3     7

_м 3 п 4

U 2(t ) = ^- З^^У1 +

( 2 п ² N

^“

8n 4 D l3

I  I

- Р У 2

7  7

Выбирая величину параметра p по модулю больше или меньше, можем получить более быструю или более медленную стабилизацию решения краевой задачи (1), (2), (3). На рисунках 3 и 4 показаны графики функции прогиба для значений p = -10 и p = -10000

соответственно.

Рис. 3. Стабилизация при p = —10 .          Рис. 4. Стабилизация при p = -10000 .

При решении краевой задачи методом Галеркина с помощью математического пакета были выбраны следующие параметры системы:

m = 117.75 кг; у = 420.175 кг- ; а = 0.2; в = 0.1; D = 64086.9141 Па; N = 1000 Н; V =400 м\с.

м ²