О стабильных элементах в свободных нильпотентных группах ранга два

Стабильными элементами группы называются элементы, неподвижные при всех ее автоморфизмах. Стабильные элементы свободных нильпотентных групп тесно связаны с инвариантами Ли свободных колец Ли. Вопросами существования инвариантов Ли занимались Ф. Вефер (1949 г.) и М. Барроу (1958 г.), были найдены условия существования инвариантов Ли [см. 4, 5, 9]. В работе [9] представлен явный вид одного из таких элементов. В дальнейшем это послужило основанием для предположения, что неединичные стабильные элементы также могут существовать и в свободных нильпотентных группах при определенных условиях на ранг и ступень нильпотентности группы.

Вопрос о существовании стабильных элементов в группах был поставлен А. Мясниковым в проекте MAGNUS :

Пусть G – свободная нильпотентная группа конечного ранга r. Пусть элемент g е G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = 1 ? Отрицательный ответ на этот вопрос был получен в 1998 году В. В. Блудовым [1], который привел примеры нетривиальных стабильных элементов свободных нильпотентных групп ранга 2, в частности, элемент [ a , b , a ,[ a , b , b ],[ a , b ]] стабилен относительно любого автоморфизма свободной нильпотентной группы ранга два и ступ ени восемь.

В 2001 году независимо друг от друга A. Папистас [8] и E. Форманек [6] классифицировали все пары (r, n) , при которых существуют нетривиальные стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга r и ступени n. Так, для r = 2 наименьшая ступень нильпотентности, при которой существуют нетривиальные стабильные элементы, равна 8. При этом конкретный вид стабильных элементов в этих работах не был указан, его нахождение представляет определенную техническую сложность.

Автором был получен метод нахождения стабильных элементов свободной нильпотентной группы [2]. Этот метод был применен для отыскания всех стабильных элементов с однородным вхождением образующих свободных нильпотентных групп ранга 2 ступени 12. В работе [3] было представлено полное описание таких элементов. Вопрос о существовании стабильных элементов свободной нильпотентной группы ранга 2 и ступени 8, отличных от элемента, указанного В. В. Блудовым, оставался открытым.

В представленной работе рассматривается свободная нильпотентная группа ранга 2 и ступени 8, которую будем обозначать через F ₂ , ₈.

1.    Вспомогательные сведения

При доказательстве основной теоремы нам понадобятся следующие результаты.

Утверждение 1. Стабильные элементы лежат в центре группы.

Утверждение 2. Элементы из центра свободной нильпотентной группы и только они неподвижны относительно всех ее IA-автоморфизмов, т. е. автоморфизмов группы, индуцирующих тождественные отображения в фактор-группе по коммутанту.

Любой автоморфизм ф е Aut(F2) представим в виде ^Х, где ^ е IA(F2), х — представитель смежного класса Aut(F2)/IA(F2). Поэтому, чтобы проверить, является ли элемент g группы F2 8 стабильным относительно всех автоморфизмов группы, необходимо и достаточно проверить, что g стабилен относительно автоморфизмов х• Ввиду справедливости цепочки изоморфизмов групп

Aut ( F ₂)/ IA ( F ₂) = Aut ( F ₂ /[ F ₂, F ₂]) = GL ₂( Z )

можно вместо действия автоморфизмов на фактор-группе F 2 ₈ /[ F_{2 8}, F _{2 8}]

проверять действие GL ₂( Z ) на свободной абелевой группе с порождающими a , b .

Обозначимпорождающие GL ₂( Z ): ф ₁₂: a ^ а + b , b ^ b ;

ф ₂₁ : а ^ а , b ^ а + b ;

а 1 : а о- - а , b ^ b ;

а ₂: b о- - b , а ^ а .

Ввиду утверждения 1, необходимо рассмотреть действие указанных автоморфизмов в центре группы F ₂ , ₈.

g = ^ m s u s , m s Е Z s

Утверждение 3. Пусть нильпотентной группы ранга

- центральный элемент свободной

• 2,    ступени 8. Для того чтобы элемент g был стабильным

2.    Основной результат

относительно автоморфизмов а1, а2, необходимо и достаточно, чтобы число вхождений каждого из образующих в коммутаторы us было четным.

В работе мы используем разложение элемента группы на базисные коммутаторы, выбран базис М. Холла [например, см. 7]. Итак, мы будем брать в качестве коммутаторов us базисные коммутаторы с четным числом вхождения образующих. Чтобы проверить, является ли элемент

группы g =

^msus, ms е Z стабильным, нам необходимо и достаточно проверить, что s g неподвижен относительно автоморфизмов ф12 и ф21.

Теорема. В свободной нильпотентной группе ранга 2, ступени 8 существует единственный нетривиальный стабильный элемент (с точностью до его кратных).

Доказательство: Пусть g = ^ m s u s ,

s

ms е Z, us - базисные коммутаторы с четным числом вхождения образующих.

Запишем все базисные коммутаторы веса 8, в которые образующие входят четное число раз: u1 = [[ a, b, b, b, a, a ],[ a, b ]] ,u 2 = [[ a, b, b, b, b, b ],[ a, b ]], u 3 = [[ a, b, a, a, a, a ],[ a, b ]] ,u 4 = [[ a, b, b, b, a ],[ a, b, a ]], u 5 = [[ a, b, b, a, a ], [ a, b, b ]] ,u 6 = [[ a, b, b, b, b ], [ a, b, b ]], u 7 = [[ a, b, a, a, a ],[ a, b, a ]] ,u 8 = [[ a, b, a, a ],[ a, b, b, b ]], u9 = [[[a,b,a],[a,b]],[a,b,b]], uw = [[[a,b,b],[a,b]],[a,b,a]], un = [[[ a, b, b, a ],[ a, b ]],[ a, b ]], u 12 = [ a, b, b, b, b, a, a, a ], u 13 = [ a, b, b, a, a, a, a, a ], u 14 = [ a, b, b, b, b, b, b, a ].

Элемент g = ^ m s u s под действием автоморфизма ф₁₂ (или ф ₂₁) s = 1

переходит в сумму

r g + ^ wk , где wk - k=1

линейная комбинация коммутаторов, полученных из us заменой k вхож дений образующего a на b (соответственно, b на a), r - наибольшее из чисел, определяющих количество вхождений образующего a (b) в коммутаторы us. Для нашего случая r = 6 . Если линейная комбинация w1 не равна нулю, то элемент g является нестабильным. Если w1 = 0, то g становится кандидатом на стабильный элемент. Далее, следует проверить выполняются ли равенства wk = 0 для k = 2,^, r . В случае положительного ответа, следует, что ф12(g) = g (или

Ф 21 ⁽ g ) = g ).

Для каждого из автоморфизмов ф12 и ф21 найдем линейные комбинации w1 и определим условия, которым должны удовлетворять коэффициенты ms,s = 2,^,14, чтобы выполнялось равенство w1 = 0. Опуская промежуточные выкладки, связанные с разложением автоморфных образов элементов us, s = 2, .„,14 по базисным, запишем систему уравнений для вычисления ms :

2m1 = 0, 4m2 = 0, m1 + m11 = 0, 4m3 = 0, m4 = 0, 3m7 = 0, m4 + 2m5 = 0, m5 + m9 + m10 = 0, 2m6 + m9 = 0, 2m8 = 0.

Общее решение данной системы имеет вид m ₉ = t , m ₁₀ = - 1 .

Таким образом, кандидатом на стабильный элемент становится элемент g = tu ₉ - tu ₁₀ , при любом целом, отличном от нуля t . Далее проверяем, что линейные комбинации коммутаторов, полученных заменой более одного вхождения a на b и линейные комбинации коммутаторов, полученных заменой более одного вхождения b на a равны нулю. Таким образом, g - стабильный элемент. Теорема доказана.

Замечание. Элемент [ a , b , a ,[ a , b , b ],[ a , b ]], представленный В. В. Блудовым, не является базисным, его разложение по базисным имеет вид u ₉ - u ₁₀.

Заключение

Показано применение метода нахождения стабильных элементов для доказательства единственности нетривиального стабильного элемента в свободных нильпотентных группах ранга 2 ступени 8.

Автор благодарен профессору В. В. Блудову за постановку вопросов и внимание к работе.