О существовании локальных способов вычисления скорости переноса вихревых трубок с сохранением их интенсивности

Согласно теоремам Гельмгольца [1] в идеальной баротропной жидкости вихревые трубки перемещаются вместе с несущими их материальными частицами и при этом сохраняют

свою интенсивность. Это фундаментальное свойство позволяет построить ряд лагранжевых методов вычислительной гидродинамики, называемых вихревыми методами, для моделирования течений идеальной несжимаемой жидкости. Суть данных методов состоит в аппроксимации поля завихренности с помощью элементарных вихревых объектов: вихревых линий (трубок), отрезков, точек или сгустков [2]. Справедливость теорем Гельмгольца для идеальной несжимаемой жидкости позволяет на одном временном шаге переносить упомянутые вихревые объекты по полю скорости течения V с сохранением их интенсивности, а на следующем временном шаге — восстановить поле скорости. После этого процесс повторяется.

С точки зрения возможности использования вихревых методов для моделирования вязких течений (для которых теоремы Гельмгольца не выполняются) возникают два важных вопроса:

• 1)    Можно ли для всякого вязкого течения подобрать такое векторное поле U (которое можно рассматривать как поле скорости некоторой воображаемой сплошной среды), двигаясь по которому, вихревые трубки оставались бы вихревыми трубками и сохраняли свою интенсивность?

• 2)    Существуют ли практические способы поиска такого поля'

Согласно теореме Фридмана [3], такая скорость U должна удовлетворять уравнению

ЭП ___ _     ___

— + ( U • V ) Q - ( Q • V ) U + QV • U = 0

или, что то же самое,

dQ + V х ( Q х U ) = 0 ,

где Q = V х V — поле завихренности, V — поле скорости течения.

Вслед за [4] будем называть U скоростью Фридмана¹. Для невязких несжимаемых течений справедливо уравнение Гельмгольца, которое можно получить из (1) путем замены U на. V. В данном случае видно, что само поле скорости невязкой жидкости V является примером скорости Фридмана.

В работе [5] дан положительный ответ на вопрос о существовании скорости U для элементарного вихревого фрагмента, который представляет собой конечный участок пространственной вихревой трубки с ненулевой завихренностью. Более того, в этой же работе доказано, что скоростей Фридмана существует бесконечно много, но для вязкой несжимаемой жидкости все они имеют следующий вид:

U = V ₊ ^Q 'X ^Q \/+^VW + _{у Q}

где W — какое-либо скалярное поле, постоянное вдоль вихревых липин, у — произвольное скалярное поле, а / — некоторая скалярная функция, которая удовлетворяет условию

Q • V/ = -sS,

где

S = Q • ( V х Q )

Предложенное в [5] название скорость переноса завихренности, как отмечено в [4], представляется неудачным, поскольку последнее понятие соответствует векторному полю U_t, если оно существует и удовлетворяет уравнению переноса

^ + (Ut • V)fi = 0, которое в общем случае не эквивалентно уравнению (2). Также следует отличать скорость Фридмана от скорости распространения завихренности, которая обозначает для вязкопластичных жидкостей скорость перемещения фронта завихренности — поверхности раздела между вихревой и безвихревой зонами течений [6].

назовем спиральностью поля завихренности (термин предлагается впервые) по аналогии с понятием спиральности поля скорости [7], определяемого как скалярное произведение скорости на ее ротор.

Таким образом, вопрос о существовании скорости Фридмана U для области течения связывается с вопросом о существовании такого потенциала f, который удовлетворял бы условию (4). Авторы [5] делают вывод о том, что такая функция f существует для любого элементарного вихревого фрагмента и может быть получена интегрированием уравнения (4) вдоль вихревых линий.

При этом ясно, что в случае S = 0, что соответствует, например, любому плоскопараллельному или осесимметричному течению несжимаемой жидкости без закрутки [8,9], в качестве f, W и ^ в (3) можно выбрать тождественные нули. В этом случае скорость Фридмана принимает вид

U = V + W _d, (5)

где скорость

W d = -

П х (V х П )

v    П2

была названа диффузионной скоростью [10] как добавка к основной скорости течения, описывающая перенос завихренности, связанный с вязкой диффузией. Следует заметить, что хотя обе формулы, полученные в работах [8,9], могут быть представлены одной общей формулой (6) и формально являются следствием (3), исторически первой диффузионная скорость была получена в [8], а формулы (6) и (3) представляют собой соответственно ее развитие и обобщение. Диффузионная скорость является основой вихревых методов для расчета плоскопараллельных вязких несжимаемых течений (например, метод вязких вихревых доменов, ВВД [И], метод диффузионной скорости, DVM [12]).

В более общем случае, когда S = 0, в выражении для скорости Фридмана необходимо учитывать поправку Ws:

и = V + Wd + ws, где w. = W”) + 7П

Диффузионная скорость в этом случае определяется суммой W d + W_s.

Второй поставленный вопрос о возможности практического поиска скорости Фридмана тесно связан с вопросом о существовании локального способа вычисления этой скорости для рассматриваемого течения. Под локальностью понимается такой способ, при котором скорость Фридмана в заданной точке вычисляется через параметры течения в сколь угодно малой окрестности этой точки (через параметры течения и их пространственные и временные производные в этой точке) [5]. Наличие течений, для которых локальных способов вычисления скорости Фридмана не существует, вносит существенную сложность в разработку численных алгоритмов, основанных на перемещении вихревых объектов, как это реализовано в плоском случае в методе ВВД.

Известно, что скорость Фридмана всегда имеет локальную формулу как минимум для двух типов трехмерных вихревых течений: стационарных (в этом случае в качестве U всегда можно выбрать тождественный ноль) и нестационарных течений с нулевой спиральностью S. Для последних скорость Фридмана получается по формулам (5) и (6), которые, очевидно, являются локальными.

Как будет показано далее, в классе несжимаемых течений с ненулевой спиральностью S существуют как течения, для которых не существует локального способа вычисления скорости U, так и течения, для которых такой способ существует.

2.    Пример построения скорости Фридмана для цилиндрических течений с закруткой

Рассмотрим закрученное цилиндрическое завихренное течение, в котором осевая составляющая завихренности всюду отлична от нуля. В таком течении поле скорости V зависит только от расстояния r от оси симметрии и от времени t и при разложении по ортам цилиндрической системы координат ( e _r, e ^, e _z) представляется следующим образом:

V (r,t) = V (yt^ e- r + V_v(r,t) e _v + V z (r,t) e _z .

Для цилиндрического течения поле завихренности n (r,t) имеет нулевую радиальную компоненту шу

П(г, t) = ш ^ (г, t) e _v + ш₂(r , t) e _z , іщ = 0.

Существование скорости Фридмана эквивалентно разрешимости уравнения (4) относительно функции /. Данное условие (для односвязной области, каковой является фрагмент вихревой трубки) равносильно существованию поля Ф, удовлетворяющего условиям

П • Ф = -vS,(8)

V х Ф = 0.(9)

Несмотря на то, что П и правая часть (8) являются функциями (r,t), по ле Ф в общем случае может зависеть еще и от г, удовлетворяя при этом условию (8). Одну из таких функций Фо можно построить. например, iтак градиент скалярного поля /о:

/о(r,г,t) = -v—z,(10)

Wz для которой компоненты поля Фо = V/о имеют вид

^Ф0г = -^У ( ^— )■ ^Ф°_У = ⁰, * °z = ^{-v —} .               ІШ

Для такого поля условие (9) выполняется автоматически, а условие (8) проверяется путем прямой подстановки. Далее, подставляя Фо вместо V/ в (3) (приняв W = у = 0), можно получить искомую скорость U. Поскольку по условию выше ш_z = 0, то функции /о, Фо 11 U определены.

Рассмотрим предложенную функцию /о (10) и соответствующую ей скорость Фридмана U с точки зрения локальности. Для цилиндрического течения в окрестности любой точки с одним и тем же значением r поля параметров течения совпадают. Поэтому если U локальна, то она может зависеть только от r и t:

U r = U r (r,t),   U . = U p (r,t),   U z = U z (r,t).

Если производная

8 s dr Qz

не равна нулю, то в

сутствует зависимость от г, что явно переносится

построенной выше функции Фо прии в формулу (3) для вычисления U.

Ясно, что скорость Фридмана, определенная таким способом, оказывается нелокальной, поскольку ее значение в какой-либо точке зависит от выбора начала отсчета по координате г. В этом нет противоречия, поскольку скоростей Фридмана существует бесконечно много и каждому выбранному началу отсчета можно поставить в соответствие поле U, построенное предложенным способом и удовлетворяющее при этом теореме Фридмана (2). Более того, как будет показано в примере раздела 5, эта скорость оказывается неограниченной по г.

• 3.    Достаточное условие существования локальной скорости Фридмана для цилиндрического течения

На основании предположения о локальности поля Ф получим достаточное условие существования локальной скорости Фридмана для цилиндрического течения. Этот результат будет использован в разделе 4 при построении примера цилиндрического течения с локальной скоростью U.

Локальность поля Ф означает, что Ф может являться функцией только от (г, t):

Ф ( г, t ) = Ф г ( г, t ) e _r + Ф , ( г, t ) e , + Ф z ( г, t) e _z .

В цилиндрических координатах

V х Ф =

1 / эф _ дф, )  + / дФг г др дz ) r дz

д Фz ^ + 1 ^/ д ( гФД

_

д Ф г др

ez —

д Ф , e +1 д ( г Ф , ) e

Из условия (9) следует, что

Ф, (г, t) — Cz (t), ф,(ы) —     ,

где Cz(t) іі С, (t) — некоторые функции временii. Подставляя выражения для Q іі Ф в (8) с учетом полученных выше условий и опуская зависимость от t, получим ш,(г)^ + Wz(г)С, — -V [ _ ш,(г)д^(г) + -Wz(г) д(г^,(г)) 1 .           Ц4)

г                   L           дг г          дг

В итоге для разрешимости (8) (а значит, и для существования локального поля Ф) достаточно существования таких двух функций времени С , и C_z, при которых выражение (14) обращается в тождество (вопрос необходимости условия (14) в данной работе не рассматривается).

Приведем пример течения, для которого условие (14) разрешимо, что подтвердит наличие для такого течения локальной скорости Фридмана.

• 4.    Пример цилиндрического течения, для которого существует локальная скорость Фридмана

Рассмотрим цилиндрическое нестационарное вязкое течение, являющееся суперпозицией некоторого нестационарного окружного течения ( V_r — 0 , V_z — 0) и некоторого стационарного осевого течения ( V_r — 0, V, — 0). В работе [13] показано, что суперпозиция полей скорости и давления для таких двух течений всегда является решением уравнения Навье-Стокса и, следовательно, описывает некоторое цилиндрическое течение.

В качестве нестационарного окружного выберем течение, описываемое полем окружной скорости V, іі полем ,давления р:

г3                         г212      г6      г4t с,(Г,t)— н + -, *3)—      ■  2  М....: 2 ■ .

гДе Ро(£) — любая функция времени.

В качестве стационарного осевого течения выберем известное течение Пуазейля в трубе радиусом R с параболическим профилем осевой скорости [14] и полем давления:

V z (г) —2V/1 _ |2), p(z) — zA, А — _8^,                (Ы)

где V - средняя скорость течения (V > 0).

Тогда итоговое течение с полями скорости и давления

V(r, t) = V^r, t)e^ + И(r, t)ez, p(r, z, t) = p(r, t) + zA также остается цилиндрическим, а его параметры, согласно [13], удовлетворяют уравнениям Навье-Стокса (в чем также можно убедиться прямой подстановкой).

Поле завихренности итогового течения имеет вид шт = 0,  шф = 4^,  ш, = 2t +

К2             2v

Спиральность завихренности S = 16 2 ^не равна нулю при t,V = 0.

Покажем, что для такого течения существует локальное выражение для скорости

Фридмана. Воспользуемся для этого результатами предыдущего раздела, а именно условием (14), в которое подставим ш^, ш, и S для рассматриваемого течения:

4rVCv К2 r

+ (2i+2с )с

16^Vt К²

Данное условие можно удовлетворить выбором С, = 0 и C_v = —4^t, что подтверждает существование локальной скорости Фридмана, зависящей только от r и t. Ее явный вид легко получить подстановкой полученной функции C_v в (13) и затем в выражение (7).

5.    Пример цилиндрического течения, для которого не существует локальной скорости Фридмана

Аналогично предыдущему разделу, сконструируем цилиндрическое течение как сумму осевого течения V_z, выбранного как в предыдущем примере (течение Пуазейля), и окружного течения V^, являющегося решением задачи о диффузии в вязкой жидкости бесконечного прямолинейного концентрированного вихря с циркуляцией Г:

Г         A                         V 2 (r,t)

V ^ (r, t) = -— 1 — е 4 ^ , p(r, t) = р о (t) +      ----- dr,

2^r                                   r где 'po(t) - любая функция времени, а неопределенный интеграл выражается в специальных функциях и, ввиду громоздкости, не приводится.

Итоговое течение с полями скорости и давления

V(r,t) = Vv(r,t)ev + V,(r,t)ez, p(r, z, t) = p(r,t) + zA, где Vz и A определяются формулами (15), также остается цилиндрическим, а его параметры, согласно [13], удовлетворяют уравнениям Навье-Стокса (в чем также можно убедиться прямой подстановкой).

Поле завихренности итогового течения

4V r          Г _А_                       , ,

_Шт = 0, _Шф = —, ^ш = ^^{е м}.                UG)

Сконструируем с помощью полей /о (10) и Фо (11) скорость Фридмана для такого течения. Спиральность завихренности S для данного течения нигде не обращается в 0 при r,t = 0.

Подставляя (16) в (10) и (11), можно убедиться, что скорость Wd имеет только один ненулевой компонент W d _r, который является функцией только координаты r и времени t:

W- = W-(r, t), W . = 0, W- = 0, в то время как компоненты поправки Ws оказываются линейно зависимыми от координаты z (что демонстрирует нелокальность и, более того, неограниченность скорости Фридмана с ростом z):

W_ST = g o (r,t), W_sv = g i (r,t)z, W_sz = g 2 (r, t)z, (17)

где go(r,t)

g i (r, t )

g 2 ^(r, ^t)

8rV ² ( r² + 4tv )

16r²tV ² +

R 4 T ² — 16 T ² tv ²

TR 2 Vr

-

/ 2

2 tv

^t(16r²tV ² + ^r²₂ e 2^ )

У               16тГ² tv²        J

16 r²V 2^

16 r²tV² + ^ £ ₂ e^- 2 tr

16 r ² tv ²

(очевидно, что при r >  0 функции gi и g2 не обращаются в ноль).

Перейдем к вопросу существования локального способа вычисления скорости U для рассматриваемого течения. Как отмечено в разделе 3, локальной U может быть только в том случае, если ее компоненты зависят только от (r, t), см. (12). Чтобы U была скоростью Фридмана, она должна удовлетворять уравнению (2).

Распишем покоординатно уравнение (2) в цилиндрической системе координат для цилиндрического течения с учетом (12). При этом уравнение, соответствующее проекции на вектор e_r, удовлетворяется автоматически, а остальные два уравнения имеют вид

^ +   (U r Др ) = 0, ^      (rU r ш_г )=0 .

ot or               ot r or

Для рассматриваемого течения (16) dw^jdt = 0, поэтому из первого уравнения (18) следует, что Ur = ^-, г де С = С (t) — любая функция времени. Это приводит к условию дш% + СЭ_ г rwz 1 = 0 dt r dr шф.

Подставим в получившееся уравнение относительно С компоненты поля завихренности (16):

Г(CR2t - 2r2V + 8tVi/)

4tv 32^t3Vv2        e0.

Видно, что единственным условием удовлетворения последнего уравнения является выбор функции С как

2 V (r2 — 4vt) С =     R2t.

Учитывая, что по условию С является функцией только от времени, это может быть выполнено только для случая V = 0, который соответствует плоскому несжимаемому течению с нулевой спиральностью S, для которого всегда существует локальная скорость Фридмана (5). Для случая V = 0 функция С не может зависеть только от времени, и для предложенного цилиндрического течения не существует локальной Фридмана U.

6.    Альтернативный подход к рассмотрению эволюции завихренности в осесимметричных течениях с закруткой

В работе [4] предлагается другой подход к рассмотрению эволюции завихренности в закрученных осесимметричных течениях несжимаемой жидкости. Он заключается в отдельном рассмотрении движения вихревых трубок, построенных из радиально-осевой Q _rz л окружной Q^ составляющих завпхрешюстп. Эти компоненты суть роторы окружной V^

и радиально-осевой V _r , составляющих скорости соответственно. Используя алгоритмы существующих вихревых методов, по этим полям завихренности можно восстановить поле скорости.

Основная особенность такого разделения состоит в том, что уравнения эволюции соответствующей компоненты завихренности не зависят друг от друга и могут быть записаны с помощью двух в общем случае различных скоростей Фридмана U1 и U2:

где

д П, ді

дПг, ~ді~

+ Vx ( П, х U1 )=0 ,

+ Vx ( Пг, х U2 ) = 0 ,

Ui = Vr + V,

П, х ( V х П, )

V     Q2

,

—

у tU,

U2 = Vr + V,

—

^ПГ, ^{х (V х П}Г, )

^V     02

r,

Таким образом, вихревые трубки поля П, движутся, сохраняя свою интенсивность, со скоростью U1. а вихревые трубки поля Пг, — со сюцюстью U2.

Отметим, что соответствующие скорости Фридмана Ui и U2 существуют и локальны для любых осесимметричных закрученных течений при условии, что П, = 0 и Пг, = 0. Это справедливо и для примеров цилиндрических течений, рассмотренных в разделах 4 и 5, для второго из которых "общей" локальной скорости Фридмана не существует. Выражения Ui и U2 для этих течений имеют следующий вид. Для примера из раздела 4:

Ux. = — Д U1, = 0 , U 1 , = 2 V ( 1 — г!) — ^{д 2}(Д⁺ Д) т                           1               256 г V 2

2tv                                   т² \

^U 2 ^r = ^— Т2+4ІГ, ^ = ^{0, и}2^г = ^2V (1 ^— 1^ •

Для примера из раздела 5:

2 v                             т               Г 2 1 2       г²     .2

^U1r = ^— ~, ^UN = ⁰, ^U1 , = ^2V (1 ^— 12) ^—_W2_T4y (^{е 4t}" ^— 1 ) ;

U2r = 2 і, U2, = 0 , U2, = 2 V ( 1 — 12).

В общем случае для цилиндрических течений радиальная компонента завихренности U_r равна нулю, а компоненты скорости U1 и U2 имеют следующий вид:

U1r = Гг — v ( 1 +         ), U1, = 0 , U1, = V, —      ;

Т U , ОТ /                        Ти ,

U2r = Vr — V ^ ^ ^, U2, = 0 , U2, = Г,.

U , дт

7.    Заключение

Рассмотрен вопрос о существовании локальных способов вычисления скорости переноса вихревых трубок с сохранением их интенсивности. Известны два класса течений, для которых всегда существует локальное представление скорости Фридмана: стационарные течения и нестационарные несжимаемые течения с нулевой спиральностью (например, плоскопараллельные и осесимметричные без закрутки). На примерах цилиндрических закрученных нестационарных течений с ненулевой спиральностью показано существование как течений с локальной скоростью Фридмана, так и течений, для которых существует только нелокальная скорость Фридмана.

Несмотря на существование скорости Фридмана для любых областей течений с Q = 0, факт существования течений, в которых U оказывается только нелокальной, представляет сложность реализации численных алгоритмов, основанных на поиске представления скорости Фридмана, удовлетворяющей требованию ограниченности ее модуля. По этой причине следует приложить усилия для разработки вихревых методов, учитывающих возможность существования течений, для которых могут отсутствовать локальные скорости Фридмана.

В разделе б приведен пример такого подхода, применимого для осесимметричных течений с закруткой. В этом случае уравнение эволюции завихренности расщепляется на два независимых уравнения, содержащих две скорости Фридмана, которые всегда локальны. Этот факт может быть использован для построения вихревых методов типа ВВД для закрученных осесимметричных течений.

Работа поддержана грантами РФФИ (проекты 17-08-01468 А, 18-31-20051).