О связи точечных представлений функций и их изображений по Лапласу

Теорема о точечном изображении свертки [1] явно указываетна наличие аналитической связи между преобразованиями Лапласа ( L- преобразованиями) сворачиваемых функций и их точечными представлениями, ассоциированными с чебышевской сеткой первого рода.

Рассмотрим свертку функций g(t) и δ-функции δ(t): tt g⋅δ= ∫g(t-η)δ(η)dη=∫δ(t-η)g(η)dη=g(t).(1) 00

Точечное изображение δ -функций согласно [1] имеет вид

δ ( t ) ⎯ ^T ⎯ ^I →δ T_I = 1 ( E N + Z ) ^{- 1} e 1 = λ ₀

= ¹ Colon ⎡ _⎣ 1, - 1, K ( - 1) ^{v - 1}, K ( - 1) ^{N - 1} ⎤ _⎦ .

λ ₀

Поэтому получим две формы точечного представления свертки (1):

g ⋅ δ= g ( t ) ⎯ ^T ⎯ ^I → g_{T I} =

λ 0 ( E N + Z ) ⋅ T N ( g T_I ; Z ) δ T_I = g T_I ,

1( E N + Z ) ^{- 2} ⋅ T N ( W ^{( N )}; Z ) e 1 = 1( E N + Z ) ^{- 1} W ^{( N )},(2) λ ₀ λ ₀

где EN = Z 0 – единичная матрица размерности N × N. Ска-T лярный множитель λ0 =    имеетсмысл половины вре-

жению F_g ^∗ ( λ ) = F_g

с последующим определением-

менного расстояния между узлами N -сетки. Символом Z^k ( k = 0, 1,..., ( n - 1) ) обозначеныканонические матрицы сдвига размерности N × N , введенные в [1]. Это тепли-цевы матрицы с элементными N -векторами в виде единичных векторов

e_k ⁽ ₊ ^N ₁ ⁾ = Colon

0, K 0, 14243 k

1, 0, K 0 ⎥ ×

ее ( N - 1) первых производных в точке λ=λ ₀, по которым находятся величины (5), а затем по рекуррент ны м равенствам (7) – и отсчеты g vI = g ( T τ ⁽ v ^{N )})( v = 1, N ) функции g ( t ) = g ( T τ ), τ ∈ [0,1].

Таким образом, мы получаем способ (алгоритм) приближенного обращения L -преобразования в форме точечного изображающего N -вектора g _TI функции-оригинала g ( t ) в промежутке [0, T ], который в подобной трак-

товке становится достаточно конструктивным лишь в не-

× ( k = 0, n - 1).

Две формы (2) точечного представления свертки приближенно равны друг другу. Таким образом, мы приходим к равенству gTI=1 (EN+Z)-1⋅W(N)⇔λ0(EN+Z)gTI =W(N),(3) λ0

устанавливающему аналитическую связь между точечными N -векторами:

g_{T I} = Colon [ g _{1 I} , K g_vI , K g_NI , K ] , ⎫⎪

W ^{( N )} = Colon [ W 0 ,2 W 1 , K 2 W k , K 2 W N - 1 ] , ⎪ _⎭

которых частных случаях.

Это связано с тем, что процедура непосредственного определения производных инверсной функции F_g ^∗ ( λ ) в формулах (5) с ростом их порядка становится все более громоздкой и трудновыполнимой даже при сравнительно простых формульных представлениях, хотя в отдельных случаях эта задача может быть эффективно решена путем применения некоторых нестанда ртных приемов. В частности, величины W_k ( k = 1,( N - 1))могутбытьнай-дены по инверсному изображению F_g ^∗ ( λ ) = F_g ^∗ ( λ ( z )), предварительно преобразованному в виде функции ком-

причем координаты вектора W ^{( N )}определяютсяпо фор-

мулам

плексного переменного z , поскольку они оказываются просто коэффициентами частичной N- суммы степенного разложения этой функции в центральном единичном

W_k =

1 d^k

2 k ! dz^k

W ^∗ ( z )

z = 0 ⁼

круге:

F g ^∗ ( λ ) = F g ^∗ ( λ ( z )) =

1 ^k (2 λ 0 ) ^q ⎛ k - 1 ⎞ _{⎡ F} ∗ _{( λ ) ⎤} [ q ] ₂ ∑ _{q = 1    q !} ⎜ _{⎝ q - 1} ⎟ _⎠ ⎣ g     ⎦ λ=λ ₀

, k = 1,( N - 1),

где

N - 1 = W ^∗ ( z ) ≅ W 0 + 2 ∑ W k Z^k , I ^z I ≤ 1, k = 1

W 0 = F g ^∗ ( λ 0 ) = W ^∗ (0).              (5)

Векторно-матричное равенство (3) в развернутой форме даетсистему

λ 0 ( E N + Z ) g TI =

_{W =} 1 d^kW ( z )

^k   2 k !    dz^{k    z = 0}

( k = 1,( N - 1));

^λ 0 g 1 I ⁼ W 0 , λ ₀( g _{1 I} + g _{2 I} ) = 2 W ₁,

₌ W ( N ) _⇔ ⎪ _⎨..........

⎪ ^λ 0 ( g ( v - 1) I ⁺ g vI ) ⁼ 2 W v - 1 ,

W 0 = W ^∗ (0) = F g ^∗ ( λ 0 ). (10)

Однако для простых инверсных функций F_g ^∗ ( λ ( z )) дробно-рационального вида полиноминальные представления могутбыть получены без использования общих формул (10), а в результате алгебраических преобразований с последующим использованием уже известных раз ложений . Такой способ определения величин W_k ( k = 1,( N - 1)) оказывается более конструктивным, однако он также ог-

⎪⎩ ^λ 0 ( g ( N - 1) I ⁺ g NI ) ⁼ 2 W N - 1 ,

или рекуррентное равенство

λ ₀ g_vI = 2 W_{v - 1} -λ ₀ g _{( v - 1) I} ( v = 2,3,..., N )      (7)

раничен по своим возможностям.

В качестве примера рассмотрим обращение преобразования Лапласа вида простейшей рациональной дроби

при начальном условии

λ 0 g 1 I = W 0 = F g ^∗ ( λ 0 ). (8)

Этим устанавливается явная связь между координатами N -векторов ( 4), т. е. между отсчетами g ( T τ ⁽ v ^{N )}) = g vI ( v = 1, N ) временной функции g ( t ) = g ( T τ ) ∈ M (0,1)вузлахчебышевской N -сеткипер-вого рода и, в конечном счете, между производными инверсного преобразования Лапласа F_g ^∗ ( λ ) этой функции при λ=λ ₀ .

Рекуррентное соотношение (7) позволяет находить приближенные значения координатточечного изображающего N -вектора g_TI временной функции g ( t ) ∈ M (0, T )по ее операторному изображению F_g ( p ) через предварительный переход к инверсному изобра-

F g ( p ) = 1 → e ^{- at} = g ( t ) ( a > 0),       (11)

p+a т. е. найдем покоординатное приближение точечного изображающего N-вектора gTI = gI функции g (t)= e-at на отрезке [0,T] по ее L-изображению Fg(p).

Перейдем к инверсному преобразованию

F⎛1⎞=F∗(λ)=F∗(λ(z))=λ(z).(12)

^g ⎝ λ ⎠ ^gg 1 + a λ ( z )

1+z

Принимая λ ( z ) = λ ₀     , найдем для F_g ^∗ ( λ ( z )) как

1-z для функции уже комплексной переменной z, определенной в круге I z I ≤ 1, представление в виде разложения по степеням z. При этом возможно использование уже известного разложения и без применения общего метода. Тогда имеем

λ ( z )

λ 0 (1 + z )

1 + a ⋅ λ ( z )   (1 - z ) + a λ ₀(1 + z )

λ0

1 +aλ

-

1 + z

= W ^∗ ( z ).

1 -aλ ⎞

0 z _⎟

1 + a λ ₀ ⎠

При положительных значениях вещественного пара-

метра a окажется, что

1 - a λ ₀

1 + a λ ₀

< 1 и

1 - a λ

⁰ z <  1 в цен-

1 + a λ ₀

тральном единичном круге | z | ≤ 1, поэтому дробно-рациональная функция в (13) будетв этом круге аналитической и представимой рядом Тейлора:

1 _- 1 - a λ 0 _z ⁼ 1 ⁺

1 + a λ ₀

+∑⎛⎜1-aλ0⎞⎟zv=∑⎛⎜1-aλ0⎞⎟zv, v=1⎝1+aλ0⎠v=0⎝1+aλ0⎠,

Таким образом, для W ^∗ ( z ) получим

F g ^∗ ( λ ( z )) = W ^∗ ( z ) =

λ 0

⋅

1 +aλ ⎛

0     _{⎜ 1}

-

λ ₀ 1 + a λ ₀

(1 + z ) ∑ ^{∞ ⎛} ⎜ 1 ^{- a λ 0} v = 0 ⎝ 1 + a λ ₀

(1 + z )

1 - a λ 0 z

1 + a λ ₀

⎞ ^v

⎟z=

λ ₀ 1 + a λ ₀

2     ^∞ ⎛ 1 - a λ ₀

1+aλ     1+aλ

0 v = 1             0

v - 1

V ⎟⋅z

∞ = W 0 + 2 ∑ W v ⋅ z^v , v = 1 откуда следует, что

W ₀ = ^{λ 0}  ,

1 + a λ ₀

₌λ 0 (1 - a λ 0 ) ^{v - 1}

^Wv    (1 + a λ 0 ) ^{v + 1}

( v = 1, 2,...).

По этим величинам с использованием рекуррентного равенства (7) могут быть последовательно найдены и g_vI ( v = 1, 2, ... N ) – приближенные координаты точечного изображающего N -вектора функции g ( t ) = e ^{- at} на отрезке [0, T ], ассоциированного с чебышевской N -сеткой t_v ^{( N )} = T τ ⁽ _v ^{N )} = T ⋅ 2 ^{v -} 1( v = 1, N ).Общаярекуррен-тная формула для определения искомых координат точечного изображающего N -вектора g _TI функции

Производя численные расчеты, можно увидеть хорошее совпадение значений координат, вычисленных по формуле (17), с их точными значениями и только по последней координате расхождение оказывается более значительным. Однако погрешность по этой координате ввиду ее малости заметной роли не играет. Если же увеличить размерность N , не меняя других параметров, то погрешность по всем координатам не будет превышать 1 %.

Рассмотренный выше пример по обращению простейшего преобразования Лапласа дробно-рационального вида (11) в форме точечного изображающего N -вектора g _TI функции-оригинала g ( t ) = e ^{- at} этого преобразованияs имеет самостоятельное и особое значение, так как на его основе могут быть получены точечные изображения других часто используемых элементарных функций, содержащих экспоненты, по их лапласовым изображениям.

Это объясняется тем, что и точечное изображение g _TI экспоненты e ^{- at} , и ее лапласово изображение (11), по которому в результате отобра ж ений определяется точечный изображающий вектор g TI ^, оказываются явными однозначно связанными и непрерывными функциями параметра a . Иными словами, различным операциям над L -изображением F_g ( p ) = F_g ( p ; a ) (и функцией-оригиналом g ( t ) = g ( t ; a ) = e ^{- at} ) как функциям параметра a будут соответствовать такие же операции над их точечным N -векторном отображением g _TI ( a ) как функцией того же параметра a . Возникающим при этом новым лапласовым изображениям новых функций-оригиналов будут соответствовать их точечные изображения, возникающие при таких же операциях над прежним точечным изображением g _TI ( a ) как функцией параметра a .

То же самое происходит не только при простом изменении вещественных значений параметра a , но и при придании ему комплексных значений, т. е. при замене a → a + ib . В этом случае точечные представления более сложных элементарных функций также будут получены по операторным изображениям.

Описанные выше отображения сохраняются и при операции дифференцирования по параметру a . Вэтом случае для отображений

g ( t ; a ) → e ^{- at} =

∞ = ∫ 0

e

- at

g ( T τ ) = e

-

^{aT τ} имеетвид

2(1 - a λ ₀) ^{v - 2}(1 - a λ ₀) ^{v - 2 gvI =} (1 + a λ ₀) ^{v -} (1 + a λ ₀) ^{v - 1}

p = ¹

⋅ e ^{- pt}dt = 1 = F ( p ; a ) ⎯⎯ ^λ ⎯ → F ^∗ ( λ ( z ); a ) = p + a ^gg

λ ( z )

=          = W ^∗ ( z ; a ) =

1 + a λ ( z )

(1 - a λ 0 ) ^{v - 1}

1     ⎛ 1 - a λ ₀

⋅

(1 + a λ ₀) ^v    1 + a λ ₀ ⎝ 1 + a λ ₀

v - 1

⎟ ( v = 1, N ).(17)

где

Точные значения этих координат, т. е. отсчеты экспо-

ненты e ^{- at}

( N ) рода τ _v =

= e^{aT τ} вузлахчебышевской N -сетки первого 2 v - 1

_{2 N} ,( v = 1, N ),будутследующими:

_{- aT τ} ( N )       - a ^T (2 v - 1)

e^{a τ v} = e ^{2 N}

-

₌ e - a λ 0 (2 v - 1) ₌

= exp ( - a λ ⋅ (2 v - 1) ) ( v = 1, N ).        (18)

∞

= W 0 ( a ) + 2 ∑ W v ( a ) z^v ⎯ ^T ⎯ ^I → g TI ( a ) = v = 1

= Colon [ g _{1 I} ( a ),..., g_vI ( a ),..., g_NI ( a ) ] ,

g_vI ( a ) =

имеем

g _{1 I} ( a )

1;

1 + a λ ₀

1     _⋅ ⎛ 1 - a λ ₀

1 + a λ ₀ ⎝ 1 + a λ ₀

- ( e^at ) = te^at =- F g ( p ; a ) = ∂ a ∂ a

₌ 1 _⎯⎯ p =λ ¹ _⎯→  λ ( z )²    ₌

( p + a )²          (1 + a λ ( z ))²

=-^∂ F g ^∗ ( λ ( z ); a ) =-^∂ W ^∗ ( z ; a ) = ^g

Таким образом, имеем два инверсных лапласовых изображения:

λ ( z )

(1 + a λ ( z ))² + b ² λ ²( z ),

∂ W 0 ( a )     ^∞ ∂ W v ( a ) v

- 2 ∑      z

^∂ a        v = 1    ^∂ a

T ∂

⎯⎯ ^I →-    g_TI ( a ) = g_T ′ _I ( a ) =

∂ a

= Colon [ g ₁ ′ _I ( a ),..., g_v ′ _I ( a ),..., g ′ _NI ( a ) ] .        (21)

Дифференцируя (20) по параметру a , п олу чим явные представления для координат g_v ′ _I ( a ) ( v = 1, N )точечно-го изображающего N -вектора g _T ′ _I ( a ) возникшей функции-оригинала g ′ ( t ; a ) = te ^{- at} :

_′       ∂ g_vI ( a )

g_vI =-       =

∂ a

λ ²₂( z )₂₂ ,              (26)

(1 + a λ ( z )) + b λ ( z )

по которым может быть решена задача об обращении

L -преобразований в (24) в форме точечных векторов изображений:

g c ( t ) → F c ( p ) = F c ^∗ ( λ ( z )) ⎯ ^T ⎯ ^I → g cT = ⎫ _⎪

= Colon [ g_{c 1},..., g_cv ,..., g_cN ] ,              ⎪ _⎬      (27)

g s ( t ) → F s ( p ) = F s ^∗ ( λ ( z )) ⎯ ^T ⎯ ^I → g sT = ⎪ _⎪

= Colon [ g_{s 1},..., g_sv ,..., g_sN ] .                ^⎪ _⎭

λ 0 (1 - a λ 0 ) ^{v - 2} [ (2 v - 1) - a λ 0 ] ( _{v =} 1 _N ) (1 + a λ 0 ) ^{v + 1}                   ,

Это будут приближенные значения отсчетов функции g ′ ( t ; a ),т. е. значений T τ _v ^{( N )} ⋅ exp( - aT τ ⁽ _v ^{N )}) в узлах чебышевской N -сетки первого рода, но определенные по ее

Следует отметить, что инверсное преобразование Лапласа в (24) есть линейная комбинация функций (26). Найдем их представления как функций комплексной переменной z , принимающей значения из единичного круга I z I ≤ 1. Подставляя в (26)

1 + z

λ=λ ( z ) =λ _{0 -} , z I ≤ 1,           (28)

1 - z после преобразований получим

лапаласовому изображению _{+ 2} ^=- _∂ F g ( p ; ^a )^.

Отметим, что повторно дифференцируя по параметру a цепочку отображений (21), можно получить точечное векторное представление g _T ′′ _I ( a )и для функции t ² e ^{- at} по ее лапласовому изображению.

Рассмотрим теперь более общий случай комплексного значения параметра a в отображении (11), а также в равенствах (15) и (17). Заменим параметр a во всех этих соотношениях на комплексную величину (a+ib)(a≥0). Для изображения по Лапласу будем иметь e (a+ib)t =eatcos bt-ieatsin bt=

λ ( z )          ₌

(1 + a λ ( z ))² + b ² λ ²( z )

=λ (1 + z ) ⋅        (1 ^{+ z} )        ⋅ W ^∗ ( z ),

⁰(1 + a λ 0 )² + ( b λ 0 )²⁰

a λ ² ( z )

(1 + a λ ( z ))² + b ² λ ²( z )

=λ (1 + z ) ⋅      ^{a λ 0}(1 ^{+ z} )      ⋅ W ^∗ ( z ),

⁰(1 + a λ 0 )² + ( b λ 0 )²⁰

где

W 0 ^∗ ( z ) =

1 - 2 γ ⋅ ( e ^-β z ) + ( e ^-β z )² ,

= g_c ( t ) - ig_s ( t ) → 1 p = ( a + ib )

а введенные параметры определяются по формулам

( p + a )

( p + a ) + ib ( p + a )² + b ²

-

i^b ( p + a )² + b ²,

γ=

1 - ( a ² + b ²) λ ₀ ²

7(1 - ( a ² + b ²) λ 0 ²)² + 4( b λ 0 )²

, γ ≤ 1, (31)

откуда для инверсных изображений окажется, что e ^{- at} сos bt = g_c ( t ) → ( ^{p + a} ) = F_c ( p ) = ^c       ( p + a )² + b ^{2      c}

= F ^⎛ 1 ^⎞ = F ^∗ ( λ ( z )) = cc ⎝ λ ( z ) ⎠

λ ( z )(1 + a λ ( z ))

⁼ (1 + a λ ( z ))² + b ² λ ²( z ) ⁼

-

(1 - a λ )² + ( b λ )²

^β = ( ^{a 0}) ⁺ ( ⁰) ≤ 1( a ≥ 0).   (32)

(1 + a λ 0 )² + ( b λ 0 )²

a λ ² ( z )

λ ( z )          ₊

(1 + a λ ( z ))² + b ² λ ²( z )   (1 + a λ ( z ))² + b ² λ ²( z ),

Таким образом, для инверсных функций F_c ^∗ ( λ ( z )) и

Fs∗ (λ(z))изпредставлений(24)получим: (1-z)+aλ(1+z)

F∗(λ(z))=λ(1+z)[            0       ]⋅W∗(z)= c              0(1+aλ0)2+(bλ0)20⎪⎪

(1 +aλ)

=λ (1 +z )            0

⁰        (1 + a λ 0 )² + ( b λ 0 ) ⎪

e ^{- at} sin bt = g ( t ) → ^b = ^s ( p + a )² + b ²

= F s ( p ) = F s ^⎛ ⎜ 1 ^⎞ ⎟ = F s ^∗ ( λ ( z )) = ⎝ λ ( z ) ⎠

×^⎛ ⎜ 1 - 1 ^{- a λ 0} z ^⎞ ⎟ W 0 ^∗ ( z ) =λ 0 (1 + z ) ⋅ W c ^∗ ( z ), ⎝ 1 + a λ ₀   ⎠

F∗(λ(z))=λ(1+z)     bλ0(1+z)     ⋅W∗(z)= s             0(1+aλ0)2+(bλ0)20

⎬ (33)

=λ 0 (1 + z )

b λ 0

b ⋅ λ ²( z ) (1 + a λ ( z ))² + b ² λ ²( z ).

(1 + a λ 0 )² + ( b λ 0 )

2 ^×

× (1 + z ) W 0 ^∗ ( z ) = λ 0 (1 + z ) ⋅ W s ^∗ ( z ). ⎪⎭

А учитывая нильпотентность переменной z с показа-

телем N ( z^k ≡ 0 ∀ k ≥ N ), запишем:

W_c ^∗ ( z ) =

N - 1 F c ^∗ ( λ ( z )) = W c 0 + 2 ∑ W ck z^k =λ 0 (1 + z ) × k = 1

N × W_c ^∗ ( z ) =λ ₀(1 + z ) ∑ g_{c ( v + 1)} ⋅ z^v , v = 0

N - 1 F s ^∗ ( λ ( z )) = W s 0 + 2 ∑ W sk z^k =λ 0 (1 + z ) × k = 1

N × W_s ^∗ ₀( z ) = λ ₀(1 + z ) ∑ g_{c ( v + 1)} ⋅ z^v .

v = 0

∞

1 + ∑ ⎜ U v ( γ ) e v = 1 ⎝

_β   1 - a λ

-

-

1 + a λ

(1 + a λ ₀)

(1 + a λ ₀)² + ( b λ ₀)²

⋅ U v - 1 ( γ ) ⎟ e ^{- ( v - 1) β} ⋅ z^v

W s ^∗ ( z ) =

b λ 0

(1 + a λ ₀)² + ( b λ ₀)²

∞

1 + ∑ ( U v ( γ ) e ^-β + U v - 1 ( γ ) ) e ^{- ( v - 1) β} ⋅ z v = 1

,

⎬ (38)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной z в полиномах, расположенных по разным сторонам этих равенств, получим линейные системы, которые в векторно-матричных формах запишутся в виде

Colon [ W c 0 ,2 W c 1 ,...,2 W cv ,...,2 W cN ] = = W_c =λ ₀( E_N + Z ) g_cT , Colon [ W s 0 ,2 W s 1 ,...,2 W sv ,...,2 W sN ] =

= W_s =λ ₀ ( E_N + Z ) g_sT ,

где N -векторы g _cT и g _sT – искомые точечные изображающие векторы функций-оригиналов в (27).

Используя представление фундаментальной связи (3), найдем явные (полиноминальные) представления для дробно-рациональных функций W_c ^∗ ( z )и W _s ^∗ ( z ) в (34), т. е. коэффи циенты g_{c ( v + 1)}( v = 0,( N - 1)) и g_{s ( v + 1)}( v = 0,( N - 1))этихполиномов,которые, как координаты точечных векторов в (27), будут решениями поставленной задачи по обращению операторных преобразований в (23).

Из (34) следует, что

W∗(z)=(1+aλ0)     ⎛1-1-aλ0z⎞× c       (1+aλ0)2+(bλ0)2⎝1+aλ0 ⎠

и, следовательно,

₌       (1 + a λ 0 )

^{gc 1}   (1 + a λ 0 )² + ( b λ 0 )²,

⎛1-λ ⎞ gc(v+1)=gc1⎜Uv(γ)e-β-0Uv-1(γ)⎟× c(v+1)      c1⎝v            1+aλ0 v1

×e-(v-1)β(v=1,N-1),(39)

g = s1   (1+aλ0)2+-β(bλ0)2, gs(v+1)=gs1(Uv(γ)e-β +Uv-1(γ)) ×

×e-(v-1)β(v=1,N-1).(40)

Это координаты N -векторов g _cT и g _sT из (27), которые решаютпоставленную задачу о приближенном обращении преобразований Лапласа в (23), поскольку они являются точечными векторными изображениями их функций-оригиналов g_c ( t ) и g_s ( t ), t ∈ [ 0, T ] .

При чисто мнимом значении комплексного параметра, т. е. при a = 0, возникаетзадача точечного обращения простейших преобразований Лапласа, временные оригиналы которых являются тригонометрическими функциями cos bt иsin bt . Их графики имеютвид незатухающих колебаний. Решение этой колебательной задачи мо-жетбыть получено из общего решения как его частный случай при a = 0. При этом расчетные формулы суще-

N - 1

× W ₀ ^∗ ( z ) = ∑ g_{c ( v + 1)} ⋅ z^v , v = 0

W s ^∗ ( z ) =

b λ ₀(1 + z )

(1 + a λ 0 )² + ( b λ 0 )

2 ^×

N - 1

× W ₀ ^∗ ( z ) = ∑ g_{S ( v + 1)} ⋅ z^v , v = 0

ственно упрощаются.

Вернемся к уже рассмотренному случаю комплексного значения параметра a . Введем функцию e ^{- pt} , t ∈ [0, T ],предполагая переменным комплексный параметр p , а преобразование Лапласа F_g ( p )функции g ( t ) M ∈ [0, T ]:

где дробно-рациональная функция W ₀ ^∗ ( z ) комплексного переменного e ^-β z , принимающего значения из единичного круга e ^-β z I= e ^-β z ≤ 1, есть производящая функция для полиномов Чебышева второго рода { U_v ( γ ) } аргумента γ ∈ [ - 1,1 ] [2], имеющая степенное разложение:

W 0 ^∗ ( z ) =

1 - 2 γ ⋅ ( e ^-β z ) + ( e ^-β z )²

∞

= ∑ U v ( γ ) ⋅ ( e ^-β z ) ^v .               (37)

v = 0

Подставляя (37) в (36), после преобразований най-

T 1

F g ( p ) = ∫ e ^{- pt}g ( t ) dt = T ∫ e ^{- pT τ} g ( T τ ) d τ ,     (41)

существующимп⁰рилюбыхполо⁰жительных T .

Квадратурное значение этого интеграла, ассоциированное с чебышевской N -сеткой первого рода: τ ⁽ _v ^{N )} = ^{2 v - 1}( v = 1, N ) - имеетпредставление

N

F g ( p ) ≈ ^T ∑ e ^{- pT τ ( vN )} g ( T τ ⁽ v ^{N )}) =

N v = 1

N

= 2 λ 0 ∑ e ^{-λ 0 p (2 v - 1)} ⋅ g ( λ 0 (2 v - 1).          (42)

v = 1                                                _{- pT τ} ( N )

Как было получено ранее, точечное значение e ^{p τ v} экспоненциальной функции e ^{- pT τ} прилюбом параметре p и в v -м узле чебышевской N -сетки первого рода име-

дем:

етвид

e-pTτ(vN)=e-λ0p(2v-1) ≈ v -1

≈1    ⎛⎜1 -λ0 p ⎞⎟

1+λ0p⎝1+λ0p⎠

Тогда

( v = 1, N ).

v - 1

F(p)≈2λ0⋅N⎛1-λ0p⎞⋅ g      1+λ0p∑v=1 ⎜⎝1+λ0p⎟⎠ где gvI =g(Tτ(vN))=g(λ0(2v-1)(v=1,N).

Положим

1 -λ p            1 - z

⁰ = z ⇒ λ ₀ p =     ,

1 +λ ₀ p 1 + z

_{p =} (1 - z ) λ 0 (1 + z )

.

Это преобразование связывает комплексную переменную p с комплексной переменной z , принимающей значения из единичного круга I z I <  1. Заменяя в (44) переменную p , согласно (45) получим

_F ( _p ) _{= F} ⎛ (1 - z ) ⎞ _{= F} ∗ ⎛ λ 0 (1 + z ) ⎞ ₌ gg    g

⎝ λ ₀ (1 + z ) ⎠⎝ (1 - z ) ⎠

N = W ^∗ ( z ) =λ 0 (1 + z ) ∑ g vI z^{v - 1}.

Как установлено в [1], функц ^{v =} и¹я W ^∗ ( z )оказывается аналитической в центральном единичном круге I z I <  1 и, следовательно, представлена в нем степенным рядом

∞

W∗(z)=W0+2∑Wkzk k=1

с вещественными коэффициентами (5). Если комплексную переменную z снабдить свойством нильпотентности с показателем N ( z^m ≡ 0; ∀ m ≥ N ),тоинверсноепре-образование Лапласа F_g ^∗ ⎜ ⁰ ( _- ^z ) ⎟ = W ^∗ ( z )как функция переменной z окажется полиномом степени ( N – 1):

N - 1

W∗(z)=W0+2∑Wvzv, v =1

а следовательно, равенство в (46) приобретет вид

N - 1

W∗(z)=W0+2∑Wvzv= v =1

NN - 1

= λ ₀(1 + z ) ∑ g_vIz^{v - 1} = λ ₀ g _{1 I} +λ ₀ ∑ ( g_vI + g _{( v + 1) I} ) z^v , v = 1                                  v = 1

откуда

W ₀ =λ ₀ g _{1 I} ,

2 W v =λ 0 ( g vI + g ( v + 1) I )( v = 1 ^u , ^u ( ^u N ^uuu - ^uu 1 ^ur )), илив форме рекуррентного равенства

λ ₀ g_vI = 2 W_{v - 1} -λ ₀ g _{( v - 1) I} ( v = 2, N )

при начальном условии

λ 0 g 1 I = W 0 = F g ^∗ ( λ 0 ) = F g

⎛ 1 ⎞

.

⎝ λ ₀ ⎠

Множество всевозможных полиномов вида (47) комплексной переменной z , принимающей значения из единичного круга I z I ≤ 1 и обладающей свойством нильпотентности с показателем N , как было указано в [1], образует нормированную алгебру по умножению, которая при взаимно однозначном отображении z → Z ( N × N )[ z^v → Z^v (0 ≤ v ≤ ( N - 1))] становится изометрически изоморфной алгебре по умножению соответствующих теплицевых матриц:

N - 1

T N ( W ^{( N )}; Z ) = W 0 E N + 2 ∑ W v Z^v , v = 1

а полиномы W ^∗ ( z )из(47) оказываются порождающими полиномами этих матриц.

Таким образом, мы имеем матричное равенство W ^∗ ( z ) ⎯ ^z ⎯ ^{→ Z} ⎯ → W ^∗ ( Z ) = T_N ( W ^{( N )}; Z ) = =λ 0 ( E N + Z ) T N ( g TI ; Z )

• и, следовательно, равенство элементных N -векторов W ^{( N )} =λ 0 ( E N + Z ) g TI

где

W ^{( N )} = Colon[ W 0 ,2 W 1 ,...,2 W v ,...,2 W N - 1 ], g_TI = Colon[ g _{1 I} ,..., g_vI ,..., g_NI ].

Таким образом, прежний результат получен иным путем, что по существу подтверждает рассматриваемую в данной статье теорию.

В заключение отметим, что подобными способами могутбыть решены задачи о точечном обращении других L -преобразований вида простых рациональных дробей. Однако стоит обратить внимание на общий случай, когда преобразование Лапласа F_g ( p )функции-ориги-нала g ( t ) имеетвид произвольной правильной рациональной дроби. Тогда процедура обращения L -изображений в форме точечных представлений (точечных моделей) обнаруживаетряд особенностей, которые выде-ляютзадачи такого рода в особый класс. В частности, возникаетнепосредственная связь задач точечного обращения таких L -преобразований и соответствующих задач Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и эквивалентных интегральных уравнений второго рода с разностными ядрами (уравнений Вольтерра). Так же может быть получен метод построения точечных моделей линейных динамических систем.