О точности кубатурных формул в пространствах C.Л. Соболева

Большинство работ С.Л. Соболева по теории кубатурных формул, в частности монографии [1, 2], посвящены оценкам погрешностей приближенного интегрирования функций f через Ilf || ^ m (q) . Также через эти полунормы оцениваются погрешности интегрирования и в работах других авторов, например в [3] и [4].

У исследований подобного рода может быть следующий недостаток. От рассматриваемых кубатурных формул требуют, чтобы они были точны на множестве многочленов степени ниже m P ^m , т. е. их функционалы ошибок l должны были удовлетворять условиям

( l,P ) = 0 при P G P m .                              (1)

Однако множество рассматриваемых интегрируемых функций может не содержать всего P ^m , и требование выполнения условия (1) в ряде случаев представляется завышенным. Например, при интегрировании многомерных периодических функций, порождающих пространства L mm ( A ) , где A — невырожденная квадратная матрица, требование (1) можно заменить условием точности соответствующей кубатурной формулы на константах.

В работах [3–5] от исследуемых кубатурных формул не требовалась формально точность на P ^m . Однако в них алгоритмы интегрирования опираются на суммирование формул, удовлетворяющих условиям типа (1).

Тем не менее там удалось построить асимптотически оптимальные последовательности кубатурных формул в соответствующих пространствах типа L _p ^m .

В этой статье доказывается и применяется к теории кубатурных формул следующий результат.

Теорема 1. Пусть H — замкнутое подпространство пространства W m (fi) , линейный функционал l ограничен на H. Тогда для того, чтобы существовала постоянная K такая, что

I ( l,f) |< K Ilf || l ~ (q) при f G H,                             (2)

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

( l, P ) = 0 при P G P m ( H), где P m ( H) = P m П H.              (3)

Далее будут приведены примеры пространств H и соответствующих им P m ( H ) , в частности, связанных с функциями, заданными на ограниченных множествах цилиндрических и конических поверхностей.

Теорема 1, как и некоторые примеры пространств H, рассматриваемые в этой работе, были опубликованы ранее в статье [6]. Доказательство этой теоремы, приводимое здесь, отлично от доказательства в [6] и, по сравнению с ним, короче.

Полученные ниже результаты применимы непосредственно к теории приближенного интегрирования, если в формулах (2) и (3) l считать функционалами ошибок кубатурных формул, т. е. определенными равенствами

N

( l, f ) = / f ( x ) dx - V c k f ( x k ) •

Я            ^k =1

Здесь и далее: П — ограниченная область n -мерного арифметического пространства векторов x = ( x 1 , • • •, x n ); x k — точки из замыкания П, C k — постоянные, к = 1 , • • •, N = 1 , N^ Условие (3) в случае функционалов (4) равносильно точности соответствующих кубатур-ных формул на многочленах из P m ( H ) • Если A, B — подпространства некоторого линейного топологического пространства X, то будем обозначать A + B = {x : x = a + b, a E A, b E B}

Следующие две теоремы [7] относительно целей настоящей работы имеют вспомогательное значение.

Теорема 2. Пусть A — замкнуто, a B — конечномерно. Тогда A + B — замкнутое подпространство

Tеорема 3. Предположим, что A и B — такие замкнутые подпространства банахова пространства X, что X = A + B^ Тогда при некоторой постоянной y > 0 каждый вектор x ∈ X допускает представление в виде x = a + b, где a E A, b E B и ||a||x + ||b||x < Yl|x||x •

Приведем необходимые сведения [1, 8], относящиеся к пространствам С.Л. Соболева W m (П) • Здесь и далее: p, m — числа, p E [1 , to ) , m — натуральное.

W m (П) — линейное пространство функций f, заданных в П , обладающих там всеми обобщенными производными порядка m c конечной полунормой

WJ H/m(я) = ||f (x)Нлу(я) = ||f (x 1, • • • ,xn)Нлу(я) = nn

X-X

Я L > 1 = 1    j m =1

∂ ^m f

∂x j ₁ ···∂x j _m

⁽ x )^

-I Р/ 2

dx

1 /p

Оно становится линейным нормированным пространством, если задать проекционный оператор П , проектирующий W m (П) на все P ^т , в P ^m ввести норму || • || р m и положить

||f|| _w m (Я) = [ || П f HPm + Hf \\ L m (Я) ] ^{1 /Р} •                            (6)

Считаем далее П выбранным так, что пространство W m (П) полно.

В любом конечномерном пространстве все нормы эквивалентны. Отсюда следует, как увидим из доказательства теоремы 1, что конкретный вид П не имеет значения.

Доказательство теоремы 1. Необходимость условий (3) для теоремы, а в случае

P m ( H ) = P m                               (7)

и их достаточность, вытекают непосредственно из формул (5) и (6).

Предположим, что: H — замкнутое подпространство W m (fi) , не удовлетворяющее равенству (7); l — линейный ограниченный функционал на H.

Будем доказывать достаточность условия (3) в теореме. Предположим, что оно выполняется.

Определим в W m (fi) подпространство H = H + P m . Оно замкнуто по теореме 2, а поскольку W m (fi) предполагается банаховым, то и полно.

Продолжим l с H на H до функционала l, полагая при x = a + P, a E H, P E Pm (l, x) = (l, a).

Непосредственно проверяется, что функционал l будет линейным.

Пусть γ — постоянная, существование которой утверждает теорема 3, соответствующая в ней A = H, B = Pm. Тогда при x вида (8) получим

I ( l,x ) | = | ( l, a ) | <  II I II h . ||а|| н = || 1 || h * ||а|| н <  y II^ h * || x |I h .                    (9)

Здесь H ^∗ — сопряженное пространство H.

Из неравенств (9) следует ограниченность l в H. Так как P m ( H ) = P m , и теорема для H, удовлетворяющих равенству (7), верна, то существует постоянная K — такая, что

I ( l,x ) |< K||x|| _L ™ (_П) при x E H.                             (10)

Но

( l, f ) = ( l, f ) при f = x E H.

Отсюда, и из неравенств (10) вытекает оценка (2) при P m ( H ) = P m .

Следовательно, теорема верна.

Замечание 1. Если проекционный оператор П из определения нормированного пространства W _p ^m (fi) отображает H в P ^m ( H ) , то справедливость теоремы 1 вытекает непосредственно из формулы (6).

Пусть pm > n, область fi c замыканием fi и проекционный оператор П, определяющий нормы (6), таковы, что пространства Wm(fi) полны и справедлива теорема вложения Соболева из Wm (fi) в C(fi), где C (fi) — пространство непрерывных в fi функций f c llf ||с (n) = maX {lf (x) |}.

xE П

Класс областей fi , для которых существует оператор П с данными свойствами, является широким, причем за П можно брать шаровые проекционные операторы [1, 8]. При таких П норма (6) на линейном пространстве W m (fi) эквивалентна следующей

^{11 f 11} w m (n) =

у If ( x ) | p dx + llf Il L m („) n

1 /p

При этих условиях функционалы ошибок кубатурных формул l вида (4) будут ограничены в W m (fi) и, если они удовлетворяют условиям (3), то будет определена следующая норма

II ^ II l ™ * ( н ) = ^{sup {| (} l,f ) \}/\\J L (я) , p         fен\ 0

а погрешность вычислений по соответствующей l кубатурной формулы оценивается так

I ( l,f ) I1||l_p™*(н)IIf IIl™(я) при f Е H.                          (12)

Для использования неравенств (12) при оценках погрешностей приближенного интегрирования функций из H необходимо описать множество P ^m ( H ) и убедиться, что на нем соответствующие кубатурные формулы точны.

Сказанное сейчас может быть обобщено на весовые и эрмитовы (содержащие значения производных) кубатурные формулы.

Замечание 2. Теорема 1 остается верной, если в ее формулировке W m (fi) заменить на пространство из тех же элементов с нормой, эквивалентной (6), например, на W m (fi) c нормой (11).

Оставшаяся часть статьи будет посвящена, главным образом, описанию P ^m ( H ) для различных пространств H интегрируемых функций.

Следующий пример при n = 2 связан с функциями, заданными на цилиндрических поверхностях в трехмерном пространстве.

Пример 1. Пусть натуральное число s < n ; a i , i = 1 , n — положительные числа; fi = fi( a i ,... ,a n ) = { ( x i ,.. .,X n ) : |x i | < a i , i = 1 ,n} ; D s = { ( x 1 ,... ,X n ) : |x i | < a i , i = s + 1 ,n}.

Через H обозначим подпространство W m (fi) , образованное сужениями на fi функций, заданных на D _s , периодических там с периодами 2 a i по переменным x i , i = 1 , s, имеющих во всех ограниченных областях D _s обобщенные производные порядка m.

Теорема 4. Если H — пространство из примера 1, то P ^m ( H ) — совокупность многочленов из P ^т , зависящих только от переменных x i , i = s + 1 , m.

Доказательство. Введем переменные y = ( x 1 ,..., x s ) и z = ( x s ₊₁ ,..., x _n ) .

Если многочлены из P ^m зависят только от z, то они принадлежат P ^m ( H ) . Покажем, что других элементов P ^m нет.

Пусть многочлен P ∈ P ^m . Тогда его можно записать в виде

P ( x ) = X y ^e P e ( z ) ,                               (13)

|β|

Обозначим через д = (д 1,... ,д_s) некоторый вектор-индекс, соответствующий ненулевому слагаемому в сумме (13) с наибольшей степенью относительно y.

Предположим, что P Е P^m(H) и |д| > 0. Тогда некоторая координата д > 0. Для определенности будем считать, что д 1 = 0. Другие случаи координат д, не равных 0, могут быть рассмотрены аналогично.

Из периодичности P по переменной x 1 с периодом 2a 1 следует, что должно выполняться равенство д 1^1 1

-------1

^1 _Чэ^22T

С/x i    x2 2

x i — a i

д ²I¹

-------i--------------P ( x )

21 -1   22      2s

Lz x i    xx 2     xs

x1—a1

Значения производных из формулы (14) на слагаемых правой части равенства (13) при в = М равны 0, а если в = М, являются нечетными функциями относительно переменной x 1. Следовательно P^ (z) = 0, когда д = 0.

Отсюда следует теорема 4.

Замечание 3. Аналогично примеру 1 рассматривается случай периодических по всем переменным xi функций с периодом 2ai, i = 1, n, заданных в области П из этого примера. В нем Pm (H) состоят лишь из констант.

Следующее ниже обобщение теоремы 4 посвящено лишь двумерному случаю.

Пример 2. Пусть числа a 1, a2 > 0; а, в — функции, заданные на (—го, го), непрерывные там с периодом 2a 1 и удовлетворяющие неравенствам

а(x) < -a2 < a2 < в(x) при x Е (го, го)

D = {(x,y) : а (x) <у < в (x)}; По = {(x, у) : |x| < a 1, а (x) (x)}.

Через Hо обозначим подпространство Wm(По), образованное сужением на По функций, заданных на D, периодических на нем с периодом 2a1 по переменной x, обладающих суммируемыми в степени p обобщенными производными порядка m в любой ограниченной области из D.

Теорема 5. Pm(Hо) состоит из многочленов, зависящих от переменной у.

Доказательство. Многочлены, зависящие только от y, степени ниже m, принадлежат Pm (Hо).

С другой стороны, многочлены, зависящие от x, не могут принадлежать Pm(Hо), так как из включения

П = П(a 1, a2) = {(x,y) : |x| < a 1, |y| < a2} С По                      (15)

вытекает, что Pm(Hо) С Pm(H), где H — пространство из теоремы 4, соответствующее области П в формуле 15.

Поэтому, из теоремы 4 следует теорема 5.

Следующий далее пример связан с задачами приближенного интегрирования функций, заданных на секторах.

Пример 3. Множества Pm, как и пространства Wm (П), будем считать состоящими из функций двух переменных — x, y.

Введем полярные координаты г, у : r = ^x²+ у², x = r cos у, у = r sin у, а многочлены P(x,y) Е Pm будем обозначать P{г, у}.

Считаем a, b, ф такими числами, что 0 < a < b, у Е (0, п).

Положим: D — совокупность {г, у}, у которых a < r < b; П — множество точек {г, у} Е Е D, где у Е (—ф, ф).

Через H обозначим подпространство Wm(П), образованное сужениями на П функций, заданных в D, периодических там с периодом 2ф по полярной координате у, имеющих в любой ограниченной области из D суммируемые в степени p обобщенные производные порядка m.

Tеорема 6. а) Пусть γ, n — натуральные числа, не имеющие общих делителей ф = Y п, 0 <у

Тогда Pm(H) состоит из многочленов следующего вида m— 1

P{г, v} = Q (r) + X rkПк (V), к= 1

где

[( т-1) / 2]

Q⁽r) =   X cj^{r 2}j,

j=0

nk (V) = 0 при к < n,

^[k/n 1

Пк(V) = X [м^ cos(tnv) + P^ sin(tnv)] , t=1

Cj ,j = 0, [(m — 1) / 2], ^1^,k, ^2^,kk =1 ,m ~ 1, t =1, [ k/n ] -постоянные.

б) При ф, не имеющих вида (16), P^m(H) состоит из многочленов вида (17).

Доказательство. Пусть многочлен Pm (H). Представим его в виде т—1

P^{r,V^} = X r^kPk⁽V),                              ⁽¹⁸⁾

k=0

где Pk (V), к = 0, m — 1, однородные тригонометрические многочлены относительно совокупности cos v, sin v степеней к.

Лемма 1. Pk(V), к = 0, m — 1, периодичны по V с периодом 2ф.

Доказательство. Утверждение леммы очевидно при к = 0. Будем считать к > 0.

Рассмотрим вначале случай к = m — 1.

Пусть P е Pт—1(H). Тогда P периодичен по полярному углу с периодом 2ф. Поэтому т—1

я т_! P{r,V}     = ~ m_x P{r,V}(19)

т—1

dl            ^=t   dl            ^=t +2 m при всех т е (^, ^). Отсюда и из равенства (18) следует

Pm —1(Т) = Pm —1(Т)(Т + 2ф) .(20)

Так же как равенства (20) и (19) получаем m—2

gm—2 [^P{r,V} — r^m-¹Pm—1(V)]     = ^m-2 [^P{r,V} — r^m-¹Pm — ,(V)]

^dr                              _V=т   ^dr                              _V=т+2 ^

Pm — 2( Т ) = Pm — 2( Т)( Т + 2 ф ) .

Далее, последовательно вычитая из P многочлены высших степеней из правых частей равенств (18) и дифференцируя, аналогично выводу формул (20) и (21) находим индукцией по k, что

Pk (Т ) = Pk (Т + 2 ф), к =1 ,m — 1.

Следовательно, лемма верна.

Применяя к однородным тригонометрическим многочленам степени k, суммой которых являются Pk, к = 2, m — 1, к — 1 раз формулы тригонометрии

2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A — B), 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A — B),

2 sin A sin B = cos( A — B) — cos( A + B), можно Pk представить в виде

k

Pk (y) = c^k + X[as cos(sy) + bk sin(sy)],                       (22)

s =1

где ck, as, bk, s = 1, k — постоянные. Представление (22) верно и при к = 1 с c¹= 0.

Будем далее опираться на известные свойства преобразования Фурье F обобщенных функций [9]. Аргументами оригинала и изображения будут ϕ, x.

Обозначим: F(Pk) = P_k.

Так как F(1) = 2п5(x) и

F(sin(sy)) = — in[5(x + s) — 5(x — s)], F(cos(sy)) = n[5(x + s) — 5(x — s)], где δ — обобщенная функция Дирака, то, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенств (22), находим, что s

Pk (x)= У Xs 5(x — s),(23)

k= — s где Xs, s = —к, к — постоянные. Отсюда имеем e2ni^xPk(x)= XX xke2nis^5(x — s).(24)

k = — s

Лемма показывает, что

Pk (x ) = e2 ni^xP k (x).(25)

Из равенств (23) и (24) следует, что формула (25) может быть справедлива, если при всех s = —к, к таких, что Xs = 0, выполняется e2 nis^ = 1.(26)

Пусть выполняются условия (16). В этом случае формула (26) верна тогда и только тогда, когда s^n—1 — целое число. Отсюда и из равенства (23) получим k =[ k/n ]

Pk (x )= X Xkn5 (x — tn).(27)

t = — [ k/n ]

Если k ≥ n, то формулу (27) можно преобразовать к виду

^[k/n]

Pk (x) = ^kF(1) + X [^1kF(cos(tny)) + ^2’kF(sin(tny))], t =1

где ^^k, ^1^k, p^k, t = 1, [к/n] — постоянные.

Следовательно,

^[k/n^]

Pk(ф) = pk'X [p1^,k cos(tnф) + p^k sin(tnф)].                      (28)

t=1

Заметим попутно, что из вывода формулы (28) не видно непосредственно, что в ней числа pk, pt , pt являются действительными. Они не могут быть не действительными потому, что правая часть ее действительна, как равная Pk (ф), а совокупность функций, состоящая из cos(tnф), sin(tnф), t = 1, [k/n] и 1 линейно независима на любом интервале.

Если k < n, то из формулы (27) вытекает, что Pk — константы µ^k из формулы (28). Когда к — нечетные, эти pk = 0, так как rk не являются многочленами.

Непосредственно проверяется, что все слагаемые правой части формулы (28) — периодические функции ф с периодом 2ф, где ф — величины из (16).

Аналогично устанавливается теорема в случае "б". При этом учитывается, что в нем равенство (26) не выполняется при целых s.

Следовательно, теорема верна.

Замечание 4. Так как в формуле (16) n > 2, то при ф из нее, как и в случае "б" теоремы, Pm (H) не содержит однородных многочленов степени 1. Поэтому при m > 1 Pm (H) = Pm.

Замечание 5. При n > m и ф вида (16) Pm(H) состоит из многочленов вида (17).

Пример 4. Пусть m = 3, ф = 2-¹. Тогда P^m (H) состоит по теореме 6 из многочленов

P{r, ф} = A + Br²+ (C cos(2ф) + D sin(2ф))r², A,B,C,D — const. (29)

Непосредственно проверяется, что множество многочленов вида (29) — это совокупность многочленов от x, y степени не выше 2, не содержащих одночленов первой степени.

Замечание 6. Аналогично тому, как в двумерном случае была получена теорема 5, теорема 6 может быть обобщена с рассматриваемых в ней областей П на области П_о, заданные ниже с помощью периодических с периодом 2ф, ф Е (0, п), непрерывных и неотрицательных на всей числовой оси функций α, β следующих видов:

• а)    П — множество точек {r, ф} таких, что а(ф) < r < в(ф), |ф| < ф. При этом предполагаем, что max а (ф) < min в (ф).

^Е (— ^ф^)        ^Е (— ^ф^)

• б)    По — совокупность {r, ф} Е П, у которых |ф| < ф.

Считаем область П далее такой, что при pm > n                                  (30)

верна теорема вложения из Wm(П) в C(П). Предполагаем, что числа p и m удовлетворяют (30).

Теорема 7. Пусть множество n С П не лежит на гиперповерхности порядка ниже m; H — множество функций из Wm (П), равных 0 на n- Тогда P^m (H) = 0.

Данная теорема является непосредственным следствием того обстоятельства, что условие на n из нее необходимо и достаточно, чтобы не существовало элемента P^т\0, равного нулю на η [10]. Условие (30) — необходимо, чтобы были определены значения функций из W_p^m (П) в точках n.

Следствие. Если l — функционал ошибок кубатурной формулы вида (4), H — пространство из теоремы 7, то оценки вида (2) всегда существуют при любых l такого вида.

Замечание 7. Оценки погрешностей приближенного интегрирования функций из пространства H с P^m (H) имеют следующий недостаток.

Даже незначительные изменения коэффициентов кубатурных формул (например, связанные с округлением десятичных дробей, выражающих их значения), точных на многочленах из Pm(H), могут нарушать эту точность. Также малая погрешность вычислений значений интегрируемых функций в узлах формул может сделать невозможным пользоваться для оценок погрешностей неравенствами вида (2).

Этого недостатка нет у H при Pm (H) = 0, например, H из теоремы 7.

Интегрируемые функции f обычно не принадлежат P^m . В этих случаях для получения оценок приближенного интегрирования вида (2) можно выбирать H, содержащие f такими, что Pm (H) = 0. В некоторых случаях перед применением кубатурных формул можно из f вычесть многочлен, после чего она будет принадлежать H с P^m (H) = 0.

Пример 5. Пусть П, a1,..., an — область и числа из теоремы 4, H — множество периодических функций из замечания 3, pm > n, x0 — некоторый узел кубатурной формулы, соответствующей функционалу ошибок l вида (4). Так как mes П = 2na 1 an и j f (x)dx = 2na 1

я

anf (x0) + I[f (x) - f (x0)]dx, я то, если совершить переход от пространства H к его подпространству Hо = {g : g Е H, g(x0) = 0} с Pm(Hо) = 0 из теоремы 4, получим при некоторой постоянной K оценку

|(l(x),f(x) - f(x0))I < KIlf (x) - f (x0)||Lm(Я) = KIlf ||Lrn(Я), которая будет корректна относительно малых изменений ck, f (xk), k = 1, N.

Замечание 8. Важными задачами, связанными с работами С. Л. Соболева по теории приближенного интегрирования, являются проблемы построения последовательностей решетчатых кубатурных формул, зависящих от шага сетки узлов h, асимтотически оптимальных в подпространствах H пространств Lm (П) [1-5]. Последовательности функционалов ошибок таких формул {l^h} называются асимптотически оптимальными в H.

Пусть {lh} — асимптотически оптимальна в H, Дh — разностные операторы с носителями, принадлежащими множествам узлов кубатурных формул, соответствующих l^h, равные 0 на P^т. Тогда, если числа А(h) достаточно малы по абсолютной величине, то {lh + А(h)Дh} будет асимптотически оптимальной в H.

Теорема 1 позволяет указанным выше способом строить новые асимптотически оптимальные последовательности кубатурных формул в H, если Дh равны 0 на P^m (H). Следовательно, её применение позволяет при m > 1, так как тогда P^m шире P^m (H), расширить класс асимптотически оптимальных последовательностей кубатурных формул, если н=Lm (п) .

Замечание 9. В списке литературы работы [6] название статьи [5] было приведено неточно. В нем вместо слова "решетчатых" было написано "развертывающихся".

Работа поддержана аналитической целевой программой Министерства образования и науки РПН.3.1.1.5349, РФФИ, грант № 07-01-00326.

Автор благодарит к.ф.-м.н. Сидорову Т. В. за помощь при подготовке текста этой статьи.