О влиянии эффекта Доплера на работу модемов сигналов OFDM

Модемы сигналов с использованием ортогональных поднесущих OFDM (Orthogonal Frequency-Division Modulation) находят широкое применение в различных системах передачи цифровых сообщений по радиоканалам (цифровое телевидение, спутниковая связь и т.д.). Скорость передачи сообщений у модемов сигналов OFDM значительно выше, чем у модемов, использующих другие виды модуляции сигналов [1; 2; 3]. В работах [4; 5] рассмотрены вопросы влияния на работу модемов сигналов OFDM условий распространения сигналов OFDM в радиоканалах с многолучевостью и замираниями сигналов. В данной статье проводится анализ влияния на работу модемов сигналов OFDM эффекта Доплера. Этот эффект проявляется при взаимном перемещении передатчика и приемника в пространстве на скоростях, при которых происходит смещение частотного спектра принимаемого сигнала OFDM. По результатам анализа приводятся количественные оценки влияния эффекта Доплера на работу модемов сигналов OFDM и даются рекомендации по уменьшению и устранению влияния этого эффекта на работу таких модемов.

Принципы построения модуляторов OFDM

В модемах OFDM в радиоканале с полосой П размещают N ортогональных поднесущих, разнос между поднесущими F_p = 1/ T , где Т – интервал ортогональности, равный длительности передачи варианта сообщения на k -ой поднесущей с частотой:

Л = f0 + kFp, где f0 – нижняя частота спектра сигнала OFDM;

k = 0,1,2,3 ... N - 1 - номера поднесущих частот.

Каждая поднесущая может быть сформирована в действительном или в комплексном виде (в квадратуре). В действительном виде это одна компонента (синусоида или косинусоида), в комплексном виде это две компоненты (синусоида и косинусоида). Генератор k -ой поднесущей в комплексном виде будем называть косинусно-синусным генератором (КСГ). Отметим, что синусоида и косинусоида одной частоты являются ортогональными функциями на длительности периода этих функций.

При действительном виде поднесущей применяется относительная фазовая модуляция этой поднесущей за счет изменения фазы сигнала на угол π на очередном временном интервале Т по отношению к предыдущему временному интервалу (ОФМ-1). При комплексном виде поднесущей применяется относительная фазовая модуляция обеих компонент на угол π , называемая квадратурной относительной фазовой модуляцией (ОФМ-2).

При балансной амплитудной модуляции обеих компонент поднесущей суммарный сигнал двух модулированных по амплитуде квадратурных компонент представляет собой сигнал с квадратурной амплитудной модуляцией (КАМ). В зависимости от возможного числа уровней амплитуды обеих компонент поднесущей различают следующие виды КАМ: КАМ-16, КАМ-64,

КАМ-256 и т.д. Числа 16, 64 и 256 соответствуют числу точек М в созвездии сигнала КАМ, оно равно числу вариантов передаваемого сигнала на каждой комплексной поднесущей. При модуляции ОФМ-1 число M = 2, а при модуляции ОФМ-2 число M = 4. От числа М зависит количество бит информации V , передаваемых за длительность Т передачи варианта сообщения на k -ой поднесущей:

V = log 2 M .

В цифровых модуляторах OFDM частота дискретизации F_Д выбирается из условия, чтобы на интервале Т размещалось N отсчетов сигнала OFDM. Тогда частота дискретизации будет равна:

F_Д = N / T = N • F p .

Комплексный цифровой сигнал на выходе k -ого КСГ при использовании модуляции КАМ будет равен:

S k ( n ) = S k ’ exp ( j2 n nk/N ) , где            exp ( j 2 n nk/N ) =

= cos ( 2 n nk/N ) + j • sin ( 2 n nk/N ) .

Это выражение описывает цифровую комплексную поднесущую на выходе k -ого КСГ, где n = 0,1,2,3... N - 1 - номера отсчетов комплексного цифрового сигнала на выходе k -ого КСГ на временном интервале Т . Символы S_k определяют передаваемый двоичный код на k -ой частоте, они задаются парой чисел A_CK и A_SK , определяющих амплитуды косинусной и синусной компонент КСГ. Число A_CK умножается на косинусную компоненту КСГ, а число A_SK умножается на синусную компоненту КСГ. При использовании в КСГ модуляции ОФМ-1 число A CK = 1 или A CK = - 1, а число A SK = 0, при модуляции ОФМ-2 число A CK = 1 или A CK = - 1, число A SK = 1 или A SK =- 1. При модуляции КАМ-16 числа A_CK и A_SK определяются из таблицы 1 в соответствии с созвездием КАМ-16 [5].

Сумма отсчетов цифровых сигналов с выходов всех КСГ на n -ом отсчете будет равна:

N - 1

s ( n ) = N ^{- 1} ^ S k exp ( j 2 n nk/N ) .     (1)

k = 0

Здесь суммирование осуществляется по всем КСГ с номерами k от 0 до N - 1. Это выражение соответствует формуле вычисления обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ). Далее отсчеты s ( n ) поступают на цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), затем на повышающий преобразователь частоты, усилитель мощности и на антенну передатчика.

Таблица 1. Соответствие передаваемого кода и уровней амплитуды косинусной и синусной компонент КСГ на k -ой поднесущей при КАМ-16

Передаваемый код	Число ACK	Число ASK
0000	1	1
0001	1	3
0010	1	– 1
0011	1	– 3
0100	3	1
0101	3	3
0110	3	– 1
0111	– 3	– 3
1000	– 1	1
1001	– 1	3
1010	– 1	– 1
1011	– 1	– 3
1100	– 3	1
1101	– 3	3
1110	– 3	– 1
1111	– 3	– 3

Принцип работы демодуляторов OFDM

В демодуляторах сигналов OFDM вначале с помощью преобразователя понижается частота принятого сигнала, затем с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) из него формируются отсчеты s ( n ), как на выходе модулятора сигнала OFDM. Затем по формуле вычисления прямого дискретного преобразования Фурье (ПДПФ) вычисляются символы S_k .

N - 1

^S k = Е ^s ( ⁿ ) exp (^{- j2 n nk}/^N ) . (2) k = 0

Они определяются парой чисел A_CK и A_SK амплитуд действительной косинусной и мнимой синусной компонент КСГ. Далее в соответствии с таблицей 1 по значениям чисел A_CK и A_SK формируются двоичные коды, принятые на k -ой частоте сигнала. Отметим, что вычисления формул (1) и (2) можно выполнять по алгоритму быстрого преобразования Фурье (БПФ), который значительно уменьшает вычислительные затраты при реализации цифровых модемов на основе БПФ по сравнению с модемами на основе КСГ [6; 7]. Но принцип работы этих типов модемов одинаков и описывается формулами (1) и (2).

Влияние эффекта Доплера на работу демодуляторов OFDM

За счет взаимного перемещения передатчика (модулятора) и приемника (демодулятора) происходит смещение спектра сигнала в приемнике на величину доплеровского сдвига FСд = fcv/c, где fc – частота сигнала, v – взаимная скорость перемещения передатчика и приемника, с – скорость распространения радиоволн, c = 3 -108 м/с. Например, при частоте сигнала /c = 500 МГц и v = 300 м/с величина доплеровского сдвига FСД = 500 Гц. Т.к. скорость v – величина векторная, поэтому при сближении передатчика и приемника скорость v больше нуля, а при удалении передатчика и приемника друг от друга скорость v будет меньше нуля. По этой причине и доплеровский сдвиг частоты FСД может быть положительным или отрицательным.

Рассмотрим, как повлияет сдвиг спектра принимаемого сигнала на величину F_СД на работу демодулятора OFDM. Для этого опишем работу демодулятора сигнала OFDM на частоте f_k . При модуляции КАМ на вход демодулятора поступает сигнал OFDM вида:

N - 1

x ( ^t ) = Е ( A CK cos (^o k t ) + A SK sin ( ° k t ) ) , (3) k = 0

где o k = 2 n f k t - угловая частота k -ого КСГ.

Отметим, что если сигналы x 1 ( t ) и x ₂ ( t ) ортогональны на временном интервале Т , тогда определенный интеграл от произведения этих сигналов на интервале Т равен нулю.

Если эффект Доплера отсутствует, то при синхронной и синфазной работе КСГ на передающей и приемной стороне на выходах k -ого КСГ демодулятора формируются сигналы:

c ( t ) = 2cos ( o _kt ) , s ( t ) = 2sin ( o _kt ) . (4)

Тогда с учетом условия ортогональности результаты интегрирования произведений x ( t ) c ( t ) и x ( t ) s ( t ) на временном интервале ортогональности поднесущих Т будут равны:

T

X ck = T ^{- 1} f x ( t ) c ( t ) dt = A c _K , (5) T ⁰

X SK = ^T ' f ^x ( t ) ^s ( t ) ^dt = A SK . (6) 0

Сигналы A_CK и ^A SK являются выходными сигналами канала демодулятора на частоте f_k . Далее по значениям сигналов A_CK и A_SK в соответствии с таблицей 1 формируются кодовые комбинации на выходе k -ого частотного канала. Из выражений (5) и (6) следует, что благодаря ортогональности поднесущих всех КСГ на интервале ортогональности Т многочастотный модем OFDM работает как одночастотный модем.

Теперь рассмотрим работу демодулятора сигнала OFDM при наличии доплеровского сдвига спектра частоты сигнала на величину FСД. Для этого преобразуем следующие два выражения, описывающие работу демодулятора OFDM на одной из поднесущих частот сигнала:

( A_CK cos ( o 1 1 ) + A SK sin ( o 1 1 ) ) • 2cos ( o 1 1 ) =

= A_CK cos ( o 1 1 ) • 2cos ( a ₂ 1 ) +

+A„ к sin (at) • 2cos (at) = Ar к cos (a - o2 )t + (7) SK  12CK12

+Arк cos (a + a) t + A?к sin (a - a) t + CK   12   SK12

+ A SK sin ( a 1 + a ) t ,

( A_CK cos ( o t ) + A_SK sin ( o t ) ) - 2sin ( o ₂ 1 ) =

= A_CK cos ( o 1 1 ) - 2sin ( o ₂1 ) +

+ASK sin(o1t)- 2sin(o21)=

= - A „ sin (a - o) t + Ar sSin (a + o t + + CK     12    CK    12

+A?„ cos(o, - o2 )t - A„r cos(o, + o )t. SK     12    SK     12

Отфильтруем с помощью фильтров низких частот (ФНЧ) высокочастотные составляющие в сигналах (7) и (8) и получим на выходах ФНЧ только низкочастотные составляющие:

y_CtA_CK cos ₁₂ t

A_SK sin ₁₂ t,           (9)

y_StA_CK sin ₁₂ t

A SK cos 12 t.    .     (10)

Отметим, что при равенстве частот o 1 и o ₂ из выражений (9) и (10) получим значения y_C ( t ) = A_CK , y_S ( t ) = A_SK , т.е. тот же результат, что при отсутствии эффекта Доплера. При неравенстве частот o 1 и o ₂ проинтегрируем сигналы y_C ( t ) и y_S ( t ) на временном интервале от 0 до Т и получим:

T к = т -1 A г cos (а - a t+ + A? г sin (а - a tndt = SCK12  SK12

= ACK sin а/а + ASK (1 - cos а)/а,(11)

T

К = T~1 A„rcos(a - a ti - Ar. sin (a - a\tddt = SSK12  CK12

= ASK sinа/а - ACK (1 - cos»)/а.(12)

В выражениях (11) и (12) обозначены o2 = ok, ω1 = ωk + 2πFСД , α = (ω1 – ω2)T = 2πFСД/Fp – нормированный к разносу частот поднесущих в сигнале OFDM доплеровский сдвиг частоты. При отсутствии доплеровского сдвига частоты величины FСд = 0 а = 0, тогда неопределенности вида 0/0 в сомножителях sin а/а и (1 - cos а)/а определим при а = 0 по правилу Лопиталя и получим sin а/а = 1, (1 - cos а)/а = 0 . Таким образом, при отсутствии эффекта Доплера из (11) и (12) следует, что YC = ACK, YS = ASK , т.е. демодулятор OFDM точно восстанавливает передаваемые кодовые сообщения таблицы 1. При а > 0 точная работа демодулятора OFDM нарушается. Во-первых, за счет сомножителя sin а/а в первом слагаемом чисел YC и YS уменьшаются истинные значения чисел ACK и ASK , а за счет второго слагаемого на результат влияет амплитуда квадратурной компоненты сигнала с сомножителем (1 - cos а)/а , причем в числе YC она суммируется с первым слагаемым, а в числе YS она вычитается из первого слагаемого. В таблице 2 приведены значения сомножителей sin а/а и (1 - cos а)/а при различных значениях а. Отметим, что при а < 0 сомножитель sin а/а остается положительным, а сомножитель (1 - cos а)/а тоже становится отрицательным.

Таблица 2. Значения сомножителей ( 1 - cos а ) /а и sin а/а от нормированного к разносу частот поднесущих доплеровского сдвига частоты α = 2 πF_СД / F _p

а	0	П 6	П 3	П 2	П
sin а/а	1	0,95	0,83	0,64	0
( 1 - cos а )/ а	0	0,25	0,48	0,64	0,64

Полученные выражения (11) и (12) свидетельствуют о том, что эффект Доплера приводит к деформации созвездий сигналов OFDM на приемной стороне, что приводит к появлению ошибок в принимаемых сообщениях и даже к полной потере принимаемых сообщений. Из этих выражений можно получить количественные характеристики демодуляторов сигналов OFDM, такие как пороговые значения доплеровского сдвига частоты F_П , выше которого нарушается работа демодулятора и возникают ошибки в принимаемых сообщениях даже при отсутствии помех в канале.

Определение пороговых значений доплеровского сдвига частоты

Пороговое значение доплеровского сдвига частоты FП и соответствующее ему нормированное пороговое значение αП = 2πFП / Fp для вида модуляции КАМ поднесущих определим из условия, когда изменение уровня компонент YC и YS в выражениях (11) и (12) превысит значения AYC и AYS, при которых демодулятор сигнала OFDM воспроизведет ошибочную кодовую комбинацию, соответствующую соседней точке в созвездии сигналов КАМ. Рассмотрим модуляцию поднесущих по алгоритму КАМ-16, которому соответствует таблица 1. Отметим, что для определения пороговых значений αП достаточно воспользоваться одним из выражений (11) или (12) в силу их идентичности. Выберем выражение (11), из которого следует, что при нормированном значении а = 0 получается точное значение компоненты YCO = ACK , приведенное в таблице 1. Из-за доплеровского сдвига частоты произойдет изменение компоненты YC на величину A YC = YCO - YC. Подставим сюда значение YC из (11) и получим:

A Y C = A CK ( 1 - sin а/а ) - A SK ( 1 - cos a ) /a . (13)

Из полученного выражения (13) определим нормированные пороговые значения α_П для различных созвездий сигналов КАМ. Для сигналов КАМ-16 из таблицы 1 следует, что величина A Y C = 1. Подставим в (13) минимальное по модулю значение A CK = 1 и максимальное значение A SK = 3 и получим уравнение для расчета порогового значения α_П :

3cos α_П – sin α_П = 3.

Приближенное решение этого трасцендентно-го уравнения α_П = –0,666. Погрешность ошибки решения составляет 0,03. Знак минус в решении означает, что пороговый сдвиг по частоте отрицательный. Если подставим в (13) максимальные значения A CK = 3 и A SK = 3 , то при A Y C = 1 получим следующее уравнение:

sin α_П = cos α_П = 1+ 2 α_П /3.

Приближенное решение этого трасцендентно-го уравнения α_П = 0,666, это означает, что пороговый сдвиг по частоте в данном случае по величине такой же, что и в предыдущем случае, но по знаку положительный.

Проведем аналогичные вычисления для сигналов КАМ-64, КАМ-256 и КАМ-1024 и сведем результаты вычислений в таблицу 3. Из созвездий перечисленных сигналов следует, что для сигналов КАМ-64 максимальные значения ACK = 7 и A^ = 7, для сигналов КАМ-256 максималь-SK ные значения ACK = 15 и ASK = 15, для сигналов КАМ-1024 максимальные значения ACK = 31 и ASK = 31. Как показали приведенные выше расчеты для КАМ-16, пороговые значения доплеровского сдвига частоты могут быть как со знаком плюс, так и со знаком минус. В таблице 3 приведены пороговые значения доплеровского сдвига частоты только со знаком плюс.

Из таблицы 3 следует, что с увеличением плотности созвездия сигналов КАМ, когда расстояния между точками в созвездии уменьшаются, тогда и пороговые значения доплеровского сдвига частоты уменьшаются. Отметим, что при использовании в расчетах по формуле (13) нормированных созвездий сигналов КАМ, у которых максимальные значения AC г = 1 и A^ = 1, CK           SK , а значения AYC = ^3 для КАМ-16, AYC = 1/7 для КАМ-64, AYC = 1/15 для КАМ-256, AYC = 1/31 для КАМ-1024, результаты расчетов совпадают со значениями, приведенными в таблице 3.

Таблица 3. Пороговые значения доплеровского сдвига частоты для разных видов модуляции КАМ поднесущих сигнала OFDM

Вид модуляции	КАМ-16	КАМ-64	КАМ-256	КАМ-1024
α П	0,666	0,286	0,133	0,064
F П / F p	0,101	0,045	0,021	0,01

Заключение

Из материала статьи следует, что работа демодуляторов сигналов OFDM в каналах с эффектом Доплера при определенных условиях становится невозможной даже при благоприятной помеховой обстановке. В таблице 3 приведены результаты расчетов пороговых значений доплеровского сдвига частоты при модуляции поднесущих сигнала OFDM по алгоритму КАМ, при превышении которых нормальная работа демодулятора нарушается. Если в реальных условиях эксплуатации модемов OFDM доплеровский сдвиг частоты превышает приведенные в этой таблице пороговые значения, то на приемной стороне необходимо применить меры к устранению эффекта Доплера. Во-первых, в приемнике необходимо применять систему автоматической подстройки частоты (АПЧ) сигнала OFDM за счет автоподстройки частоты гетеродина приемника. В контуре управления системы АПЧ включен частотный детектор, который формирует управляющий частотой гетеродина приемника сигнал, пропорциональный величине и знаку доплеровского сдвига FСД. За счет этого сигнала частотный сдвиг FСД сигнала на выходе преобразователя частоты в приемнике уменьшается в коэффициент KАПЧ, например, при KАПЧ = 10 частотный сдвиг FСД уменьшается в 10 раз. Но для обеспечения когерентной работы всех КСГ модулятора и демодулятора в последнем необходимо применить систему фазовой автоподстройки (ФАП) в КСГ. В контуре управления ФАП включен фазовый детектор. В [8; 9; 10] приведены схемы и алгоритмы работы систем ФАП в устройствах цифровой обработки сигналов (ЦОС). Для обеспечения работы ФАП в демодуляторах в сигналах OFDM предусматривают специальные поднесущие, модуляция которых осуществляется по упрощенному алгоритму ОФМ-1, в которых отсутствуют квадратурные компоненты. Благодаря этим поднесущим осуществляется автоподстройка частоты и фазы всех КСГ в демодуляторе OFDM. Кроме того, в приемниках сигналов OFDM применяется система автоматической регулировки усиления (АРУ), обеспечивающая калибровку уровней сигналов ACK и ASK для нормальной работы решающих устройств по формированию принятых кодовых комбинаций при изменении уровня принимаемых сигналов. Применение описанных устройств в приемниках обеспечивает нормальную работу демодуляторов сигналов OFDM по радиоканалам с эффектом Доплера.