О возможностью MathCAD при решения контурных уравнений электрической цепи

Автор: Тиллабоев .к

Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j

Рубрика: Основной раздел

Статья в выпуске: 6-2 (12), 2016 года.

Бесплатный доступ

В данном статье анализируем возможности элементов теории графа и МathCAD при решении контурных уравнений электрических схем.

Электрические схемы, граф, дерево, хорды, матрица, слау

Короткий адрес: https://sciup.org/140269363

IDR: 140269363

Текст научной статьи О возможностью MathCAD при решения контурных уравнений электрической цепи

В данном статье анализируем возможности элементов теории графа и МathCAD при решении контурных уравнений электрических схем.

В работе [1] с помощью MathCAD решено узловых уравнений электрических схем. Нам известно, что узловые уравнения базировались на уравнениях первого закона Кирхгофа и закона Ома для электрической цепи. Их использования для расчёта установившегося режима электрической системы позволяет сократить порядок решаемой системы уравнений до (n-1) по сравнению с использованием системы обобщенных уравнений состояния [2], имеющей порядок m. Ещё одной возможностью снижения порядка решаемой системы уравнений является использование контурных уравнений, основанных на втором законе Кирхгофа и законе Ома. Возможность применения таких уравнений, количество которых равно числу независимых контуров (k=m-n+1), обусловлена тем, что по известным токам в хордах графа схемы замещения, число которых равно k можно однозначно определить токи в ветвях дерева графа и, тем самым -токи во всех ветвях.

Пакетные программы, с помощью которых появилась возможность решения математических задач (в том числе и других задач науки, описывающее такими же математическими моделями) без составления компьютерных программ [1,3]. В учебном процессе (иногда и в научных учреждениях) с помощью использования таких систем как MathCAD, Maple, Matlab, Mathematika и.т.д занятия становятся интереснее, осмысление содержания занятия более быстрое и глубокое а также на укрепление излагаемых понятий и на решение задач остаётся достаточно много времени. Из выше указанных систем, MathCAD - более проще чем остальные и она предназначена для технических вузов, а остальные, можно сказать, для профессиональных математиков. Именно в MathCAD задача формулируется в наиболее естественном математическом виде, а в других математических системах шаги алгоритма решения задачи записываются с помощью команд системы.

Для иллюстрации вышесказанного рассмотрим следующую

рис.1

На рис 2. данная схема показана в виде связанного направленного графа

Рис.2

Для    направленного

графа, Выбрав узел d в качестве показанного рис. 2, матрица M балансирующего, получим матрицу имет вид:

M из M путем исключения

+ 1

- 1

M z

-

0    + 1

- 1

+ 1

+ 1

- 1

- 1

0 a

+ 1   + 1 b

- 1

c

узлы

0   0 d

1    2   3    4   5    6

последней строки:

"+ 1

- 1

0

0

- 1

0

M =

0

0

- 1

0

+ 1

+ 1

-1

0

0

+ 1

0

- 1

ветви

Матрица M и N дают возможность записать уравнения состояния электрической цепи (узловых и контурных уравнений) в матричной форме.

Известно, что одной и той же электрической цепи в общем случае соответствует несколько различных систем независимых контуров, или, иными словами, одной и той же матрице M- можно поставить в соответствие несколько матриц N.

Однозначность в выделении системы независимых контуров, позволяющая получить матрицу N по матрице M, может быть достигнута при использовании таких понятий теории графов, как дерево и хорды.

Деревом называется наименьший связанной подграф, содержещий все вершины графа. Иными словами, дерево – это разомкнутая часть замкнутой схемы, которая соединяет все ее узлы. Ветви, не вошедшие в дерево схемы, называются хордами. Одна и та же схема может быть разделена на дерево и хорды по-разному. На рис.3 показаны один из вариантов разделения графа, изображенного на рис.2 на дерево и хорды.

дерево

хорды рис.3

В результате матрице

M, записанная первоначального при произвольной нумерации ветвей, путем перестановки столбцов преобразуется к виду.

M = [ M a M в ]

где M - подматрица (блок), относящаяся к дереву схемы, M - подматрица, характери-зующая подграф, состоящий из хорд.

+ 1 - 10 0   - 1   0

M = 0 0 - 10 + 1 + 1

+ 1 - 1

- 1  0  0

'----------V----------2 M a

+ 1  0

-

M a

0  0

V

M e

-

- 1

- 1

M e =

0   + 1

+ 1  0

+ 1

-

Выбранный вариант дерева удобен лишь тем, что не требует перенумерации столбцов полученной ранее матрицы M .

Для определения токов в хордах I р - получается k-взаимно независимых уравнений [2]:

Z. I k = E k - N Z b

Ma*

'

J

где   Zk = N • ZB • NT, I k = Ip квадратная неособенная матрица порядка k, называемая матрицей контурных сопротивлений, Ек - столбец контурных

ЭДС ,            J - столбец     задающих     токов

N = [Na Ne],    Na =-MTAMaY';  Ne = 1, Zb = diag(zt) - в      узлах, диоганальная

матрица сопротивлений ветвей. Решив уравнения (1) относительно I = I , можно определить токи в ветвях дерева схемы I по (2).

I a = M a J - M a1 M в I k        (2)

Приведём алгоритм задачи:

  •    данная  электрическая цепь преобразуется в виде графа

(определяются матрица M);

  •    граф разделяются на дерево и хорды;

  •    определяются       матрица                N               -

  • (N = [N. Ne],   N. =-M’.W;  Ne = 1 )^
  • определяется токов в хордах I р - с помощью уравнения (1);

  • определяется токов в дерево I - с помощью уравнения (2);

(при этом все операции над матрицами и векторами выполняется при помощью МаthCAD, система уравнения (1) и (2) решается внутренной функции Isolve.)

При исходных данных [4]: (именно эти данные берутся, чтобы сопоставить результаты)       z1=12 Om, z2=11 Om, z3=10 Om, z4=10 Om, z5=z6=5

Om, E1=20, E2=25, E3=15, E4=15, E5=E6=0 (, / = 0 - при отсутствии задающих токов в узлах, что отвечает схеме замещения, в которой электростанции представлены источниками напряжения, а нагрузки -сопротивлениями) в окне МathCAD введём следующие команды и получаем результаты:

' 1 -1 0 0-1 0

'1 -1 O>

<0-1 0)

M :=

0 0-101 1

ML :=

0 0 -1

MB :=

0 1 1

(-1 0 0 1 0 -lv

. -1 0 0 „

J о -J

NB

J 0 o'

0 1 0

,0 о L

zl := 12 z2 := 11 z3 := 10 z4 ;= 10 z5 := 5 z6 := 5 el := 20 e3 := 15 e4 := 15 e5 := 0 еб = 0

1 0 1 0 0> -11010 -1 1 0 0 1, e2 := 25

el

'zl

0

0

0

0

0

e2

0

z2

0

0

0

0

El :=

e3

e-

ZB :=

0

0

0

0

Zj

0

0

z-

0

0

0

0

ZK

T

:= NNZBNN

e5

0

0

0

0

z5

0

EK

:= NN-E1

0

0

0

0

-,

Полученные результаты совпадают с приведенными результатами [4]. (I 1 =1,78 I 2 =1,56 I 3 =0,62 I 4 =2,18 I 5 =0,22 I 6 =0,40). В заключении можно сказать что, при вычислении электрических схем, таким путём, схема преобразуется в виде графа, виделяются дерево и хорды и с помощью выше указанного алгоритма решается контурное уравнение. В этом работе особенно важный фактор является тот фактор, что без арифметических операций получаем результаты. Операции над матрицами и решения СЛАУ возложили на МathCAD.

Список литературы О возможностью MathCAD при решения контурных уравнений электрической цепи

  • Тиллабоев Ё.К, Хакимов Р.М, Холмирзаев И.А. Организация приближённого решения уравнений состояния электрической цепи в МathCAD Молодой учёный. № 9, (89), май, 2015 г. стр.44-48.
  • В.А.Веников и др. Математические задачи электроэнергетики. М., В.школа, 1987г.
  • Охарзин.В.А. Прикладная математика в системе Mat CAD. СПб, Лань, 2008г. -352с.
  • А.С.Каримов. Назарий электротехника. Т., “ЎАЖБНТ” маркази, 2003й.
Статья научная