О выборе максимального периода дискретности в частотном методе синтеза цифровой САР

Переход от супервизорного к прямому (непосредственному) цифровому управлению является современной тенденцией развития и совершенствования способов и средств управления сложными техническими объектами. При этом цифровые (микропроцессорные) САР являются подсистемами нижнего (исполнительного) уровня в составе многоуровневых САУ, где происходит наиболее быстрое и интенсивное взаимодействие непрерывного объекта управления (ОУ) с цифровой управляющей частью. Необходимая при этом скорость (частота) информационного обмена зависит как от инерционных свойств ОУ, так и от заданных требований к показателям качества САР Исходя из ограничений на быстродействие микропроцессорного вычислительного устройства (МП ВУ), эту частоту следует выбирать возможно меньшей, а соответствующий шаг дискретизации по времени (период повторения программы) Т_о- по возможности наибольшим. Очевидно также, что с целью «разгрузки» МП ВУ, нужно при динамическом синтезе ЦСУ стремиться к получению наиболее простого по сложности и объёму вычислений алгоритма управления.

Период (шаг) дискретизации То является весьма специфическим и важным параметром ЦСУ, так как от него зависят сложным, трансцендентным образом многие из коэффициентов дискретной модели «неизменяемой части» разомкну- той не скорректированной САР, а следовательно и показатели качества. Поэтому синтез цифрового алгоритма управления в общем виде, при неизвестном заранее значении То, оказывается возможным лишь в простейших, не имеющих практического значения случаях.

Обычно, в соответствии с какими-либо рекомендациями, задают конкретное значение Т_о, а затем аналитическим или частотным методом динамического синтеза ЦСАР определяют передаточную функцию цифрового корректирующего устройства ^Гцк_У(^). При необходимости (например, получен слишком сложный вид ^^(z), не выполняются ограничения на показатели качества и др.) расчет повторяют многократно для других, измененных значений Т_о до получения компромиссного, приемлемого для практической реализации результата.

Существуют различные рекомендации по выбору величины То при синтезе ЦСАР. Так, например, в [2] рекомендовано, в качестве начального приближения, частоту дискретизации (до⁼2п/Т_о назначать примерно в шесть раз больше частоты среза непрерывной части ЦСАР. А в методе аналогового прототипа [1], используемом для «переоборудования» непрерывной САР в цифровую, шаг дискретизации по времени назначается из условия То < 28фз/(0_Ср. Здесь о_ср - это частота среза, ф₃ - запас устойчивости по фазе (в радианах) для

аналоговой системы-прототипа, 8 - допустимая величина относительного уменьшения запаса по фазе ЦСУ по сравнению с прототипом (например, 8=0,1). Передаточная функция W^z^) получается из передаточной функции непрерывного корректирующего устройства РГнкуО?) в результате замены переменной р = 2(z-l)/(T₀(z+l)).

Если полученная величина Т_о оказалась слишком малой, a ^^(z) - сложным для реализации, то для расчета W^^z) при большем (или максимальном) значении Т_о следует применять методы теории дискретных САР [2, 3]. Однако эти методы также предполагают значение Т_о заданным и поэтому не дают конструктивного и удобного для практического применения способа расчета наиболее простого выражения для W^z) при максимально возможном значении Т_о.

Следует заметить, что эта задача логически противоречива, так как для расчета ЦКУ необходимо знать численное значение Г_о, а для определения максимально возможной величины 7₀ необходимо знать значения всех параметров дискретной модели приведенной непрерывной части ЦСУ, которые в свою очередь, зависят от величины Т_о. Поэтому такая задача, являясь важной и актуальной, может быть решена только (исключая тривиальные случаи) итеративным способом на основе некоторого эвристического (математически не обоснованного, приближенного) правила, позволяющего на каждом шаге итерации целенаправленно формировать вид передаточной функции ^(z), значения ее параметров и величину Т_о.

Формально, это будет задача минимизации сложности (порядка) W^z) при условии максимизации величины Т_о и заданных ограничениях на показатели качества ЦСАР.

циклической частоты о далее будем рассматривать абсолютную псевдочастоту X=(2/7o)tg(a)To/2), считая Х«ш для о<2/То. Метод относится к приближенным и основывается на следующих предположениях:

• 1)    псевдочастота среза для скорректированной разомкнутой цифровой системы Х_ср<2/7₀. Это условие не является слишком стеснительным, поскольку в подавляющем большинстве случаев оно является необходимым для обеспечения устойчивости и запасов устойчивости ЦСУ,

• 2)    псевдочастотная ЛАХ для скорректированной системы в окрестности Х_ср имеет «симметричный» вид с типовым наклоном среднечастотной асимптоты, равным -20 дБ/дек;

• 3)    непрерывная часть системы с передаточной функцией Wo^ не содержит колебательных и форсирующих звеньев, у которых частоты сопряжения о, (величины, обратные постоянным времени 71) расположены в окрестности частоты (псевдочастоты) среза Х_ср или правее ее;

• 4)    выражение для Ж₀(р) не содержит неминимально-фазовых или неустойчивых множителей.

Особенностью метода является то, что для высокочастотного диапазона желаемые логарифмические псевдочастотные характеристики (ЛПЧХ) системы не строятся, а вместо этого на каждом шаге расчета изменяется передаточная функция ^цку(м) и значение Т_о таким образом, чтобы обеспечить требуемую величину показателя колебательности М. Необходимые для этого проверки на очередном шаге расчета осуществляются с помощью приближенного неравенства В .А. Бесекерско-го относительно «малых» постоянных времени непрерывной части Т^ < TJ2.

Важно отметить, что рассматриваемый здесь метод не требует предварительного определения аналитических выражений для передаточной функции дискретного звена приведенной непрерывной части (ДЗ ПНЧ) и это делает задачу синтеза последовательного цифрового корректирующего устройства ненамного сложнее аналогичной задачи для непрерывной системы. Определение ^цку(м) и расчет требуемого значения То при этом проводится в следующей последовательности:

• 1.    Строится асимптотическая ЛАХ 7_о(со), соответствующая W₀(p).

• 2.    По требованиям точности и запаса устойчивости (точно так же, как это делается в [3] для непрерывной системы) строится низкочастотная часть «симметричной» желаемой ЛАХ и начальная часть ее среднечастотной асимптоты с типовым наклоном, равным -20 дБ/дек, до граничной псевдочастоты Xg^XqXl+AT¹). Здесь также считается, что Х^со. Эта псевдочастота задает нижний предел для величины 2/7₀, которой соответствует максимально возможный шаг дискретности Г_о^тах = 2/X_g. Окончательное значение шага дискретности по времени То будет всегда меньше этой величины.

• 3.    Для этого же частотного диапазона (0; X_g) строится частичная асимптотическая ПЧ ЛАХ ЦКУ. Это будет разность желаемой и исходной (обычно с выбранным по требованиям точности значением коэффициента усиления К) ЛАХ. Для нее определяется соответствующее выражение частичной (первоначальной) передаточной функции JFi(u), в котором порядок числителя будет всегда больше порядка знаменателя.

• 4.    Ориентируясь на получение наиболее простого физически реализуемого ЦКУ, его передаточную функцию сначала назначают в виде произведения ^цку(м)=^1(м)'^2(«)₅ где дополнительный множитель W₂ (z/) = П1 /(1 + иТ^Д ) вводится для выравнивания порядков числителя и знаменателя передаточной функции Ж^г/).

• 5.    Постоянные времени Т^Д , а также «малые» постоянные времени Т^Д в составе Ж₀(р) непрерывной части включают в левую часть условия В .А. Бесекерского

О выборе максимального периода дискретности в частотном методе синтеза цифровой САР

1^+^^ ^^~;- (1)

• 2 i i А_ср Az +1

Значения всехТ/¹ и Т^ здесь выбирают так, чтобы условие (1) выполнялось для всех Т^ < TV2. Если это удается сделать и значение Т_о не слишком мало, то расчет ЦКУ и выбор Т_о можно считать законченным. В противном случае, получившееся выражение для W^u) усложняют еще одним дополнительным сомножителем вида ^(m^O+mT^VQ + mT;^). Он приближенно компенсирует влияние на запас устойчивости по фазе наибольшей из числа «малых» постоянных времени непрерывной части Т^_ах, а Т^^ «подменяет» ее в неравенстве В.А. Бесекерского (1). Далее, значения То/2, Т^Д и Т^_ах снова выбирают из условия (1). Разумеется, что «скомпенсированная» таким образом постоянная времени Т^^ из дальнейших проверок исключается. Если при этом удается назначить То/2> Т" , то расчет ЦКУ считается законченным. В противном случае эта же процедура применяется для следующей по величине «малости» постоянной времени среди Т^ . Тогда выражение для W^u^) усложнится еще на один дополнительный множитель и т.д.

Необходимо отметить, что значения постоянных времени Т^Д и Т^^ в выражениях для дополнительно вводимых сомножителей в составе передаточной функции Жцку(г/) можно изменять в нужную сторону на любом шаге расчета.

ной для воспроизведения с максимальной допустимой относительной ошибкой еотн задающего сигнала Д/) при следующих исходных данных:

p(i+proxi+pT6)

где Т_а= 0,11 с; Т_ь= 0,009 с; М < 1,265; е^т 0,0058;

=1,7 В/с; = 2,9 В/с2.

Решение. Начальные этапы расчета ЦСУ, связанные с построением участков желаемой ПЧ ЛАХ, расположенных левее Х_ср, выполняются без учета дискретизации по времени. При этом используется метод В .А. Бесекерского и замена ДО на «эквивалентный гармонический сигнал» [3].

В этом частотном диапазоне будем ориентироваться на ЛАХ с типовыми наклонами асимптот «-20-40-20-...». Это позволяет по известным [3] формулам определить необходимую величину коэффициента усиления разомкнутой системы АМ 10, псевдочастбту среза Х_ср= 58 с^-1, постоянные времени Т_х =0,588 с и Т₂=0,083 с для частичной желаемой передаточной функции

^(м) = ^11^2)

• ^ж      w(l + w7i)

Определим наименьшее значение граничной псевдочастоты Х_ё=Х_ср(1+АГ¹)=104с~¹. Тогда частичная (первоначальная) передаточная функция для последовательного корректирующего звена будет иметь вид W_x(u)= [(l+z/T_a)(lMT₂)]/(l+z/Ti).

Поскольку порядок числителя Ж_х(и) получился больше порядка знаменателя, то усложним Ж_к(и) дополнительным сомножителем о+.уо^) 1

Здесь Т_х , а также Т^ выбираются из условия Бесекерского (1), которое в данном случае имеет вид То/2 + T_b + Т_х < 1/X_g= 0,00962. Отсюда следует, что То/2+ Т^ < 0,00962 - 0,009=0,00062.

В данном случае, при любом выборе Т^Д, условие «малости» для Ть выполняться не будет и ее нужно компенсировать, усложняя W_K(u) дополнительным множителем W₂ (и) = (1 + uT_b ) /(1 + иТ^Д ) .

Тогда W^u) примет следующий вид:

• _w ,_их ₌ (l + wT^Xl + uT^)   1    1 + иТ_ь

\ + иТ\ \ + иТ»\ + иТ^‘

Значения Тх, ТД и TV2 должны удовлетворять достаточному условию В.А. Бесекерского (1), т.е. TJ2+TX +ТД <1/Xg= 0,00962 с. В соответствии с этим назначим Т^2 =ТД = ТД = 0,0032 с. Тогда

То=О,ОО64 с и выражение для передаточной функции ЦКУ принимаем в следующем виде:

0400 =

(1 + 0,112/)(1 + 0,083м)   1 + 0,009г/

1 +0,588м      (1 +0,0032м)2 ‘

Компьютерным моделированием в программных пакетах VisSim и Mathcad получены следующие значения показателей качества синтезированной ЦСУ: а=25 %; ^=0,107 с; М = 1,23; запас по фазе ф₃= 0,9; запас по амплитуде L₃= 11,4 дБ.

Для сравнения, приведем результаты расчета, полученные для той же ЦСАР методом аналогового прототипа при То ⁼ 0,003 с и 8=0,1:

(1 + 0,11м)(1 +0,083м) 1 + 0,009м (1 + 0,5 88м)(1 +0,0032м) 1 + 0,006м '

Исследование ЦСУ показало, что для а=28%; время регулирования /_р=0,1 с; М = 1,28; запас по фазе ф₃= 0,84; запас по амплитуде L₃= 12 дБ.

Из результатов сравнения следует, что рассмотренный выше итерационный метод позволяет получить, при той же сложности ЦКУ, величину периода дискретизации по времени Т_о, в 2 раза более чем его значение, рассчитанное по методу аналогового прототипа. А это значит, что требования по быстродействию к МП ВУ (например, к микроконтроллеру), используемому для реализации управляющего алгоритма, будут в два раза ниже.

Заключение

Рассмотренный метод синтеза ЦСАР позволяет за несколько шагов расчета определить наибольший (из допустимых) шаг дискретизации Т_о при наименьшем порядке передаточной функции ЦКУ. При этом не требуется находить передаточную функцию дискретного звена приведенной непрерывной части.