О выпуклости потенциала модели нелинейной упругой среды с тензорным параметром поврежденности

Для решения задач теории упругости с использованием нелинейных моделей определяющее значение имеет вопрос выпуклости используемого потенциала и доказательство единственности решения. Настоящая работа посвящена определению условий локальной строгой выпуклости потенциала для модели нелинейной упругости, обеспечивающих единственность решения задачи в достаточно малой окрестности искомого решения. Рассматриваемая модель представляет собой обобщение скалярной нелинейной реологической модели деформирования хрупкого твердого тела на случай тензорного параметра поврежденности, главные значения которого описывают сокращение площади поперечного сечения материала в трех ортогональных направлениях. Дополнительное слагаемое второго порядка по деформации в упругом потенциале позволяет описывать зависимость упругих модулей от вида напряженно-деформированного состояния, дилатансию материала при сдвиговой деформации, а также нелинейный деформационный отклик уже при малых нагрузках. Введенный тензор поврежденности второго ранга позволяет описать индуцированную трещиноватостью анизотропию упругих свойств материала. В работе получены условия локальной строгой выпуклости в главных осях тензора деформации для общего случая несоосных тензора деформации и поврежденности. Для иллюстрации полученных условий выпуклости рассмотрены два частных случая вида тензора поврежденности: трансверсально-изотропная трещиноватая среда с соосными тензорами деформации и поврежденности, трансверсально-изотропная среда с наклонно-ориентированной трещиноватостью. Для обоих случаев показана зависимость предельных значений поврежденности от параметра степени анизотропии. Показано, что в случае слабой анизотропии поврежденности условия выпуклости потенциала для скалярного параметра поврежденности дают минорантную оценку предельно допустимой поврежденности для различных типов напряженно-деформированного состояния. Для наклонно-ориентированной трещиноватости построены зависимости предельной допустимой поврежденности от степени анизотропии, угла наклона и вида напряженно-деформированного состояния.