О выводе и вычислении функционалов в нелинейных статистических краевых задачах механики композитов
Автор: Макарова Елена Юрьевна, Соколкин Юрий Викторович
Статья в выпуске: 4, 2010 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается способ построения функционалов для микронеоднородных сред с учетом накопления структурных повреждений.
Статистическая краевая задача, механика композитов, квазиизотропные тела, эффективные модули упругости, функция грина, микронеоднородная среда, структурные повреждения
Короткий адрес: https://sciup.org/146211357
IDR: 146211357
Текст научной статьи О выводе и вычислении функционалов в нелинейных статистических краевых задачах механики композитов
В работе [1] устанавливается важное свойство микронеоднородных квазиизотропных тел, когда моделью сравнения является однородная сплошная среда с осредненными свойствами:
£ j = O ij «Р^ e ap ’ (1)
где £ j ( r ) - структурные деформации микронеоднородной среды; e j = (£ iA — макроскопические деформации микронеоднородной среды; ^ ijmn ( r ) — случайные модули упругости микронеоднородной среды; O j а р (0) - случайный функционал, зависящий от упругих свойств микронеоднородной среды.
В работе [2] указан метод вычисления моментов различных порядков функционала Ф ij а р ( 0 ) , позволяющий вычислять как эффективные свойства микронеоднородной среды, так и структурные поля деформирования. На основе полученного решения устанавливается важное свойство микронеоднородной среды: если упругие свойства микронеоднородной среды являются локально-эргодическими, то и поля деформирования микронеоднородной среды являются локально-эргодическими.
В работе [3] дается обобщение соотношения (1) на микронеодно-родные тела, когда моделью сравнения является микронеоднородная среда с регулярной структурой. Если микронеоднородная среда макро- скопически однородна и макроанизотропна, перемещения границы тела, имеющего конечные размеры, детерминированы, дисперсии физических свойств среды конечны, микродеформации регулярной среды в пределах структурного элемента - гладкие функции координат, то существует случайный функционал Ф(р)(0), не зависящий от граничных условий, такой, что пульсации структурных деформаций е (r) связаны со структурными деформациями в регулярной среде е( p) (r) соотношением е (r) = Ф(p^б)^p^r). (2) В этой же работе приводится общий метод вычисления функционала ф( p)(6) для микронеоднородных сред. Соотношение (2) позволяет получить более точные формулы для расчета эффективных свойств композитов. Для макроскопически однородной квазиизотропной среды в корреляционном приближении получаем следующие зависимости:
* ^ tjmn
( p ) * ° ° \
Ctjmn ^ tjy8v аРmn JJ уабр , где C*jmn - эффективные модули упругости композита; C^n* - макро скопические модули упругости регулярной среды сравнения; J*а8р -изотропный тензор четвертого ранга, зависящий от макроскопических модулей неоднородной среды сравнения с периодической структурой.
Аналогичные зависимости получаем для эффективных модулей упругости квазиизотропных композитов с учетом конечных дисперсий физических свойств среды:
* ( р )* ° ° \ ,*
C tjmn C tjmn ^ \ tj уб ° аД mn ]J уа 1 8р 1 ^ ’” ^
° ° ° ° * * *
ij У 8° а 1 р 1 У 1 8 1 ° а 2 р 2 У 2 б 2," ° а к р k mn[J У а 1 8р 1 J У 1 а 2 б 1 р 2" ' J У к - 1 а 2 8 к - 1 р к + ’”
Соотношение (3) представляет собой решение задачи, если соответствующие ряды сходятся. Сходимость рядов в каждом конкретном случае устанавливается непосредственной проверкой при заданных свойствах структурных компонентов [1].
Перейдем теперь к вычислению моментных функций второго порядка структурных деформаций. Перемножив уравнение (2), взятое относительно двух произвольно выбранных точек трехмерного пространства и применив оператор математического ожидания, находим моментную функцию второго порядка структурных деформаций:
L ijmn ( r l r 2) = F j ^rO ^ yS\ r 2) , (4) где через Ljmn ( r l , r 2 ) = ^£ ° j ( r l ) e ° mn ( r 2 )^ обозначена моментная функция второго порядка структурных деформаций; F mnqs = ^Ф^Ф ^Т Х) — коэффициенты, зависящие только от физических свойств элементов структуры.
Для квазиизотропной среды эти коэффициенты вычисляются в явном виде. Тогда из уравнения (4) получаем явные аналитические зависимости для моментных функций второго порядка структурных деформаций:
L jmn ( r ' . r" ) = J j J, *, K S" ( r ' . И ^ ( r ' ) = !" ( r" ) , (5)
где K ^p" ( r ' , r '' ) — моментная функция второго порядка структурных модулей упругости:
K S" ( r ' , r- ) =(e -NpP ( r ' , r- ) e - T5aP ( r ' , r- )) . (6) Если поля упругих свойств микронеоднородной среды (6) являются локально-эргодическими, то и поля структурных деформаций, как следует из формулы (5), также являются локально-эргодическими.
Для описания структурного разрушения и прогнозирования прочностных свойств композитов в определяющие соотношения вводится новый материальный носитель ® j mn ( = h ) , зависящий от условий нагружения [4]. Таким образом, в качестве математической модели процесса квазистатического деформирования и разрушения в рамках такого подхода может быть поставлена стохастическая краевая задача механики композитов [4]:
V -o ( r ) = 0 , e( r ) = def u ( r ), o ( r ) = C : [ I - © ( « ) ] : = , u ( r )| 5 = = * • r , (7) где C - тензор модулей упругости изотропной сплошной среды; I -единичный тензор четвертого ранга; = * - заданный тензор макродеформаций; u ( r ) - тензор структурных перемещений.
Для замыкания системы уравнений (7) необходимо дополнить ее уравнениями для определения го ( r ) . Будем предполагать, что заданы явные зависимости
ГО (г) = ГО (£h ) , где £h (r) - инварианты тензора структурных деформаций.
Наложим на случайное поле го ( г ) математические ограничения общего характера в виде локально-статистической однородности и локальной эргодичности.
Случайное поле го ( r ) есть локально-статистически однородное поле, если многоточечный закон распределения f ^ n ) ( r 1 , r 2,..., r n ) , n = 1, 2, 3,... не изменяется после параллельного переноса точек M 1 ( r ) , M 2 ( r 2 ) ,..., M n ( r n ) на равные расстояния, не превышающие характерного размера некоторой области статистической зависимости V * с V . Под областью V * понимается шар, радиус которого равен г2 1 , 0 < £ << 1, 1 - характерный размер конструкции.
Случайное поле го ( r ) есть локально-эргодическое поле если го ( r ) локально-статистически однородно и моментные функции произвольного порядка к финитны в области V * с V , т.е.
K » ( r l , r 2 ,-, r k ) = (го ° ( r 1 ) го ° ( r 2 ) -го° ( r k )) =
* ^т < D
= 0,^ > D, к = 2,3, rm = max
|r i - r j , i , j = 1, к , D - характерный размер области V *.
Сформулируем свойство микронеоднородных сред аналогично свойству (1). Если микронеоднородная среда с однородными упругими и неоднородными прочностными свойствами макроскопически однородна и квазиизотропна, поля структурных повреждений при деформировании локально-эргодические, средние деформации макроскопически гладкие функции координат, граничные условия детерминированы, то существует случайный функционал Ф р ( го ) , зависящий только от поля структурных повреждений, такой, что пульсации структурных деформаций £ ° связаны со средними деформациями e ( r ) в регулярной среде сравнения соотношениями:
£ ° ( r ) = Ф ( р )( го ) : e ( r ) . (8) Доказательство соотношения (8) аналогично доказательству соотношения (1).
Из соотношения (8) вытекает, что если поля структурных повреждений локально-эргодические, то и поля деформирования тоже являются локально-эргодическими. Как показывают прямые численные эксперименты [5, 6], локальность полей структурных повреждений имеет место на стадии дисперсного накопления повреждений, что является признаком ближнего порядка во взаимодействии полей микродеформаций и структурных повреждений на начальном этапе структурного разрушения. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к укрупнению дефектов и местной локализации повреждений.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда поля упругих свойств 6 ( r ) и структурных повреждений to ( r ) являются локально-эргодическими. Будем также предполагать, что эти поля являются собственными, т.е. отсутствует взаимная корреляция между полями:
( 6 ( r ) to ( r )) = 0 .
Сформулируем свойство микронеоднородных сред, аналогичное свойству (2). Если микронеоднородная среда с неоднородными упругими и неоднородными прочностными свойствами макроскопически однородна и квазиизотропна, поля структурных повреждений при деформировании локально-эргодические, структурные деформации в периодической среде сравнения в пределах упругого элемента - гладкие функции координат, граничные условия детерминированы, то существует случайный функционал Ф р ( 6 , to ) , зависящий от полей упругих свойств и структурных повреждений, такой, что пульсации структурных деформаций £ ° связаны со структурными деформациями £ ( р ) ( r ) в регулярной среде сравнения соотношениями:
£ ° ( r ) = Ф ( р )( 6 , to ) : £ ( р )( r ) . (9)
Для доказательства формулы (9) рассмотрим стохастическую краевую задачу механики микронеоднородных сред в отсутствии объемных сил:
V- o ( r ) = 0 , £ ( r ) = def u ( r ) , о ( r ) = 0 ( r ) : [ j - to ( £ ) ] : £ ( r ) , to ( r ) = to ( £ ) (10)
с условиями специального вида dV J £(r)dV = £', dIV которые, как известно [4], эквивалентны условиям на поверхности S тела V:
u ( r )|
*
S = 8 • r .
при макроскопически однородном деформированном состоянии.
Идея излагаемого ниже метода заключается в использовании в качестве основы решения аналогичной краевой задачи для среды с регулярной микроструктурой:
V -о(p)(r) = 0, £(p) (r) = def u(p) (r), o(p) (r) = C(p) (r): £(p) (r), dV J£p)(r)dV = E-, dIV где u(p)(r), £(p)(r), o(p)(r) - детерминированные периодические функции структурных перемещений, деформаций и напряжений, C( p) (r) -тензор структурных модулей упругости среды с регулярной структурой. Предположим, что решение краевой задачи (4) нам известно [7]:
£(p) (r ) = N(p) (r ) : £* , £(p) (r ) = £* + £(p) ( r ) ,C-^ >=Ге< p '( r )Mdp'( r): n(p >(r)
, И p ) = C -( p ) £ - ,
где C * ( p ) - эффективные модули упругости среды с регулярной структурой; N ( p ) ( r ) - структурные функции [7]; [...] - оператор осреднения по представительному объему.
С целью доказательства соотношения (9) исследуем решение краевой задачи (10) с граничными условиями (11), которая приводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при нулевых граничных условиях:
V- (C(p): def u° ) = -V- П, u°| s = 0, где
П = 0 ° def u ( p U 0 ° : def u " - (6 ° : def u °),
/^/
6 °.
ijmn
t*''
6 °-..
ijmn

?*^
" Уч"
^ ij /8 ^ /8 mn ^
^ ij /8 L I /8 mn ^ /8 mn
0..
ijmn
Уравнения (12) можно рассматривать как уравнения краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред с регулярной структурой C ( p ) ( r ) и перемещениями u ° ( r ) , обусловленными действием фиктивных случайных объемных сил V • П .
При введении функции Грина среды с регулярной структурой G ( p ) ( r , r ' ) система дифференциальных уравнений (12) преобразуется в систему интегро-дифференциальных уравнений:
u ° ( r ) = j G ( p ) ( r , r ' ) - L V- П ( r ' ) ] dV ' (13)
V
Для определения полей структурных деформаций необходимо знать градиент пульсаций структурных перемещений, поэтому дифференцируем (6):
V u ° ( r ) = j v G ( p ) ( r , r ' ) - L v- П ( r ' ) ] dV '. (14)
V
Уравнение (13) решаем методом последовательных приближений при ограничениях, сформулированных в виде макроскопической однородности и квазиизотропности микронеоднородной среды.
В первом приближений полагаем:
V u ° 1) ( r ) = j V G ( p ) • V • ( 0 ° : е ( p ) ) dV
V
Для макроскопически однородной среды интегралы в выражение (15) фактически распространяются на a 2 f -окрестность микронеоднородной среды, где е( р ) - постоянны, поэтому соотношения (15) принимают вид:
V u- , ( r ) V p : , ' /: Е( p 1 ,
где Vp(1p)) = j*VG(p)(r,r')(V'-0°)dV*, а Vp(^ (б°,r) тензор-функционал V третьего ранга относительно физических свойств микронеоднородной среды.
Подставляя (15) в (14), с учетом (16) получаем второе приближение:
V u ° 2 , ( r I ( V p -V p ): £ p I ,
V p ( p ’ = J v G ( p 1 (V' ( 0 ° :V p ( p ) ) dV' .
V
Окончательно запишем:
Vu° (r ) = Vp(p 1: £(p 1,
»
V p ( p 1 = £ v p ( ,’ ) .
к = 1
Поскольку пульсации структурных деформаций определяются выражением
£° (r) = def u° (r), то в силу (17) приходим к соотношению (9):
£ (r ) = Ф(Р1 (0, ГО) : £(р 1 (r), где функционал Ф(p 1 (0, го) определяется уравнением:
Ф ( p 1 ( 0 , го ) = def p ( p 1 ( 0 , го ) .
В первом (корреляционном) приближении эти функционалы определяются следующими соотношениями:
ф ( Р ) =1 ijmn 2
i f a p(p 1 a^ _ г imn ^
.(.p1 ) jmn
5х=
V j
5х, i J
,
5p ( pn Г 5 GLP ' ( r . r ' )
5 x
V
5 X j 5 X p'
Sipmn ( r') dv',
где G j ' ( r , r ' ) - тензорная функция Грина для периодической среды сравнения с неоднородными свойствами.
Из соотношения (18) следует, что указанные выше функционалы являются функционалами относительно свойств микронеоднородной среды Q jjmn ( г ) и тензора микроповреждаемости to ijmn , а также функциями относительно текущей координаты г . Из уравнения (10) следу- ( р ) ет, что моментная функция второго порядка функционала Ф^ П однозначно определяется через моментную функцию второго порядка ( р )
функционала р m j , где через запятую обозначается дифференцирование по координате X j . Следовательно, для вычисления моментной функции второго порядка необходимо вычислить двойной интеграл
F pjm ( г , г ' ) -
йр ip (г) »%(г*) _
aх, axn jq
“Jf
V
aG' )(г, г’) aG«( r', ф2кф (г-, г-) , d v d v ,
axf axn jq
Й X p 5 X 5
где через K^ (г-, г")-(бjm„ (И^ (г")) обозначена структурная моментная функция второго порядка свойств микронеоднородной среды. Как показывают многочисленные теоретические и экспериментальные исследования, эта функция локальна (затухает на расстояниях намного меньших линейного размера элемента) и имеет область отрицательных значений [1, 4]. Для корреляционной функции, входящей в соотношение (19), используются аппроксимирующие зависимости через единичные функции, предложенные в [1]. Тогда для описания функции F^n (г, г') достаточно вычислить некоторые значения этой функции, получаемые при г - г* - 0 в уравнении (19). Для вычисления интеграла (25) необходимо знать функцию Грина Gj)(г, г’) для неоднородной среды сравнения с периодической структурой. Используя технику осреднения, предложенную в работе [3], представим функцию Грина Gj)(0, ^;0, г) в виде асимптотического ряда разложения по ма лому параметру а:
GрI (0,fc0,Г) = G* (r)+aA^ (%)^r)+
°x Y 1
°2 G aB ( Г )