О выводе уравнения Вильямса-Ландела-Ферри

Температурная зависимость вязкости η(T) аморфных веществ в области их

стеклования успешно описывается эмпирическим уравнением ВЛФ (Вильямса-

Ландела-Ферри) [1, 2]

ln a_T = - C 1

T — ^Tg

^T — T g ¹

-

C 2

,

a ~ n(T) aT = П0 ’

T

\ g 7

где T g — температура стеклования, С 1 и C 2 — эмпирические параметры.

Известные подходы к обоснованию этого уравнения основаны на той или иной конкретной зависимости η( T ), которая, в свою очередь, устанавливается с привлечением температурной зависимости свободного объема, конфигурационной энтропии и т.д. [1, 2]. Предлагаемый в настоящей работе вывод носит общий характер и не зависит от вида температурной зависимости вязкости η(T).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Рассмотрим разложение в ряд функции ln n ( T) вблизи T g по малому безразмерному параметру А — относительному приращению температуры вблизи T g

А =

T — Tg

T g

Полагаем, что применительно к нашей задаче вполне достаточно ограничиться первыми тремя членами разложения ln п( T) = ln п( Tg) - A А + ВА2,                        (3)

д Inn д( T / Tg)

^T = T g

1 д ²ln n

В =--г

2 д ( T / T g )²

•

^T = T g

Вводя относительную вязкость а т = n ( T)/ n ( T g ) ln a_T = ln n ( T ) - ln n ( Tg ) , представим выражение (3) в виде

ln aT = — AA + В А = — Aa 1|.

T                   I A J

Рассмотрим это уравнение (6) при таких значениях А , когда можно считать, что в разложении (3) третий член значительно меньше второго члена: В А¹ <<  A A , откуда следует неравенство

ВА,

x =<<

A которое, как правило, выполняется вблизи Tg (из-за малости А). Поэтому можем воспользоваться известным приближением

1 + x =-----,(8)

1 — x где x = В А/A с учетом А( T) (2) является функцией температуры

В (T — Tg) x =•

AT g

Далее, подставив (9) в равенство (8), а затем (8) в выражение (6), приходим к формуле ln aT =

I A ² ^

В (АЛ

l В J T — T I 1—A I g l В J

которая совпадает с уравнением ВЛФ (1). Величины A и B определены производными (4) и (5). Параметры уравнения ВЛФ C 1 и C 2 выражаются через A и B следующими соотношениями

C 1 = A ,      C 2 = ^A T g .                           (11)

BB

Таким образом, универсальность уравнения ВЛФ вытекает из разложения функции ln η (T) в ряд, аналогично универсальности известного закона Гука (гармоническое приближение). Предлагаемый нами подход позволяет сделать заключение о независимости уравнения ВЛФ от конкретного вида функциональной зависимости η(T).

В работах [3, 4] был приведен лишь окончательный вариант выражения (10) без выкладок. Мы в настоящей работе привели детальный вывод со всеми промежуточными преобразованиями. Нами показано, что математические приближения, использованные при выводе данного уравнения, универсальны и вполне приемлемы вблизи температуры стеклования.

Работа выполнена при поддержке Минобнауки РФ грант №3.5406.2017/8.9