О законе сохранения потока энергии

Закон постоянства суммы рассеиваемых мощностей в двух электрических цепях с двойственной структурой

Область науки

Открытие относится к области физики, раздел электротехника. В результате поиска закономерности изменения рассеиваемой мощности при изменении соединения ветвей в электрической цепи найден неизвестный ранее закон постоянства суммы мощности, рассеиваемой в двух электрических цепях с двойственной структурой, при любом соединении ветвей. В этом состоит экспериментальное выражение открытия, полученное в результате проведения численных опытов по расчету мощности, рассеиваемой в электрических цепях с разными соединениями ветвей, т.е. с различной структурой.

Теоретическое выражение открытия относится к области математики и состоит в постоянстве суммы метрических тензоров двух сетей с двойственной структурой при изменении соединения ветвей этих сетей, сохраняющем отношения двойственности. Преобразования структуры состоят в соединении и разъединении элементов сетей.

Сущность открытия

Причиной проведения исследования, которое привело к открытию неизвестного ранее закона постоянства суммы мощности, рассеиваемой в двух двойственных электрических цепях, стала проблема инварианта мощности Г.Крона. Эта проблема вызвала обсуждение, которое началось в 30-тых годах прошлого века, и продолжается до сих пор. Для построения тензорного анализа сетей Крон постулировал инвариант мощности, т.е. допустил, что при соединении ветвей в связанную цепь рассеиваемая мощность не меняется, поскольку не меняются источники воздействия. Это было необходимо для получения тензорной формулы преобразования напряжения. Мощность не остается постоянной, что доказано в теории графов; за это метод критиковали. Однако тензорный метод дает правильные результаты расчетов цепей, обеспечивает исследование систем с переменной структурой, например, расчет изменения процессов при изменении структуры соединения элементов; дает единую методологию моделирования сложных систем разных предметных областей.

Открытие неизвестного ранее закона получено экспериментально в 1981 году – путем расчета электрических цепей, с целью поиска зависимости рассеиваемой мощности от изменения структуры связей ветвей в цепи. Для этого автор выполнил расчеты цепей с источниками тока и напряжения, с разными способами соединения ветвей. Расчеты выполнялись для разного числа ветвей с единичными и неединичными сопротивлениями (проводимостями), при наличии как собственных, так и взаимных сопротивлений. Менялись источники воздействия, тока и напряжения, их значения и расположение в ветвях цепи. В каждом случае проводились расчеты рассеиваемой мощности и поиск закономерности ее изменения в зависимости от изменения структуры. В результате был открыт неизвестный ранее закон, который состоит в том, что при любом соединении ветвей постоянна сумма мощности, рассеиваемой в двух электрических цепях с двойственной структурой .

Расчеты проводились как методами электротехники, так и методами тензорного анализа сетей, с использованием матриц преобразования путей C и A . Матрицы преобразования путей описывают изменение структуры цепи. Эти матрицы обеспечивают преобразование значений величин цепи (токи, напряжения, сопротивления) при изменении структуры. Это позволило исследовать изменение мощности в зависимости от изменения структуры, и найти закон постоянства рассеиваемой мощности в двойственных цепях.

Двойственность сетей (цепей) состоит в том, что каждому замкнутому пути в одной сети соответствует разомкнутый путь в двойственной сети, и наоборот. Число линейно независимых замкнутых путей одной сети равно числу линейно независимых разомкнутых путей двойственной сети, и наоборот. При изменении числа узлов в сети меняется число независимых замкнутых путей, но противоположно меняется число разомкнутых путей, т.е. меняется размерность представляющих их подпространств. Полная размерность пространства замкнутых и разомкнутых путей сети постоянна и равна количеству элементов – ветвей. Формулы расчета двойственных цепей аналогичны формулам расчета рассматриваемой цепи, но с двойственными заменами всех величин.

Математическая сущность открытия определяется отношениями между абстрактными двойственными сетями. В сети меняется количество узлов при изменении соединений между ветвями, которые могут иметь веса – метрику. Физические , измеримые величины потоков энергии в цепи, в таких сетях рассматриваются как геометрические объекты, представленные в координатах замкнутых и разомкнутых путей в структуре сети.

Найденное постоянство мощности математически определяется постоянством суммы метрических тензоров двух двойственных сетей при изменении соединения ветвей, сохраняющем двойственность. Если собственные веса ветвей Z равны единицам, а взаимные веса равны нулю, то матрицы Z и Y = Z"¹ - это единичные матрицы I, Z = Y = I, и постоянство суммы метрических тензоров выражается отношениями между матрицами преобразования, т.е. получается инвариант двойственности структуры сетей (без метрики и без энергии).

mCt (mC mCt)1 mC + mCt (mC mCt)1 mC_ = I или mCt (mC mCt)1 mC + A (A jA t)1 jA = I.

Здесь I – единичная матрица. Величины двойственной сети подчеркнуты, индекс m обозначает подматрицу замкнутых путей, а j – разомкнутых путей. Если матрицы Z и Y не единичные, то постоянство суммы метрических тензоров приобретает вид, например:

Y = m C t ( m C Z m C t ) -¹ m C + Z m Ct ( m C Z m C tK ¹ m C Z, или

(Z ) -¹ = m C t ( m C z m C t ) ¹ m C ₊ Y__A t (a yJa t ) ^{1 j}A Y.

Из этих соотношений видно, что постоянство мощности при изменении структуры в двойственных цепях обеспечивается свойством самой структуры и материальных свойств (метрики) электрических цепей, и не зависит от источников энергии, воздействующих на цепи, от потоков энергии, протекающих в цепях. Это фундаментальное свойство сетей, представляющих структуру электрических цепей.

Сущность открытия постоянства мощности при изменении структуры . В 1981 году автор обнаружил закономерность постоянства мощности в одной цепи при условии, что равны мощности источников тока и напряжения, заданные в каждой ветви. Оказалось, что сумма мощности, рассеиваемой в замкнутых путях связанной цепи и в разомкнутых путях связанной цепи равна мощности источников тока или источников напряжения. Найденная закономерность постоянства мощности не следует из ранее известных теоретических положений и экспериментальных фактов. Это самостоятельная физическая закономерность, которая определяется свойствами структуры и проявляется при прохождении потока энергии в электрической цепи.

В 1982 году автор нашел неизвестный ранее закон постоянства мощности, рассеиваемой в двух двойственных цепях при изменении структуры связей ветвей. Оказалось, что сумма мощности, рассеиваемой в двух двойственных цепях при возбуждении источниками ЭДС , ^mP c + ^m P c , постоянна и равна мощности источников, т.е. мощности, рассеиваемой этими источниками в свободных ветвях ^mP 0 . Аналогично, сумма мощности, рассеиваемой в двух двойственных цепях при возбуждении источниками тока, ^jP c + ^j P c постоянна и равна мощности источников, т.е. мощности, рассеиваемой в свободных ветвях ^jP 0 . Если заданы источники тока и напряжения одновременно, то получим общую формулу постоянства мощности при изменении структуры двойственных цепей.

^mP c + ^m P c + ^jP c + ^j P c = ^mP 0 + ^jP 0 = ^m P 0 + ^j P 0 .

где мощности представлены через измеримые величины в ветвях цепи.

Если в ^mP c + ^m P c = ^mP 0 подставить выражения компонент, то для замкнутых путей, источников напряжения, постоянство мощности в двойственных цепях принимает вид:

ea Y ea = ea mCt (mC Z mCt)1 mC ea +_ea Z mCt (mC Z mCt)’1 mC Zea, где eα – вектор источников напряжения. Для разомкнутых путей, источников тока, представленных вектором Iα, постоянство мощности в двойственных цепях принимает вид.

I ^a (ZK ¹ I ^a = I ^a j A t t (A Z^jA t ) ^{1 j}A I ^a + I ^a YA t (A Y^jA t ) ^{1 j}A YI ^a .

Постоянство рассеиваемой мощности в двойственных цепях при изменении структуры представляет собой закон, который не вытекает из ранее известных законов. В его основе математический закон – инвариант двойственности структуры сетей, который проявляется физически при прохождении потока энергии, например, в электрических цепях с двойственной структурой.

Область научного и практического значения

Открытие позволило впервые объяснить, в чем состоит инвариант мощности Крона. Это, в свою очередь, дает обоснование тензорному методу в теории систем, что особенно важно для сетевого моделирования систем с переменной структурой. Инвариант двойственности сетей необходим для моделирования, расчета, анализа процессов и структуры сложных систем различной природы. Таким образом, открытие объясняет научные факты и эксперименты, которые не находили ранее объяснения.

Научное значение открытия состоит в том, что для сохранения потока энергии, измеряемого рассеиваемой мощностью, необходимо рассматривать две цепи с двойственной структурой.

Постоянство рассеиваемой мощности должно выполняться не только для потоков электрической энергии. Аналогичные законы постоянства рассеиваемой мощности должны существовать и для других видов энергии. Математические формы двойственности потоков могут отличаться. Магнитный поток, например, распространяется не через одномерные ветви, а через двумерные поверхности. Разные виды энергии представляют разные стороны закона сохранения потока энергии . Каждый вид энергии может создавать в пространстве свои структуры – каналы распространения потоков энергии, которые взаимодействуют с потоками энергии других видов. Это требует дальнейших исследований. Таким образом, это физико-структурный закон, поскольку понятие потока указывает на ограниченный в пространстве «канал», путь его движения. Совокупность таких каналов образует структуру. Это связывает физику потока энергии и структуру путей его распространения.

Практическое значение состоит в возможности применения результатов открытия для создания сетевых моделей физических, технических, экономических, социальных, биологических систем. Автор разработал сетевую модель межотраслевого баланса, в которой контурными и узловыми токами с использованием двойственности замкнутых и разомкнутых путей, представлены потоки продуктов (производство, ресурсы, поставки, спрос). Напряжения представляют стоимости продуктов, потенциалы узлов – цены производителей. Двойственная сеть представляет потоки денежных средств через счета в банках. Крон создал модели для электрических машин, уравнений Максвелла, Шредингера, Навье-Стокса, лопаток турбин, строительных конструкций, ядерного реактора и т.д.

Открытие позволило автору разработать алгоритмы декомпозиции и расчета систем по частям. Подсети изменений структуры в исходной сети соответствует изменяемая подсеть в двойственной сети. Полученные алгоритмы расчета систем при изменении структуры обладают высокой эффективностью за счет отсутствия итераций благодаря тому, что через постоянство мощности взаимодействие частей сохраняется в двойственной сети изменений. Уменьшению мощности в исходной сети при разрывании или соединении соответствует увеличение мощности в двойственной сети, и наоборот. Сеть изменений структуры по размерности меньше полной сети; это многократно уменьшает объем вычислений, поскольку время обращения матрицы, на которое приходится основной объем вычислений, пропорционально кубической степени порядка матрицы. Алгоритм расчета по частям сетевой модели межотраслевого баланса методом декомпозиции обеспечивает многократное ускорение плановых расчетов.

На основе открытия получены формулы расчета матриц решения двойственных сетей при уменьшении и увеличении числа узлов в сети. Эти формулы охватывают все виды расчета процессов в сетях с переменной структурой при изменении связей, включая декомпозицию и расчет по частям. Изменения структуры могут представлять собой изменения соединений внутри связанной сети, подключение или отключение элементов или целых подсетей к основной сети, разделение целого на части, или соединение частей в целое. Созданные на этой основе сетевые модели предметных областей можно рассчитывать по частям с применением ЭВМ с параллельной архитектурой, включая применение суперЭВМ для расчета крупномасштабных систем. Таким образом, открытие может стать основой новых направлений в области сетевого моделирования и распределенных вычислений.

Продолжение следует.