О зависимости градиента решения задачи Неймана для уравнения Лапласа от параметра

Рассмотрим задачу Неймана для уравнения Лапласа:

A u = 0 , x Е П , t Е [0 ,T ];    дП = g, (1)

где граничное условие g для нормальной производной дu/дn зависит от параметра t Е [0 ,Т ]: g = g ( x,t ), g Е C ^{l + а,т + в} ( S ), причём при каждом t Е [0 ,T ]

j) g ( x,t ) dS = 0 .

д U

Поскольку решение задачи Неймана для уравнения Лапласа единственно с точностью до аддитивной константы, решение задачи (1) единственно с точностью до произвольной аддитивной функции U ( t ) и может не быть даже непрерывным по t . Тем не менее в данной работе будет показано, что существует решение задачи (1), дифференциальные свойства по параметру t которого определяются соответствующими свойствами граничного условия g . Будут получены оценки нормы этого решения и его градиента (по пространственным переменным) в пространствах Гёльдера, введённых выше. Также будет показано, что полученные оценки в определённом смысле неулучшаемы.

• III.    Дифференциальные свойства решения задачи Неймана

Из классической теории потенциала известна следующая теорема (см. [2], теорема 1 на с. 208).

Теорема 1. При каждом t е [0 ,Т ] и а ' е (0 ,а ) существует единственное решение u ( x,t ) задачи (1), удовлетворяющее условию J u ( x,t ) dx = 0. Для я этого решения справедливы оценки

\ u ( ;t ) \ U , я <  C 1 \ д ( • ,) ) \ U ,d я ,

\ u ( • ,) ) \ l +1+ а, я <  C 2 \ д ( • ,) ) H i + а,д я ,       (2)

где константы C 1 и C ₂ не зависят от д .

Полученную с помощью теоремы 1 функцию и ( x,t ) мы будем далее понимать под решением задачи (1). Целью данной работы является исследование дифференциальных свойств по параметру t функции и ( x,t ) и её градиента V u ( x,t ). Сформулируем основные результаты.

Теорема 2. Пусть dfi е   C1+1+а и д е C1+a,m+в(S), причём при ) е [0,T] f gdS = 0.

д я

Решение задачи (1) при любом а ' е (0 ,а ) удовлетворяет оценке

\\uW + 1+а',т+в ^ C1 \\g\\i+a,m+0,8, а его градиент Vu для каждого в' е (0 ,в) удовлетворяет оценке

\ l ^{V u} \| l + a ' ,m + в ' ^ C 2 ^Wl + a,m + e,S ,       ⁽³⁾

где константы C 1 и C 2 не зависят от д .

Замечание. При в ' = в оценка (3) неверна. Это следует из следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть D =    { ( x,y,z )   :

z = 0 , x ² + y ² <  R ² } C d fi е C ” , R >  2. Пусть h ( x ) е C ” ( R ) — неубывающая функция, равная нулю при x <  0 и равная 1 при x >  1. Рассмотрим потенциал простого слоя

V (x ,t) = f I^ydS y дя с плотностью I(y,)), равной нулю на dfi\D и заданной на D в полярных координатах (x = r cos ^,y = r sin ^) формулой

I(r,^,t) = )вш(r,t)cos ф, где ш(r,t) = )вh(r| In)|)h(R — r). Тогда при каждом ) е [0 ,T] функция V(x,)) является решением уравнения Лапласа и dV е Cа,в (S). При этом VV е Cа,в (Q) для любого в' е (0,в), но VV е Ca ,в(Q) при а' е (0,а).

• IV.    Доказательства основных теорем

Для доказательства теорем 2 и 3 нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Если u е C ^а,в ( Q ), где а,в е (0 , 1), то при любых { ( x 1 ,) 1 ) , ( x ₂ ,) ₂ ) } е Q и ст е [0 , 1] выполняется неравенство

| A x A t u l = | A t A x u | < 2 \ u \ a,e | x 2 — x 1 Щ) 2 — ) 1 | ⁽¹ - ° ) ^в , где   A x u ( x,t )     =      u ( x ₂ ,) ) — u ( x 1 ,) )    и

A _t u ( x,t ) = u ( x,t 2 ) — u ( x,t 1 ).

Доказательство. По условию

| A x u ( x,t ) | <  \ u \ a,e | x 2 — x 1 | ^a

и

| A t u ( x,t ) | <  \ u \ a,e | ) 2 — ) 1 | ^в •

Тогда

| A t A x u | < 2 \ u \ a,e | x 2 — x 1 | ^a ,

| A t A x u | < 2 \ u \ a,e | ) 2 — ) 1 | ^в •

Тогда доказываемое неравенство следует из равенства | A t A x u | = | A t A x u | ° | A t A x u | ¹ - ° .

Лемма 2. (см. [3], с. 221, лемма 2.) Пусть u е C ^{1 1 ,l 2} ( Q ) (где 1 1 , 1 ₂ е R \ Z — положительные числа) и r 1 , r ₂ е N U { 0 } — такие, что I = 1 — r 1 /l 1 — r 2 /l 2 >  0. Тогда d x ¹ d f ² u е C ^{p 1} ,^{p 2} ( Q ) , где p 1 = |l 1 , p ₂ = |l 2 , причём справедливо неравенство \| d x ¹ d t ² u \ _p 1 ,_p 2 <  C \ u \ _l 1 ,_l 2 , где константа C не зависит от u .

Заметим, что леммы 1 и 2 останутся справедливыми, если в их формулировках заменить Q на S , поскольку функции из C ^{1 1 ,l 2} ( S ) можно считать граничными значениями функций из C ^{1 1 ,l 2} ( Q ) на d fi [1].

Доказательство теоремы 2 проведём индукцией по m . При m = 0 по теореме 1 для каждого ) е [0 ,Т ]:

\ ^{u (} ^t ) I I l +1+ а ' , я <  ^C 2 \ g ⁽ • it ) || l + а,д я ;

при любых ) 1 , ) ₂ е [0 ,T ] в силу линейности задачи Неймана имеем

\| ^{u (} , 2 ) ^{— u (} • ^,) 1 ) \|” , я | ) 2 — ) 1 | ^в         "

,     \ ^{д (} • ^,) 2 ) ^{— д (} ^t 1 ) \|” ,д я

^ C 1-------ь----ГЪ5------- ^ C 1 U g U l + a,e,S ^

| ) 2 — ) 1 | ^в

Из полученных оценок следует, что

\ ^u \ l + а ' ,в <  ^C \ g \ l + a,e,S , ^C = ^const •

Возьмём ст = 1 — в ' /в <  1, тогда д е C °^а,в ( S ?).

В силу линейности задачи Неймана по теореме 1 имеем оценку (см. неравенство (2) при l = 0):

\V u ( • ,) 2 ) — V u ( • ,) 1 ) \ ” , я | ) 2 — ) 1 | ^в '            "

< C 1

\ ^{д (} , 2 ) ^{— д (} • ^,) 1 ) \ °а,д я | ) 2 — ) 1 | ^в '

В силу леммы 1

\ ^{д (} ^t 2 ) ^{— д (} • ^,) 1 ) \ °а,д я = \ ^{д (} ^t 2 ) ^{— д (} • ^,) 1 ) \ ” ,д я ⁺

+ max x 1 ,x 2 Е я

\| g ( x 2 ,) 2 ) — д ( x 1 ,) 1 ) \ с е ,д я

<

| x 2 — x 1 | °^а

^C W g W 0 ,в ^{| t} 2 - t 1 I ^{е +}

. hg^ga,e,S |x 2 - x 1|ga|t 2 - t 1 |(1 ^)в |x 2 — X1 M            ’ поэтому

V ( - ,t 2 ) -V u (, t 1 ) \| _ , Я                     в - вЧ

-----------| t₂ - t^ | _в/ -----------^C C 1 ⁽ \\ g \\ о ,в t 2 ^- t 1 г ⁺

⁺ ||.^g \ aa,e,S ) ^{C C} \ ^д \ ста,в,5 ■

Итак, для m =  0 теорема 2 доказана.

Пусть эта теорема верна для некоторого m и g е C l ^{+ a,m +1+ в} ( S ). Тогда в силу леммы 2 d )_t g е C ^{Ym + в} ( S ), где Y = т + в ( l + а ) >  0. Для решения v задачи Неймана

∂v

A v = 0 ,

∂n

= d t g д П

мы уже можем воспользоваться доказываемой теоремой и получить оценки

\ М1 0 ,т + в ^{C C} 1 \ g \ l + а,т + 0,8 ,

\ l ^{V v} \ l 0 ,m + в ' ^{C C} 1 \ g \ о ,m + в,S ■

Остаётся заметить, что u(x,t) = u(x,0) + / v(x,T)dT является решением исходной задачи Неймана (1).

Доказательство теоремы 3. Непосредственно проверяется, что плотность простого слоя μ , рассматриваемая в условии теоремы, принадлежит C ^{1 ,в} ( S ) и, следовательно, C ^а,в ( S ) при любом а е (0 , 1). По теореме Ляпунова при t е [0 ,Т ] имеем dV ( - ,t ) е C ^а ( д П). В силу гладкости границы области нормальная производная ^∂ _∂ ^V _n является правильной нормальной производной и удовлетворяет неравенству

∂V

⁽ • ^,t ) ∂n

C \ ц ( - ,t ) Н ~ , я , га , Я

из которого следует, что ∂n удовлетворяет условию Гёльдера с показателем β по параметру t. Тогда dV е Cа,в(S). По теореме 2 при любом в' е (0,в) VV е Cав (Q). Однако dV               Г     ц (x,y, 0 ,t)

——   = -    —      xdS дх x=o       , J (, x y)3

y =0        ( x,y ) e D

R

2 n

j cos ² ^d^ j t ^в ^ , ^ dr = O ( t ^в In | In t | )

при t ^ 0, то есть производная d^V не удовлетворяет условию Гёльдера по t с показателем β .

V.    О дифференциальных свойствах проекторов Лерэ–Гельмгольца

Пусть J ⁰ (П) — замыкание по норме L ² (П) множества всех бесконечно дифференцируемых соленоидальных финитных векторных полей, G (fi) — ортогональное в L ² (П) дополнение подпространства J ⁰ (П). Пусть P g — проектор L ² (fi) на G (fi), а P j — проектор L ² (fi) на J ⁰ (П). Обозначим через B ( X,Y ) множество линейных непрерывных отображений банахова пространства X в банахово пространство Y .

С помощью доказанной выше теоремы 2 можно доказать следующие утверждения.

Теорема 4. Пусть д П е C l ^{+1+ а} и U е C ^{l + a},m ^{+ в} ( Q ) , div й е C l - ^{1+ a},m ^{+ в} ( Q ) , к > 1. Тогда при любых а ' е (0 ,а ) и в ' е (0 ,в ) P g ( й ) е C l ^{+ а ,т + в} ( Q ), причём

\ P G ^{( u} ) \ l + а ' ,т + в ' ^{C C (} \ ^{( й,п} ) ^| д Я \ l + а,т + в ⁺

+1| div u\i— 1+а,т+в) , где константа C не зависит от ^u.

Теорема 5. Пусть дП е Cl+1+а гда при любых а' е (0 ,а) PG ,PJ е в(Cl+a,m+в (Q) ,Cl+a',m

То-

(0 ,в )

и в'

^{+ в} ' ( Q )).

е

Работа выполнена при поддержке ФЦП «На- учные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы, контракт П532 от 05 августа 2009 г. и при поддержке гранта Федерального агентства по образованию, программа 1.2.1, контракт П938, а также при поддержке гранта РФФИ 09-01-12157-ОФИ-М.