Об алгоритме деления с остатком в кольце многочленов от N -переменных
Автор: Сапарбаев Ю.Ш., Тайджыкова А.Б., Эсентаев С.Б., Тугульчиева В.С., Бисенгалиев Р.А.
Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j
Рубрика: Основной раздел
Статья в выпуске: 10 (88), 2022 года.
Бесплатный доступ
Как известно, кольцо многочленов от одной переменной является евклидовым кольцом, а значит для любых двух многочленов найдется и притом единственная пара многочленов , для которых или r(x)=0. В данной статье мы рассмотрим обобщение процедуры нахождения частного и остатка на случай кольца . Как мы увидим, в данном случае, ситуация не такая однозначная как в
Многочлен, остаток, частное, идеал
Короткий адрес: https://sciup.org/140295452
IDR: 140295452
Текст научной статьи Об алгоритме деления с остатком в кольце многочленов от N -переменных
Рассмотрим многочлен f,f,..,f еK[x,..,x„]. Попробуем представить многочлен f в виде f = af +...+af + r , at,rеK[x,..,x„]. Основная идея алгоритма та же, что и в случае одной переменной: мы должны занулять старший член полинома f (относительно некоторого мономиального упорядочения) , умножая некоторый f на подходящий моном и вычитая. Этот моном будет членом соответствующего a .
Теорема. Зафиксируем некоторое мономиальное упорядочение на n (например, лексикографическое упорядочение), и пусть F = (fl,..,Л) - упорядоченный набор полиномов из K[x,..,xn]. Тогда любой полином f е
K [ x ,.., х и] может быть записан в виде f = af + ... + af + r , где at , r е K [ x ,.., xn ] или r = 0 или r - есть линейная комбинация мономов ( с коэффициентами из поля K), ни один из которых не делится ни на один из старших членов ( f ,.., f )
Пример.
Пусть f = x 2 y + xy 2 + y 2, f = xy - 1, f2 = y 2 - 1 . Разделим f на F = ( f , f 2)
Решение. Будем использовать лексикографическое упорядочение xy .
|
г 2 . 2.2 f = x y + xy + y |
f 1 = xy - 1 |
f 2 = y 2 -1 |
остаток |
|
1. f - x • f l = xy 2 + x + y 2 = h l |
|||
|
2. h l - y • f l = x + y2 + y Старший коэффициент x не делится ни на один из |
^ x |
|
старших коэффициентов f , f2 В этом случае отправляем этот моном в остаток |
|||
|
3. h 2 = y 2 + y h 2 - f , = y + 1 |
—У x + y + 1 |
Таким образом, получаем
X 2 y + xy 2 + y 2 = ( x + y )f + 1 - f . + ( x + y + 1)
Однако, если теперь рассмотреть тот же пример, но поменять местами многочлены f , то получим другой остаток.
Действительно, пусть f = x 2 y + xy 2 + y 2, f = xy - 1, f2 = y 2 - 1 . Разделим f на
F = ( f 2 , f )
Получим f = (x +1) - f2 + x - f + (2 x +1)
Итак, упорядочение полиномов ( f ,.., f ) может влиять на результат. Отметим также, что на результат также влияет и то, какое мономиальное упорядочение мы выбираем.
Таким образом, алгоритм деления, определенной теоремой является несовершенным обобщением алгоритма деления в K [ X ] . Чтобы исправить ситуацию, необходимо использовать следующее правило: при работе с полиномами f ,.., f следует рассматривать идеал, порожденный ими, то есть I = ( f ,.., fs ) . Другими словами, следует рассматривать и другие наборы полиномов, порождающие тот же идеал. В результате возникает следующая задача: существует ли для произвольного идеала I в кольце K [ x ,.., xn ]
порождающее множество, такое, что остаток r от деления на данное порождающее множество полиномов был бы однозначно определен. Данная задача была решена Бруно Бухбергером ( род.в 1942 г.), который построил алгоритм нахождения такого базиса идеала ( базисы Гребнера).
