Об аппроксимативных свойствах полиномиальных систем Чебышёва

Работа посвящена изучению аппроксимативных свойств синк-приближений, используемых в теореме отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона (см. [1], [2], [3], [4]). Когда появилась необходимость кодирования сигналов, Э. Борель и E.T. Уиттекер ввели понятие кардинальной функции, сужение с оси на отрезок [0, п], имеющей вид:

и                            и

Z sin(nx — кп) ккп\ X ¹ sin(nx)  /кп\

пх — кп  f ("П7 = / ^х — кп^ (V) •(1)

к=0                          к=0

До нынешнего времени уже довольно-таки полно исследованы свойства синк-аппроксимаций аналитической функции на действительной оси, экспоненциально убывающей на бесконечности. В достаточной степени полный обзор результатов, полученных по данному направлению до 1993 года и избыточное количество основополагающих приложений синк-аппроксимаций найдёте в публикации [3]. Подробный обзор истории разного рода исследований в данной области содержится в [5].

Исследования        в        области        синк-приближений нашли широкое применение при построении различных численных методов математической физики и приближения функций как одной, так и нескольких переменных [6], [7], [8] в теории квадратурных формул [3] и теории вейвлет-преобразований или всплесков [1], [2], [4]. В [9], [10] исследуются модификации синк приближений (1↑), с помощью которых можно приближать произвольные равномерно непрерывные функции, ограниченные на оси.

Результаты, описанные в [11] , [12] позволяют сделать заключение о том, что при использовании классических синк-аппроксимаций (1↑) вблизи концов отрезка [0, п ] возникает явление Уилбрейама-Гиббса. До того как были проведены исследования и отражены в работах [13] , [14] , [15] , [16] , [17] , [12] , насколько мне известно, приближение такими операторами на отрезке, а также на ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций [3] , [18] сведением к случаю оси с помощью конформного отображения. В работе [17] получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0, п], функций линейными комбинациями синков.

На основе результатов исследований в [19] можно сделать вывод, что при попытке приближения негладких непрерывных функций значениями операторов (1↑) возможно появление "‘резонанса"’, приводящего к неогранченному росту погрешности аппроксимации на всём интервале (0, я). В этой же работе [19] установлено отсутствие равносходимости значений операторов (1^) и рядов или интегралов Фурье на классе непрерывных функций.

В [20] , [21] и [22] показаны различные модификации синк приближений (1↑), позволяющие приближать произвольные непрерывные функции на отрезке [0, п ]. Исследование полноты системы синков (1^) в [21] в пространствах С[0, я] и С0[0, я] = {/:/ Е С[0, я], /(0) = /(я) = 0} позволяет сделать вывод о тщетности попыток построить оператор в виде линейных комбинаций синков, допускающий возможность равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции на отрезке. В работах [21] , [22] , кроме того, установлены новые необходимые и достаточные условия равномерной сходимости синк-приближений (1^) и некоторых их модификаций на всём отрезке [0, я].

В работе [23] описаны исследования аппроксимативных свойств операторов интерполирования, построенных по решениям задач Коши с дифференциальными выражениями второго порядка. Операторы, предложенные в [23] , являются обобщением классических синк-приближений (1ф). В [24] приводится ряд приложений к результатам работы [23] к исследованию аппроксимативных свойств классических алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов интерполирования, каждая строка которой состоит из нулей многочленов Якоби /^^п,Вп с параметрами, зависящими от n .

Начиная с известной работы Крамера [25] изучаются также аналоги теорем отсчётов для операторов интерполяции Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля, например, [26] .

В тесной связи с синк-приближениями находятся интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Г.И. Натансон в [27] получил признак Дини-Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0, я), т.е. равномерной на любом компакте, содержащемся в (0, я), процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля.

Исследования, проведённые в [28] , [29] , [30] показывают, что при сколь угодно малом изменении параметров задачи Штурма-Лиувилля (потенциала q, или констант й, Я) аппроксимативные свойства процессов Q) могут сильно измениться. В работе [31] устанавливается существование непрерывной на [0, я] функции, интерполяционный процесс Лагранжа-

Штурма-Лиувилля которой неограниченно расходится почти всюду на [0, т].

2 Основные результаты

Пусть   {уп}п=1   — некоторая система комплексно или действительнозначных функций, определённых на множестве D с R или С, каждая из которых при любом натуральном и обращается в нуль во всех точках множества {%к,п}п=0 с D, и имеет конечную, отличную от нуля, производную в этих точках. Тогда значения операторов Ln, ставящих в соответствие любой, принимающей конечные значения на множестве{%к,п}П=0 с D, функции /, другую, доопределённую по непрерывности в точках множества {хк;п}П=0, функцию вида:

п

£п(/, %) = 1 '      -—  - г/О^п) = ^ ^к/пОО/С^к/п) , (2)

/ . Уп(%к,п)(% %к,П)            *—*

• <   <                                 к=0

к=0

Интерполируют / в узлах {% к,п }^п = о , то есть Z_n(/, % к,п ) = №к,п ), 0 <  к < и, к Е %, и Е Ы. В рассматриваемом случае, когда функция у_п в каждом слагаемом не зависит от номера узла к, оператор (2^) может быть достаточно экономично численно реализован на электронновычислительной технике.

Важность таких аппроксимационных конструкций, с точки зрения фундаментальных исследований, подчёркивается следующим фактом. Если, кроме перечисленных условий, от функций системы {у_п}_{п Е} ы потребовать непрерывность на множестве D и отличие от нуля вне множества {%_к , _п} П= ₀, и Е Ы, то есть

• (3) уп Е C[D], уп(%) ^ 0, при % Е Р\{%к,п}П=0, для всех и Е Ы,

то множества функций {/к,п}п=0 образуют систему Чебышева или Т-систему Действительно, во-первых, функции /к,п после устранения особенностей в точках %к, п на множестве D непрерывны. Во-вторых, любой нетривиальный полином, составленный из и + 1 функции этой системы, n                n

^ ' ^ n,k ^ n,k ^(x) = ^ k=0              k=0

^ n,k

Уп(х)

^yn ^(xk,n ) ^{(x x}k,n )

УпМ ^n(x)

Pn(x),

здесь

^ k,n ^yn^(xk,n )

n

I I ^(x - ^x k,n ) }, l=0,l*k

n                      n

^n(x) = П(* - Xk,n)’ Pn^ = ^ { k=0                    k=0

на множестве D имеет не более п нулей. Функция ^х) на ножестве D wnto нулей не имеет, а Pn - многочлен степени не выше п. Следовательно, в силу основной теоремы алгебры, система функций Ik, n является системой Чебышева, и для произвольной функции f, определённой в xkn, 0 < к < п, п £ М, однозначно разрешима интерполяционная задача:

n

^ an,Jn,k(x) = f(xk,n), 0<к<п,пеМ k=0

Заметим, что в силу биортогональности {x_kn} n= ₀ к {/_k , _n} n= ₀, коэффициентами интерполяционного полинома по системе Чебышева {/ k, _n} n= ₀ являются значения приближаемой функции в узлах интерполяции ^ n,k = ^f(xk,n^).

К операторам вида (2↑) следует отнести, например, классические алгебраические интерполяционные многочлены Лагранжа, усечённые кардинальные функции Уиттекера или синк-аппроксимации, интерполяционные процессы (2^), в которых в качестве y_n берутся специальные функции математической физики.

Пусть рл > 0,рл = о(Я) при Л ^ + ю, ^(Л) £ R, и при каждом неотрицательном Л функция q^(x) есть произвольный элемент из шара ^эЛ [0, я] радиуса р^ в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле, то есть

V^q^x] < Рл, Чл(0) = 0, Рл = о(Л). (4)

Тогда для любого потенциала qЛ £ VрЛ[0, я], при Л^+ ю, нули решения задачи Коши

(У” + (Л - qл(x))y = 0, у(0,Л) = 1,             (5)

(у‘(0,Л) = И(Л), или, при дополнительном условии А(Я) ^0, — задачи Коши

(У" + (Я - 9л(х))у = 0,

] у(0,Я) = 0,              (6)

(у‘(0, Я) = Й(Я), попадающие в [0, я] и перенумерованные в порядке возрастания обозначим

О < хоЛ < х1Л < ... < хП(Л)Л < я (х-1Л < 0, хП(Л)+1Л > я). (7)

(Здесь х -1, д < 0, х_П (^) ₊ 1, д >  я обозначают нули продолжения решения задачи Коши (5f) или (6^), после до определения каким-либо образом функции q я вне отрезка [0, п ] с сохранением ограниченности вариации).

Задачи Коши (5^) и (6^) в случае, когда q ^ G L[0, я], имеют единственное обобщённое решение, которое можно интерпретировать как непрерывно дифференцируемое решение интегрального уравнения.

В [23] исследуются аппроксимативные свойства операторов типа Лагранжа (2^), построенных по решениям задачи Коши вида (5^) или (6^), и ставящих в соответствие любой, определённой на отрезке [0, я] функции /, интерполирующую её в узлах (х_к , _п} П ₌₀ непрерывную функцию таким образом п                                     п

Sx(f, х) = У а^ ^=---Т/(х«) = У $*Дх) /(х»,Л)  (8)

^:   У,(хы,Я)(х-хм)        ^:

Подбирая соответствующим образом функции q^ (следует иметь ввиду, что условие (4^) является достаточным, но не необходимым для наличия нулей (7^)), получаем единое представление в виде оператора (8^) различных конструкций лагранжева типа таких, как классические интерполяционные многочлены (с точностью до весового множителя), кардинальные функции Уиттекера, интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по специальным функциям математической физики. Так, например, с точностью до преобразования Лиувилля многочлены Чебышева и многочлены Якоби, в случае ц = ±1, /? = ±1, являются решениями дифференциальных уравнений задач (5^), (6$), с потенциалом, удовлетворяющим условию (4$).

Если взять q ^ = 0, Л_п = п², то операторы (8$) превращаются в усечённые кардинальные функции Уиттекера . Следовательно, утверждения полученных в данной главе результатов справедливы для синк-аппроксимаций на отрезке (смотрите, например, [15] , [14] ). В случае непрерывности фиксированной функции ограниченной вариации q ^ = q для операторов (8↑), построенных по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, с краевыми условиями третьего рода, из которых удалены условия первого рода.

В этой работе речь пойдёт об аппроксимативных свойствах опреаторов (8$), построенных по решениям задачи Коши вида (5$) или (6$) в случае, когда потенциалы q ^ не только не принадлежат шарам K p^ [0, л] (4$), но даже не являются функциями ограниченной вариации. Более того, здесь мы рассмотрим случай, когда q ^ С L p [0, л],р > 1. Последовательность { q xn } n i' будем выбирать таким образом, чтобы значения операторов (8$) представляли собой классические интерполяционные многочлены Лагранжа.

Пусть М = {х^^И, ₌” _{п = 1} произвольная матрица узлов интерполирования, принадлежащая отрезку [0, л], то есть

0 < х0п < х1п < ••• < хпп < л, пей. (9) В этом параграфе через п                   п

х                О) (х)

lk.n(x)f(xkiU) = ) —---^----т/Кп), (10)

_0               k-^to^lCk^ - ^хк,гХ )

п

где )п

(х) = П(х-хк,п), к=0

будем обозначать классический интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по n - ой строке матрицы узлов интерполирования M. Он является значением оператора (8↑), построенного по решениям задачи

Коши вида (5$) (при 0 < х0,п) или (6$) (при 0 = х0,п), если для произвольного п = 1, 2, 3, ... положить

qлn(x)

Лп = п(п + 1)

nOi+l^Cx) + ш"(х)) ----—--- ш „ (х)

. (11)

Обратите внимание на то, что в силу (9$) и основной теоремы алгебры вариация функций q ^ _n не является ограниченной ни для какого п =

1, 2, 3, .... Тем не менее справедливо следующее утверждение, являющееся аналогом теоремы И. Марцинкевича [32] .

Терема 2.1 Для любой непрерывной на отрезке [0, т] функции f найдутся последовательности {Л_п}”= ₁, {Q_n} ”= ₁ вида (11?) такие, что значения оператора (8↑), построенного по решениям задачи Коши (5↑),

Sx(f,x) = У ап,к——----f (x ) = У SkA(x)f(xkA)

k=o   nxMM)(x —xM)       k=o

= Lu(M,f,x)

будут равномерно на отрезке [0, т] сходиться к функции f.

Доказательство теоремы 2^. Пусть P_n(x) — многочлен наилучшего приближения функции f. Тогда, по теореме П.Л. Чебышёва об альтернансе [32] , существует п + 2 точки альтернанса 0 <  t₀ <  t₁ < ... <  t_k < ... < t_n+1< т, в которых разность  P_n(x)—f(x)  принимает значения

( — 1)kEn(f), к = 0,1,... п + 1 (здесь  En(f)  - величина наилучшего приближения функции f многочленами степени не выше n). В каждом из интервалов   (tk, tk+1), к = 0,1, ...п найдётся узел интерполяции

Xk,n: ^П(хк,п) = f(xk,n), к = 0,1, ...п. Отсюда следует, что 0 < t0 < x0,n, и ^■(^ является решением задачи Коши вида (5?) (смотрите (11?)). В силу ^„(0) единственности интерполяционного многочлена степени n, имеющего п + 1 - узел интерполяции, и инвариантности оператора (8?) относительно умножения y(x, Л) на отличную от нуля константу имеем тождество Pn(x) = Ln(M, f, x) = Szn(f, x) (смотрите (8?), (9?), (10?) и (11?)). Теперь утверждение предложения 2↑ следует из теоремы Вейерштрасса. Теорема 2↑ доказана.