Об асимптотической устойчивости решений линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с неполными ядрами

Все фигурирующие в настоящей работе функции и их производные являются

непрерывными место при

и соотношения имеют

t > tо, t > т > t0; I = [to,»);

ИДУ-интегро-дифференциальное

уравнение;     под     асимптотической устойчивостью решений линейного ИДУ

третьего порядка понимается стремление к нулю при t ^ да всех его решений и их первых и вторых производных.

Задача . Установить достаточные условия асимптотической устойчивости решений линейного ИДУ третьего порядка типа Вольтерра вида:

x ”( t ) + а_г ( t ) x "( t ) + a ( t ) x '( t ) + a ₀( t ) x ( t ) + j Q ( t , т ) x( т ) + Q ( t, т ) x \т ) ] d T = f ( t ),    t >  t₀

t о                                                                    (1)

в случае, когда выполняются условия:

да t jj Q( (t ,т)| dTdt = да     (к = 0,1).

t о t о

(Q)

Заметим, что в ИДУ (1) отсутствует ядро с ( ). Такое ИДУ будем называть ИДУ с неполными ядрами. Поставленная нами задача, насколько нам известно, почти не изучена. Анализ опубликованных работ показывает, что имеются много работ для ИДУ вида (1) с полными ядрами,

т.е. с ядрами

Q , ( t , т ) ( к = 0,1,2). „ ^k               Используя

идею метода вспомогательных ядер [1], мы в ИДУ (1) вводим некоторое ядро ^{н (} t ^{, т} ) _с x ^{( т} ) по правилу “веса” [2, с.114], а именно будем развивать метод

вспомогательных ядер и в сочетании с

другими методами будем находить класс что поставленная нами задача ранее никем ИДУ вида (1), для которого решаема не решена.

сформулированная выше задача. Отметим,

Результаты иследования . В ИДУ (1) вводим ядро ^{H (} t^{, т} ) c x ^{( т )} следующим образом:

Q o ( t , т ) x ( т ) + Q i ( t , т ) x ' ( т ) = Q o ( t , т ) x ( т ) + Q 1 ( t , т ) x '( т ) + H ( t , т ) x "( т ) - H ( t , т ) x ( т )   (2)

и проведем следующее интегрирование по частям:

- J Н ( t , т ) x''( т ) d т = -Н ( t , t ) x' ( t ) +H ( t , t₀ ) x ' ( t ₀) + J H ((t , т ) x( т ) d т .

t o                                                                      t o                                             (3)

В результате ИДУ (1) сводится к нагруженному ИДУ вида:

x'' ( t ) + a ₂ ( t ) x'' ( t ) + a ( t ) x ' ( t ) + a ₀ ( t ) x ( t ) + J [ Q _o ( t , т ) x ( т ) + Q ( t , т ) x' ( т ) + H ( t , т ) x *' ( т ) ] ^ т = t o

= f ( t ) - H ( t , t o ) x ' ( t o ),

a ( t ) = a 1 ( t ) - H ( t , t ),    Q ( t , т ) = £( t , т ) + H‘ ( t , т ).

где

Далее в ИДУ (4) сделаем следующую нестандартную замену [3]:

x' (t) + Я2 x (t) = W (t) y (t), где Я -некоторый вспомагательный параметр, причем Я е R’ o < W(t) -некоторая

У ⁽ t )

весовая функция,

-новая неизвестная функция.

Тогда ИДУ (4) сводится к следующей эквивалентной системе:

x ‘ ( t ) + Я² x ( t ) = W ( t ) y ( t ),

’ y'' ( t ) + b ₂ ( t ) y ‘ ( t ) + b 1 ( t ) y ( t ) + b o ( t ) x ( t ) +

+ J [ T o ( t , т ) x ( т ) + T ( t , т ) y( т ) + K ( t , т ) y'( т ) ] d т = F ( t ) - (W ( t )) ^{- 1} H ( t , t o ) x ' ( t o ),

I t o

где b (t) = a2 (t) - Я + 2W ‘(t )(W (t ))-1, b (t) ^ a (t) + Я + a2 (t )[w ‘(t )(W (t ))-1 - Я ]+ W‘(t )(W (t ))-1,

W ( t ) = W ' ( t ) - 2² W ( t ),        b ₀ ( t ) = [ a ₀( t ) - Я² a ( t ) + Я а_г ( t ) - Я ] ( W ( t )) ^{- 1},

T o ( t , т ) = ( W ( t )) ^{- 1} [ Q o ( t , т ) - Я Q ( t , т ) + 2 ⁴H ( t , т ) ],     T 1 ( t , т ) = ( W ( t )) ^{- 1} [ Q ( t , т ) W ( т ) + H ( t , т ) W * ( т ) ],

K ( t т ) ^ ( W ( t )) ^{- 1} H ( t, т )W ( т ), F ( t ) ^ f ( t )( W ( t )) ^{- 1}.

Исследование системы (6) проведем аналогично, как в [4].

Сначала к первому уравнению системы (6) применим метод возведения уравнений в квадрат[2, с.28], т.е. возводим в квадрат обе части этого уравнения, интегрируем в пределах от t ^o до t , в том числе по частям, и получаем следующее тождество:

t   tt

J ( x '( 5 ))² ds + Я ² ( x ( t ))² + Я ⁴ J ( x ( s ))² ds = Я ² ( x ( t ₀ ))² + J (W ( s ))² ( y ( s ))² ds.

t 0                                                           t 0                                                        t 0

Теперь преобразуем второе уравнение системы (6), т.е. ИДУ второго порядка для ^{y (} t ) Для этого сделаем следующие предположения и обозначения [2]:

n

K ( t, т ) = £ K_z ( t , т ), i =0

n

F ( t ) = £ F i ( t ), i =0

^ i ( t )

( i = 1.. n )

- некоторые срезывающие функции,

(K)

(F)

R i ⁽ t , ^т ) = K i ⁽ t , ^{т )} ( ^ -⁽ t>t^{(т ) ) - 1},       E i ⁽ t ) = F ⁽ t ⁾ ( ^ -⁽ t ^ ⁽ i = 1.. n ),

R ( t , t 0 ) = A i ( t ) + B i ( t )         ( i = 1.. n ),

(R)

^ci⁽ t )

( i = 1.. n )

- некоторые функции.

Для произвольно филированного решения (x(t),y(t)) системы (6) ее второе уравнение умножаем на y (t) [5, c. 194-217], интегрируем в пределах от t0 до t, в том числе по частям, аналогично [2] вводим условия (K), (F), функции ^(t), R,(t,т), E,(t), c. (t) (i = 1..n), 1 л c i i i i условие (R), при этом применим леммы 1.4, 1.5 [6] и имеем следующее тождество:

tn

(y'(t))2 + 2Jb2(s)(y‘(s))2ds + b1(t)(y(t))2 + £ {Ai (t)(Zi(t, 10))2 + Bi (t)(Zi(t, 10))2 - 2Ei (t)Zi (t, 10) + tt

+c( t)-J[B'( s)(Z,( s, 10))2 - 2 E'( s) Zi( s, to)+c'( s )]ds +J K„ (t ,т)(Z,( t ,т ))2 dT} = t 0                                                                                                   t0

= c*0 + 2 J y'(s )[Fo( s ) - (W (s ))-1 H( s, 10) x'(to )]ds + J b‘( s)(y (s ))2 ds + t 0

t 0

ds -

nt

+EJ i =1 t t 0

s

A*( s)(Z( s, 10))2 +J RsT (s ,т)( Zi( s ,т))2 dT t 0

-

t                 I                                   s

2 J y,(s )1b0(s)x(s ) + J [T0(s,T)x (т) + T1(s,T ) y(T ) + K0( s,T ) y 'O')]d t 0            I                         t 0

т > ds ,

Zi( t ,т) = 1J V1kn) y ’(4) dn      (i = 1.. n), где           T

n c 0 =(y'(t 0))2 + b1(t 0)(y(t 0))2 + Z ci(t 0 )• i=1

Сложим тождества (7), (8) и для любого получать следующее окончательное тождество:

решения ^{( x (} t ^{), y (} t )) системы (6) будем

t

t

t

u ( t ) = J ( X ‘ ( 5 ))² ds + Я ² ( x ( t ))² + Я ⁴ J ( x ( s ))² ds + ( y '( t ))² + 2 J b ( s ) ( y ‘ ( s ))² ds + b ( t ) ( y ( t ))² +

t 0

t 0

t 0

n

+ ^ {Ai (t) (Zi (t, 10 ))2 + Bi (t) (Zi (t, 10))2 - 2Ei (t)Zi (t, 10) + Ci (t) - i=1

—

tt

J [ b ; ( s ) ( Z i ( s , 1 0 ) ) ² - 2 E ‘ ( s ) Z i ( s , 1 0 ) + c ‘ ( s ) ds + J R T ( t , т ) ( Z i ( t , т ) ) ² d T } = c *

t 0

t 0

t

t

■ o + J (W ( s ))2( y (s ))2 ds + t 0

t

+ 2 J y ‘ ( s )[ F _o( s ) - (W ( s )) ^{- 1} H ( s , 1 ₀) x '( 1 ₀) ds + J b ‘ ( s ) ( y ( s ) ) ² ds +

t 0

t 0

nt

s

+ ZJ ^ s ) ^{( Z}l ⁽ s , t 0 ^{) ) 2 +}J ^RL ⁽ s ^{, T} ) ^{( Z}l ⁽ s ^{, T ) ) 2 dT ds}

—

t

s

i=1 / t 0

t 0

—

2 J y '( s ) b 0 ( s ) x ( s ) + J [ 7 0 ( s , т ) x (t ) + T ( s , т ) y (t ) + K 0 ( s , т ) y T ) ] d T > ds ,

t 0

с ⁰ = Я ²( x ( t _o )) ² + c ⁰ . где **         o х о / /       *

t 0

Переходя к интегральному неравенству, применяя лемму 1 [7], аналогично теореме 2.1

[2] доказывается.

Теорема . Пусть 1) ^Я ^ ⁰, W ⁽ t ) >  ^0; выполняются условия (K), (F),

(R);

2) b 2 (t ) > 0;

b 1 ( t ) <  b * ( t ) b 1 ( t );

₄₎     A ( t ) >  0,

b . ( t ) >  b ._n > 0,                 .            Ъ*(й G ЕЧ/, R A

3) ^1V '   ¹⁰     существует функция ^{1 v} ’ ^v , +’ такая, что

A * (t ) e L^y( I , R + ), c_t ( t ), R * ( t ) e L ( I , R + )

B (t) > 0,       в;(t) < 0,       R' (t ,t ) > 0,                         , iV 7   ,       iV 7   ,      T ,7   , существуют функции

такие,

что

A i (t ) <  A * (t ) A ( t ), ( E ik ) ( I ) ) 2 < B ik ) ( t ) c <^k > ( t ), R * „ ( t ,t ) < R , (t ) R^ (t , t )   ( i = 1.. n ; k = 0,1);

( W ( t ))² + b „ ( t ) +| F 0 ( t )| + ( W ( t )) ^{- 1} |H( t , 1 0 ) + J [| T ,( t , t ) + T 1 ( t , t )| + | K „ ( t , T )|] d T e L ( I , R , \{0}).

Тогда для любого решения ^{( x (} t ), ^{y (} t )) x ^{( k} )( t ) e L ²( I , R )       ( k = 0,1),

x (t) = O (1),    y(k)(t) = O (1), b2(t)(y'tt))2 eL(I,R+ ),

t 0

системы (6) верны следующие утверждения:

A i ( t )( Z ( t , 1 0 )² = O (1) (i = 1.. n ).

В результате применения леммы 1 [7], получается, что

u (t)  O(1), из которой следует, что tt

t

J ( x '( s ))² ds + Я ² ( x ( t ))² + Я ⁴ J ( x ( s ))² ds + ( y '( t ))² + 2 J b ₂ ( s ) ( y '( s ))² ds + b ( t ) ( y ( t ))² +

t 0

n

t 0

t

t 0

+ V A i ( 1 ) ( Z i ( 1 , 1 0 ) ) ² + J K , t ( t ,t ) ( Z ( t ,t ) ) ² d T <  u ( t ) = O (1).

t 0

утверждения (10)-(12) теоремы.

Отсюда вытекают все

⁽ k

Следствие. Если выполняются все условия теоремы и     ( )      (    , ) при t ^'^ то для любого решения x(t) ИДУ (1) справедливы соотношения:

x ⁽ k ) ( t ) ^ 0 ( к = 0,1,2) при устойчиво.

Действительно, из (10) в имеем: ^{x (} t ) ^ ⁰ , ^t > ^то. После W ^{( к} ) ( t ) ^ 0 ( к = 0,1) _при

t >/, т.е. любое решение ИДУ (1) асимптотически

силу леммы Люстерника-Соболева [8, чего с учетом утверждений (11) и в ^t > / _Из замены (5) и из

с. 393-394; 4] силу условий

соотношения

x "( t ) = ^— Я²x ‘ ( t ) + W ( t ) y ' (t ) + W\t)y ( t ) получаем, что x '( ^t ) ^ ⁰ , x 4 ^t ) ^ ⁰, t      соответственно. Значит, x ^{( t} ) ^ ^{0   (} k = ⁰, ^1,2) при ^t ^^x , и любое решение x ^{( t} ) ИДУ (1)

асимптотически устойчиво.

t Q = 0, a^ ( t ) - 3 + в^ , a ( t ) - 2(3 + e ^) + e² t

Пример . ИДУ (1) с

2 1 + 1    ,    . ₂

--+ 1 sin² t , 2( t + 1)

a ₀ ( t ) - 4 + e¹ — e

² t ,   Q о ( t , т ) -Н ( t , т )

—

e t ^{+ т} sin2 т        e ² t

( t ² + т ² + 3)⁴ + t + т + 7,

Q 1 (t , т ) - 2 H ( t , т ) — Н т ( t , т ) —

e t ^{+ т} sin 2 т

( t ² + т ² + 3)⁴ ,

f ( t ) - —

e ²

t sin t

t ^{+ 4} удовлетворяет всем условиям теоремы и следствия при

H ( t , т ) - e

-1+т  t ² + т ²

e

t + т + 1

t + т + 2

+-- t — т +1

sin t 81п т , Я = 1,   W ( t ) - e^t ,

t₀ = 0 здесь ⁰    ,

H ( t , o ) - o ,

b 2 ( t ) - e¹ ,

ь д t ) - 3,

b 0 (t ) -- e - t

,

7 0 ( t , т ) -

— 1 e

-

t + т + 7

T ( t , т ) -

-

81п2 т

( t ² + т ² + 3 ) ⁴

,2 , ,2

K ( t, т ) - e t ^+т

F ( t ) - —

t + т + 1

t + т + 2

e sin t

t + 4

+------ t — т +1

, n = 1,

F 1 (t ) - F ( t ), F 0 ( t ) - 0,

B 1 ( t ) - ^-, C 1 ( t ) - t + 1

sin t sin т ,

,        t ²   .   . n . x t ^{+ т + 1}

^. (t) - e sin t, R, (t,т) ---h- t + т + 2 t

1 _____ — т + 1,

K 0 ( t , т ) - 0,

£,(t)-— -L, R*(t)-0, A,(t) = 1+1, A*(t)- t + 4                     t + 2

( t + ^{1 ) (} t + ²⁾

t + 1

•

Заключение. Таким образом, нами развит метод вспомогательных ядер в сочетании с другими хорошо известными методами и найден класс линейных ИДУ третьего порядка типа Вольтерра с неполными ядрами, для которого решаема рассматриваемая выше задача.