Об интеграле Даниэля

У Лебега точка зрения на интеграл, как на функцию множества, безусловно, превалировала: это было исторически оправдано. Однако достаточно было бы рассматривать вместо меры неотрицательной функционал    Uf), определенный на аддитивном классе линейных комбинаций характеристических функций измеримых множеств отрезка [0, 1] , обладающий свойством однородности и аддитивности ( то есть U (f) ≥ 0, если f > 0; U (cf) = cU (f); U ( f1+f2) = U (ft) + U (f2)), нормированный условиями

U ( ^хеЭ = U ( ^xe₂ ), если Е 1 и E₂ конгруэнтны, и U (1) = 1, а затем положить

U (ф) = lim ,., // (f_n)                            (1)

для всякой функции ϕ, являющегося пределом монотонно возрастающей последовательности (f_n ) ступенчатых функций. Функционал, определенный с помощью формулы (1), есть не что иное, как интеграл Лебега от неотрицательной функции. При этом понятно, что мы высказали известный факт, пользуясь другим языком: отправной точкой послужило нам не понятие меры, а понятие функционала, заданного на некотором исходном, достаточно простом классе функций (линейных комбинаций характеристических функций).

Если мы пожелаем получить обобщение интеграла, исходя из представления о нем, как о функционале, нам останется вместо класса характеристических функций задать а priori аддитивный класс функций и на нем неотрицательный, однородный и аддитивный функционал U (f) , а затем повторить известный процесс продолжение этого функционала, хотя бы с помощью формулы (1). Этот путь обобщения и был избран Даниэлем.

Даниэль рассматривает произвольное пространство М . Исходный класс функции Т_о определяется следующим требованиями:

• 1.    Если / 1 , / 2 е 7 0 , то / 1 + / 2 е 7 0 .

• 2.    Если f € Т_о, то cf € Т_о, где с - действительное число.

• 3.    Если f i , f 2 € Т о , то max (f 1 , f ) € Т о и min ( f 1 , f₂ ) € Т о . Функции класса Т_о ограничены.

Классом, удовлетворяющим перечисленным требованиям, является, например, класс функций действительного переменного, принимающих конечное число значений с конечным числом точек разрыва. Функции класса То мы будем условно называть « ступенчатыми».

На классе Т_о задан функционал U (f) , обладающей следующими свойствами :

• (A) U ( f+ f 2 ) = U (f i ) + U (f 2 ).

• (C) U (cf) = cu (f), где с - действительное число.

• (L) (Свойство Лебега). Если f 1 >f₂>f₃-— и lim_n ^m f_n = 0, то lim n^w ^U(fl^{)   0} "

• (P) U (f) > 0, если f > 0.

Итак, для « ступенчатых» функций f= Т0 определен «интеграл» U (f). Условия (А), (С), (Р) выражают основные свойства интеграла Римана - Стилтьеса J /йф с монотонно возрастающих последовательностей функций класса Т0, по формуле (1). Условие (L) заготовлено «на будущее» с тем, чтобы обеспечить однозначное продолжение функционала U (f). Следующая фаза построения интеграла - это продолжение функционала U (f) на класс Т1 функций,    являющихся    пределами    монотонно    возрастающим последовательностей функций класса то, по формуле (1). Независимость этого продолжения от последовательности функций обеспечивается условием (L). Класс Т1, понятно, содержит класс Т0.

Наконец, завершающим этапом построения интеграла от произвольной функции является введение крайних интегралов:

•

и(fA 5 inf и ( ф), фе Т 1 , ф > f , - U ( - f ) = U ( f )

•

Функция f называется суммируемой, если U(f) = U(f), причем они конечны, • и тогда U(f) = U (f); функция оказывается суммируемой тогда и только тогда, когда суммируется ее модуль. Класс суммируемых функций обладает свойствами 1-3 присущими классу Т0. и функционал U (f) на нем обладает свойствами (А), (С), (Р), (L). Кроме того, имеют место теоремы Лебега: а) если (fn) — монотонная последовательность суммируемых функций, причем limn^-U (fn) ^ ±«, то limn^^(fn) суммируема, limn^ U (fn )=

U(lim fn ); б) если (fn) - сходящаяся последовательность суммируемых n^ro функций, причем If | < ф, где ф суммируема, то lim^rof суммируема, и limn^U (fn )= U(limfn ). n^M

Общий случай. Рассмотренная выше схема соответствует случаю, когда U (f - положительный функционал; таким является, например, интеграл Лебега или интеграл Стилтьеса с положительной производящей функцией. Каким образом она видоизменяется, если U(f) на   Т0 не удовлетворяет условию (P), что имеет, например, место, когда Uf) = S f d Ф и ф немонотонна? В этом случае, как всегда, выделяются положительная и отрицательная части функционала U (f), каждая из которых является уже положительным функционалом. Это выделение всегда осуществлялось путем разложения меры (то есть функции ф в интеграле Стилтьеса S f d ф ) на две неотрицательные меры. Но этот способ для нас непосредственно неприемлем, поскольку в явном виде U (f) ни от какой меры не зависит! Поэтому указанную процедуру приходится преподнести по другому. Даниэль рассматривает функционал U (f), удовлетворяющий всем сформулированным выше условиям, кроме условия (Р), которое заменяется следующим.

(М) Существует коечный функционал  M(f),  определенный для положительных функций, удовлетворяющий условию М (ф)< М (f), если ф< f, такой, что U (f)< M (|f|) для всякой f е Т0 ).

Функционал, удовлетворяющий условиям (А), (С), (P), (L), удовлетворяют также условию (М) и М(/) = U(f). Выделение положительной и отрицательной частей U (f происходит следующим образом: если f > 0, то

U⁺f 2 supo^ U (ф).

В общем случае, когда f = f⁺- f^-, то )

U⁺ (f) ^ U⁺ (f⁺) - U⁺ (f^-)

и

U - (f) ^d=^f U⁺ (f) - U (f).

U⁺(f), U~(f удовлетворяет условиям (А), (С), (Р), (L). Способом, указанным выше, строится продолжение функционалов U⁺(f), U~(f) на классы суммируемых (относительно них) функций; пересечение этих классов не пусто, поскольку каждый из них содержит класс Т 1 . Функция f называется суммируемой, если она суммируема относительно U⁺(f) и U^- f ), и тогда

U (f) ^ U + (f) - u^- (f)

Итак, построено обобщение, содержащее, как замечает Даниэль, методы интегрирования Лебега и Стилтьеса. Эти методы соответствуют специальному выбору класса T₀ и функционала U (f) на нем.

Даниэль указывает, что если мы желаем исходить при построении интеграла из меры, заданной на достаточно простом классе множеств, то в качестве Т₀ следует взять линейные комбинации характеристических функций, а U(f) определить как линейную комбинацию соответствующих мер. Даниэль строит конкретные примеры интеграла в бесконечномерных пространствах ( пространствах Фреше).

Процедура построения интеграла Даниэля является перефразировкой известных конструкций, использующих понятие меры. Возможно ли обратное – интерпретировать интеграл Даниэля как интеграл по некоторой мере, или вообще как меру? Во всяком случае, следующая интерпретация напрашивается сама собой: превратим функционал Uf) в функцию множества в пространстве пар ( y,p ), где y- действительное число, а p – элемент исходного пространства М, считая U(f) функцией множества, заданной на ординатных множествах Е( 0 < y <  f, p е М) положительных функций f класса Т₀ ( таким образом, класс ординатных множеств, на которых мера U(f) задается первоначально, обладает определенной алгебраических структурой). Тогда – пренебрегая деталями – можно утверждать, что продолжения функционала U (f) на класс суммируемых функций соответствует в новой интерпретации выделению измеримых (ординатных) множеств относительно внешней меры, построенной с помощью функции множества U (f).

Даниэль с помощью функционала Uf) вводит в пространстве М понятие меры и измеримой функции; на основе этих понятий устанавливается более тесная аналогия между теорией Даниэля и теорией интеграла Лебега.В дальнейшем интеграл Даниэля подвергался различным модификациям. В настоящее время известен ряд вариантов построения этого интеграла .