Об интегральном представлении типа Меллина-Барнса решения системы полиномиальных уравнений специального вида
Автор: Зыкова Т.В.
Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал @vestnik-sibsau
Рубрика: Математика, механика, информатика
Статья в выпуске: 2 т.16, 2015 года.
Бесплатный доступ
Интегралы Меллина-Барнса представляют гипергеометрические функции - самый обширный класс специальных функций. Данные интегралы применяются к вычислению групп монодромии А-гипергеометрических систем дифференциальных уравнений. Кроме того, интегралы Меллина-Барнса нашли широкое применение в теоретической физике, в частности, в задачах квантовой электродинамики. Отдельно следует подчеркнуть роль интегралов Меллина-Барнса в теории алгебраических уравнений. Представляет интерес задача исследования сходимости интегралов Меллина-Барнса в граничных точках их областей сходимости. Для интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения алгебраических уравнений, эта задача была рассмотрена ранее. Интегральные преобразования Меллина для решения общей полиномиальной системы алгебраических уравнений исследовались в ряде современных работ, в которых прямое преобразование было вычислено с помощью линеаризации системы (замены переменной специального вида). Для системы полиномиальных уравнений специального вида доказана теорема, в которой получено интегральное представление типа Меллина-Барнса мономиальной функции вектор-решения системы с указанием множества сходимости. Доказательство состоит из двух частей. В первой части обосновывается представление функции вектор-решения интегралом типа Меллина-Барнса. Во второй части доказательства исследовано множество сходимости полученного интеграла, а именно, граничные точки области сходимости. Доказано, что ни одна граничная точка не будет принадлежать области сходимости, интеграл, представляющий решение полиномиальной системы специального вида, сходится в секториальной области.
Интеграл меллина-барнса, алгебраическое уравнение (система), преобразование меллина, множество сходимости, линеаризация системы
Короткий адрес: https://sciup.org/148177420
IDR: 148177420
Текст научной статьи Об интегральном представлении типа Меллина-Барнса решения системы полиномиальных уравнений специального вида
Введение. Интегралы Меллина-Барнса являются обратными преобразованиями Меллина для отношений произведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Частные случаи этих интегралов впервые появились в работах Б. Римана, связанных с теорией гипергеометрических функций. Позднее Х. Меллин развил их теорию [1], а Е. Барнс разработал метод получения асимптотических разложений для разных классов функций, определяемых степенными рядами и интегралами [2]. Отдельно следует подчеркнуть роль интегралов Меллина-Барнса в теории алгебраических уравнений. Впервые такое их применение было продемонстрировано Х. Меллином в работе 1921 года [3], где были найдены интегральные формулы для решения общего алгебраического уравнения. Интегральную формулу и неполную область сходимости Меллин привел без доказательства. Полное доказательство этой формулы с указанием истинной области сходимости было предъявлено И. А. Антиповой [4].
Проблема сходимости интегралов Меллина-Барнса привлекала внимание специалистов на протяжении последнего столетия. В одномерном случае вопрос о сходимости был решен в серии статей и монографий: А. Диксон и Б. Феррар [5], Л. Слейтер [6], Г. Бейтмен и А. Эрдейи [7]. Шаги к решению этой проблемы в многомерном случае были сделаны Х. Меллином, Р. Бушманом и Х. Сриваставой [8], О. Н. Ждановым и А. К. Цихом [9]. Окончательно область сходимости многомерного интеграла Меллина-Барнса найдена М. Пассаре, А. Цихом и Л. Нильсон [10].
Представляет интерес задача исследования сходимости интегралов Меллина-Барнса в граничных точках их областей сходимости. Для интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения алгебраических уравнений, эта задача рассмотрена в работах [11; 12]. Интегральные преобразования Меллина для решения общей системы алгебраических уравнений исследовались в ряде современных работ [13; 14], в которых прямое преобразование было вычислено с помощью линеаризации системы (замены переменной специального вида). В данной работе исследовано множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение полиномиальной системы уравнений специального вида.
Преобразование Меллина мономиальной функции решения общей полиномиальной системы. Рассмотрим приведенную систему n полиномиальных уравнений:
y mi + 2 X Л‘) У ' — 1 = 0, i = 1, - , П (1) л \(':
с неизвестными у = ( y 1 , ..., yn ) е Tn и переменными коэффициентами x Л1) , где Л (1) с X ” - фиксирован- λλ λ ные конечные подмножества; у = У 11 — У пп ;
mi еX+; г = 1, ..., n. Обозначим через Л дизъюнктное объединение множеств Л( 1), и пусть N = #Л - число коэффициентов в системе (1). Множество коэффициентов этой системы пробегает векторное пространство CЛ = Cx, в котором координаты точек x = (xЛ1)) индексируются элементами Л е Л. В работе [15] для мономиальной функции
у Г ( - x )" у Г* ( - X ) — у Г n ( - X )’
Г>0, (2)
составленной из координат У j (- x ) решения системы уравнений (1), было вычислено прямое преобразование Меллина, определяемое интегралом
M
У ц ( — x )
( z )= I" —-— x z I dx , K N У " (- x )
где x z I = x z 1 1 — x N 1 , dx = dx 1 — dxN
Множество сходимости интеграла, представляющего функцию вектор-решения полиномиальной системы уравнений специального вида. Рассмотрим приведенную систему двух полиномиальных уравнений вида
У™1^ xyл(°-1 = 0, 1 = 1, 2,(4)
Ф =
с двумя переменными коэффициентами x 1 , x 2 . Обозначим через А определитель матрицы
" Л(1) - m1 л ч Л21) Л(22) - m2
и предположим, что А >0. Введем векторы хр ^ = ( Лр 1 , m 1 - Л (1) ) , хр 2 = ( m 2 - Л^ , Л 21) ) , ортогональные вектор-строкам матрицы Ф .
Теорема. Мономиальная функция —-—, состав У Г ( - x )
ленная из координат решения системы (4), представляется следующим интегралом Меллина-Барнса:
1 2
1 П (2п 1 ) 2 /=1 v 7 Y+ 1' К2 1 1
I + ( *, z >)г ( z^ ( m m
ГI + ±( *, z > + 1 ( m m
х Q (z1, z 2) x1 z1 x 2 z2 dz1 dz 2, где полином
Q ( z 1, z 2)=^— х m 1 m 2
-
х ( Г 1 Г 2 + Г 1Л2) z 1 + Г 2Л12) z 2 -A z 1 z 2 ) ,
а вектор у е К 2 выбирается из открытого множества
U = { и е К + : г + (* 1 , и > > 0, 1 = 1, 2 } . (6)
Множество сходимости интеграла (5) в переменных 0 = arg x определяется неравенствами
Iон;П ( m - - Л-’ ) • К* ■ •0) 1<;ПА , " 1 - 2 - (7)
Доказательство. Идея доказательства представления мономиальной функции —-— интегралом (5) У р ( - x )
в секториальной области, определяемой неравенствами (7), заимствована в работе [4], поэтому первая часть доказательства излагается кратко.
1. Для простоты положим р 1 = р 2 = 1. Начнем с описания секториальной области голоморфности функции
У (-x(,)) = У1 (-x (S)) У2 (-x(,)), (8)
где зависимость x (,) = ( X i (^ i ,, 2 ), x 2^,^ 2 ) ) определена заменой переменных (линеаризацией) в системе 1
Кроме того, функция y ( - x ) голоморфно продолжается в область S Po = x ( S т ‘ ) - образ секториальной области S т ' с С 2 при отображении x (,). Область S Po есть секториальная область над внутренностью выпуклого многоугольника P следующего вида
P =

К ♦"• 6)1
- ( т. - X ( 1 ) ) , mi
I
< — X , i = 1, 2 k m.
[15], причем ветви радикалов W™j выбраны условием их положительности при , е R 2. . Рассмотрим 1
функцию У( ( - x ( , ) ) = ( 1 + , i ) mi . Она голоморфна (как многозначная функция) вне прямой L i = { , е T 2 :1 + , . =0 } , где T 2 = ( С \ { 0 } ) 2 . Более того, функция y i ( - x (,) ) голоморфна (и однозначна) в секториальной области S т i над выпуклым множеством т i = { те К2 :| т i | < п } , где т i = arg, i , i = 1, 2.
Следовательно, функция (8) голоморфна и однозначна в секториальной области S т над множеством т = { т е К 2 :| т i | < п, i = 1, 2 } . Заметим, что якобиан
„ d( x )
Итак, поскольку якобиан д^) не обращается
в нуль в S т ' , x (,) отображает S т ‘ на S Po локально биголоморфно. Тем самым для x = x (,) е S Po функция y ( - x ), будучи представленной как
П(1 + ,j)mj , является голоморфной. В силу j ,=,-*( x)
односвязности S Po она голоморфна, следовательно,
голоморфна функция
1 y ( - x ).
Для доказательства представления мономиальной
d ( x )
д^у линеаризации (в случае n = N = 2) обращается
в нуль на множестве
функции ----- интегралом (8) нам необходимо
y ( - x )
констатировать еще одно ее важное свойство:
на множестве S Po она удовлетворяет условию
V , =
< , е T 2 :1 +
т 1 - X (1) m 1
,1 +
1 y ( - x )

для всех а е U 1 , где U 1 - открытое
+
т 2 - X 2 2)
т - 2
А
, 2 +----- , 1^2 =0
1 m
(см. [15]). Оно при такой замене переходит в множество ветвления алгебраической функции y ( - x ), т. е.
дискриминантное множество V системы уравнений (4). Полином переменных , 1 , ,2, определяющий нулевое
множество якобиана V , , имеет положительные
коэффициенты у всех мономов, поэтому существует выпуклое множество т' с т с К 2 , 0 е т ' , такое, что в секториальной области S т‘ над каждой точкой те т'
множество (6) при р 1 = р2 =1.
Таким образом, применяя формулу обращения для многомерного преобразования Меллина (см. [4]), 1
получаем представление функции ----- в виде
y ( - x )
интеграла Меллина-Барнса вида (5) в секториальной области S .
Po
2. Исследуем интеграл (5) на сходимость в граничных точках области S Po . Идея доказательства подробно изложена в работе [12]. Можно оценить модуль подынтегральной функции в (5) при | и Ч да
расположен ортант е1 т К + = { , = ( rx е1 т1 , r 2 e1 т2
h>° j ,
выражением вида
свободный от точек V , .
Функции ( 1 + , i ) mi , i = 1, 2, допускают выделение ветвей (со значением 1 при , i =0) в секториальной области S т. Следовательно, таким же свойством обладает отображение x (,) и функция (8).
2 п j =1
( | и j 1 + 1 ) n j (I j , и)| + 1 ) , j

2 (
X exp j (u,9)- п ^ 1 u j 1 + 2 j =1 1
I <^j, u)| mj
Q ( u ,и) X
I < V j , u ) |
где Q ( и , u) = Q ( z )|,
а
показатели степеней
не смогут «погасить» рост экспоненциального
определяются следующими
формулами: n j = U j
^^^^^^в
2,
множителя.
Пусть 9 е д P . Если матрица V , составленная из
, 1 0 j
^j =—\V j, u)+-- mjmj
w
μ j
m
2,
Z j =
μ j
mj
2,
показателей системы (4), не содержит нулевых
элементов, то Р представляет собой восьмиугольник на рис. 1. Вершины восьмиугольника Р имеют коор
j = 1, 2.
Из вида выражения (9)
следует, что сходимость
динаты K 1 1 - п
интеграла (5) контролирует показатель экспоненты
- Х<0 m, - X® --—, п 2--— m1 m 2
K 2
mx - X(1) п —--— m1
П .I
U K °) -^ । U j । + 2 j =1 1
I (ФрУ> I I
m
m
,
m 2 - X 22) 1 Л X 2° m 2 - X® ) Г X? ’
--------- , K 3 - п---- ,п--------- , K 4 -п----, m 2 J I m 2 m 2 J I m 2
степенной множитель
2 п j =1
ξ j
m2 - X22’ п------- m 2
I Jm K 5 п
- X (1’ 1 Д m - xP’
-----,- п , K 6 -п-------- m 1 m 2 J I m 1
ζ j
,
а также функция Q ( и , и), отличная от константы в
X (2) 1 п 1 , m 2 J

случае интеграла, представляющего решение системы уравнений.
Если при фиксированном 9 = (9 1 ,92) е К 2 показатель экспоненты (10), зависящий от и = (и 1 ,и2) е К 2 , есть величина отрицательная, то экспоненциальный множитель (9) убывает и степенной множитель (11), и функция Q ( и , и) не могут нарушить сходимость интеграла. Эта ситуация будет иметь место при 9 е P o . Напротив, неограниченное возрастание показателя экспоненты (10) для какого-либо направления и = (и 1 , и2) говорит о том, что для выбранного 9 = (9 1 ,92) интеграл будет расходиться, так как степенной множитель (11) и функция Q ( и , и)
стороны будем обозначать [KiKj ]. Множество точек относи тельной внутренности стороны [KiKj ] будем обозначать (KiKj).
Он может вырождаться в шестиугольник, если один из показателей X21’ или X(2’ равен нулю. Если X0’= X(2’= 0, то система (4) распадается на два уравнения, и эту ситуацию мы не рассматриваем. Проведем доказательство для случая, когда Р -восьмиугольник. В других случаях оно будет аналогичным.

Рис. 1. Восьмиугольник Р

Рис. 2. Множество X
Как отмечалось ранее, поведение подынтегральной функции в (5) во многом зависит от размерности множества направлений и, на которых показатель экспоненты в оценке (9) обращается в нуль при фиксированном 6 . Объединение таких множеств по всем 6 ед P обозначим 2 . Это множество состоит из одномерных конусов о ± ( e i ) := { re i е R 2, r > о } , о ± (/X):= { п / X е R 2, r > о } , j = 1, 2 и двумерных конусов
+ X X 2
о2 ( e 1 , У 2 ): = { r l e l + Г 2 ^ 2 е R , r j > 0 } ,
О± (ФX , e2):= { rXX + r2e2 е R2 , rj > 0} , о±ОФX, VX):= {ri'/X+ r2VX е R2, rj> 0}.
Для случая, когда Р - восьмиугольник, множество 2 изображено на рис. 2. Если 6 е (K1K3), то показатель экспоненты (l0) обращается в нуль для всех и е о+ (e2) (и только для них). Для стороны (K1K6) соответствующим множеством зануления будет одномерный конус о-(e1). Для наклонных сторон (K3K7), (K7K5) показатель экспоненты (10) обращается в нуль в одномерных конусах о+ (х/ ) и о+ (х/2 ) соответствен- с о f mi —Z(1) m2 — Z°2) 1 г но. Если 6 = -п —1---—, п —---— (вершина K1), I m1 m 2 J показатель экспоненты (10) обращается в нуль для всех и е о+ (e2) и о- (e1). Для вершин K3, K7, K5 такими конусами будут двумерные конусы о+ (х/X, e2), о 2 (L, / 2), о+ (e1, / 2) соответственно. Для остальных сторон и вершин восьмиугольника картина будет симметричной (см. рис. 1, 2).
Требует детального исследования поведение интеграла (5) в окрестностях направлений и = (и 1 , и 2 ), на которых (10) обращается в нуль.
Рассмотрим сторону [ K 3 K 7] восьмиугольника P . Для других сторон рассуждения будут аналогичны. Зафиксируем точку 6 = (6 1 ,6 2 ) е ( K 3 K 7 ). Конус о + (V X ) является гранью двумерного конуса о 2 (/ , e 2). Показатель экспоненты (10) для направлений и из конуса о + (хр 11, e 2) примет вид
const JJ о+ <’1'1,e 2)
(и1 + 1)П1 (и2 + 1)П2



**
х Q ( и , и) exp < I 62
m п—
Л 1
m 2
(/1,и) Г d и1 d и2. (12)
Справедлива следующая лемма.
Лемма. Интеграл (12) расходится.
Доказательство леммы. В интеграле (12) сделаем замену переменных:
U 1 = Ю 1 ,
( V 1 ,и) = ® 2
якобиан которой равен ненулевой константе. В результате такой замены интеграл (12) примет вид
N ^2
где

1 Га m -' La а I Г.
причем — 62 -п ——— <0 для 62 е п 1—1— , лу1 | m2 J || m1 m2 J
_ m2 - Х2) 1_ п------- . С учетом оценки (9) исследование m 2 J интеграла (5), при фиксированном 6 е (K3 K 7), сводится к исследованию сходимости следующего интеграла:
J
R +
V Z1 R Z2
х
x Q 1 ( и , ю) exp < I 6
m п —
m 2
х (2) 2
-^— I ю 2 Г d ю 1 d ю 2 ,
L (ю) = ю 1 + 1, V (ю) = ^ 2- + ю 1 + 1, m 1
M (ю)^ ( - (L ) /(2) х
- m 1 )to 1 ) + 1,
N (ю) = ^рт (А Ю 1 - (Х 22) m 2 ^ ( )
- m 2)ю2 ) + 1 ,
R (Ю) = 7(2)" ( ( m 1 m 2 - Xl1) m 2 -А ) Ю1 + Х22) ™ 2 ) + 1 , m 2 ^ 1
C Q 1 ( и , ю) = Q 2 ( и1 , и 2 , ю1,----VTTT (ю2 - М2) )ю1 ).
m 1 - л ()
Представим интеграл (14) в виде повторного:
” Гал X1
J I ( ю2 ) I — + 1 I
0 2 m 1 I
exp 2 1 6 2
- п
m 2 - ^ 22) m m 2
ю2 Г d ю2, (15)
где
X
I ( Ю2 ) = J 0
L n1 M П2 N Z2
V Z1 R Z2
Q 1( и , ю) d ю1.
Исследуем сходимость интеграла (16). Степень подынтегральной функции по переменной ю1 в (16) равна
Ё( П- Z7) + ^2
j =1
+ 2 = - 3

m 1
+ 2 =


Здесь выражение в скобках больше нуля в силу условий (6). Степенной множитель Q 1 ( u , ω) дает существенный вклад (слагаемое, равное 2) в сумму (17), так как degQ ( z 1 , z 2) = 2 при условии A >0. Из неравенств (17) следует, что интеграл (16) расходится. Как следствие, расходится и интеграл (15). Лемма доказана.
Исследуем вершины восьмиугольника Р . Точке K 1 соответствуют в множестве 2 два одномерных конусах о + ( e 2) и о - ( e 1 ). Поэтому, чтобы констатировать расходимость интеграла (5) в точке K 1 , необходимо и достаточно исследовать эту точку в составе сторон [ K 1 K 3 ] и [ K 1 K 6 ]. Аналогичным свойством обладает симметричная точка K 2 .
Прообразы вершин K 3 , K 7 , K 5 , K 4 , K 8 , K 6 восьмиугольника P также не входят в множество сходимости интеграла (5). Действительно, в этих точках зануление показателя экспоненты (10) происходит по всем направлениям υ = (υ 1 , υ 2 ), принадлежащим двумерным конусам, которые были перечислены выше. Поэтому задача сводится к исследованию сходимости двойных интегралов от степенных функций по этим конусам. Эти интегралы расходятся, так как степенной множитель (11) и функция Q ( u , υ) имеют суммарную степень по переменным υ 1 , υ 2 , равную –1.
Итак, мы можем сделать вывод: множество сходимости интеграла (5) есть секториальная область S Po , основание которой определяется неравенствами (7). Таким образом, теорема доказана.
Заключение. В данной работе получено интегральное представление типа Меллина–Барнса мономиальной функции вектор-решения системы полиномиальных уравнений специального вида с указанием множества сходимости.
Acknowledgments. This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research № 15-31-20008-mol_a_ved, 14-01-00283-a.
Список литературы Об интегральном представлении типа Меллина-Барнса решения системы полиномиальных уравнений специального вида
- Mellin H. R. Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma und der hypergeometrischen Funktionen//Acta Soc. Sci. Fennica. 1896. Vol. 21, No. 1. P. 1-115.
- Barnes E. W. The asymptotic expansion of integral functions defined by generalized hypergeometric series//Proc. London Math. Soc. 1907. Vol. 5, No. 2. P. 59-116.
- Mellin H. R. Résolution de l'équation algébrique générale à l'aide de la fonction gamma//C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 1921. Vol. 172. P. 658-661.
- Antipova I. A. Inversion of many-dimensional Mellin transforms and solutions of algebraic equations//Sb. Math. 2007. Vol. 198, No. 4. P. 447-463.
- Dixon A. L., Ferrar W. L. A class of discontinuous integrals//The Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series). 1936. Vol. 7. P. 81-96.
- Slater L. J. Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press, 1966. 143 р.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973. 294 c.
- Buschman R., Srivastava H. Convergence regions for some multiple Mellin-Barnes contour integrals representing generalized hypergeometric functions//Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 1986. Vol. 17, No. 5. P. 605-609.
- Zhdanov O. N., Tsikh A. K. Studying the multiple Mellin-Barnes integrals by means of multidimensional residues//Sib. Math. J. 1998. Vol. 39, No. 2. P. 245-260.
- Nilsson L. Amoebas, Discriminants, and Hypergeometric Functions//Doctoral Thesis, Department of Mathematics. Sweden: Stockholm University, 2009.
- Антипова И. А., Зыкова Т. В. О множестве сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения тетраномиального алгебраического уравнения//Журн. СФУ. Сер. «Матем. и физ.». 2010. Т. 3, № 4. С. 475-486.
- Зыкова Т. В. О сходимости интеграла Меллина-Барнса на границе его области сходимости//Вестник КемГУ. 2011. Т. 47, № 3/1. С. 199-202.
- Антипова И. А. О мономиальной функции вектор-решения общей системы алгебраических уравнений//Вестник Красноярского госуниверситета. Серия «Физ.-мат. науки». 2005. № 1. C. 106-111.
- Степаненко В. А. О решении системы n алгебраических уравнений от n неизвестных с помощью гипергеометрических функций//Вестник Красноярского госуниверситета. Серия «Физ.-мат. науки». 2003. № 2. C. 35-48.
- Antipova I. A., Zykova T. V. Mellin transform for monomial functions of the solution to the general polynomial system//Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2013. Vol. 6, No. 2. P. 150-156.
- Mellin H. R. Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma und der hypergeometrischen Funktionen. Acta Soc. Sci. Fennica. 1896, Vol. 21, No. 1, P. 1-115.
- Barnes E. W. The asymptotic expansion of integral functions defined by generalized hypergeometric series. Proc. London Math. Soc. 1907, Vol. 5, No. 2, P. 59-116.
- Mellin H. R. Résolution de l’équation algébrique générale à l'aide de la fonction gamma. C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 1921, Vol. 172, P. 658-661.
- Antipova I. A. Inversion of many-dimensional Mellin transforms and solutions of algebraic equations. Sb. Math. 2007, Vol. 198, No. 4, P. 447-463.
- Dixon A. L., Ferrar W. L. A class of discontinuous integrals. The Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series). 1936, Vol. 7, P. 81-96.
- Slater L. J. Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press. 1966, 143 p.
- Beytmen G., Erdeyi A. Vyshii transtsendentnye funktsii . Moscow, Nauka Publ., 1973, 294 p.
- Buschman R., Srivastava H. Convergence regions for some multiple Mellin-Barnes contour integrals representing generalized hypergeometric functions. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 1986, Vol. 17, No. 5, P. 605-609.
- Zhdanov O. N., Tsikh A. K. Studying the multiple Mellin-Barnes integrals by means of multidimensional residues. Sib. Math. J. 1998, Vol. 39, No. 2, P. 245-260.
- Nilsson L. Amoebas, Discriminants, and Hypergeometric Functions. Doctoral Thesis, Department of Mathematics. Stockholm University. Sweden. 2009.
- Antipova I. A., Zykova T. V. . Zhurnal Sibirskogo Federalnogo universiteta. Seriya matematika & fizika. 2010, Vol. 3, No. 4, P. 475-486 (In Russ.).
- Zykova T. V. . Vestnik KemGU. 2011, Vol. 47, No. 3/1, P. 199-202 (In Russ.).
- Antipova I. A. . Vestnik Krasnoyarskogo gosuniversiteta. Seriya fiz.-mat. nauki. 2005, No. 1, P. 106-111 (In Russ.).
- Stepanenko V. A. . Vestnik Krasnoyarskogo gosuniversiteta. Seriya fiz.-mat. nauki. 2003, No. 2, P. 35-48 (In Russ.).
- Antipova I. A., Zykova T. V. Mellin transform for monomial functions of the solution to the general polynomial system. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2013, Vol. 6, No. 2, P. 150-156.