Об интегральном условии существования одномерных притягивающих множеств простейшего косого произведения отображений интервала

Влияние дифференциальных свойств динамических систем класса косых произведений на структуру ω -предельных множеств исследовалось в [1 -- 3]. Так, в [1] такого рода исследование проведено для цилиндрических каскадов (косых произведений над иррациональным поворотом окружности с отображениями в слоях специального вида на неограниченном цилиндре), в [2, 3] — для косых произведений отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек. Рассмотрения статьи [4] следуют классическому подходу А. Данжуа (см. [5] — [7]). Здесь выделен класс косых произведений над иррациональным поворотом окружности, заданных на двумерном торе и таких, что ( г ) сохраняющие ориентацию диффеоморфизмы — отображения в слоях имеют непрерывную, как функция точки на торе, частную производную по второй переменной (основной переменной в слое); ( ii ) вариация логарифма указанной частной производной, как функции одной переменной — основной переменной в слое, интегрируема по первой переменной (от которой зависит факторотображение). Для косых произведений выделенного класса в [4] описана структура связных компонент минимальных (собственных) подмножеств тора.

Данная статья является продолжением [2, 3]. Так в [2], в частности, доказано, что C 1-гладкие косые произведения отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек такие, что композиции их отображений в слоях над точками произвольной периодической орбиты факторотображения (взятые в циклическом порядке точек орбиты) имеют только притягивающие и отталкивающие (в частности, гиперболические) периодические точки, обладают лишь ω-предельными множествами — периодическими орбитами. Используемое в [2] условие на периодические точки отображений в слоях является существенным и означает, что каждая такая точка изолирована во множестве периодических то- чек отображений в слоях. В то же время результаты работ [8--10] показали, что существуют непрерывные (но не гладкие) косые произведения отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек, отображения в слоях которых над неподвижными точками их фак-торотображений являются тождественными (то есть каждая точка такого слоя — неподвижная для отображения в слое и, следовательно, неизолированная в слое); причем целые слои, заполненные неподвижными точками косого произведения, представляют собой ω-предельные множества некоторых траекторий. Влияние дифференциальных свойств косого произведения в плоскости на структуру ω-предельных множеств исследовано в [3]. Здесь, в частности, установлено, что каждое ω-предельное множество C 1 -гладкого косого произведения отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек, удовлетворяющего некоторым условиям типа локальной теоремы существования C 1 -гладкой неявной функции (см. далее описание пространства T ^ (I)) есть периодическая орбита. В [3] указаны также максимальные дифференциальные свойства отображений в слоях косого произведения с замкнутым множеством периодических точек по переменной x, при выполнении которых возможно существование одномерных ω-предельных множеств.

В настоящей статье получено новое конструктивное необходимое условие существования одномерных ω-предельных множеств у косых произведений в плоскости, имеющих замкнутое множество периодических точек, основанное на использовании расходящегося несобственного интеграла первого рода. В свою очередь появление несобственного интеграла при рассмотрении вопроса существования одномерных ω-предельных множеств связано с привлечением к такому исследованию специальных расходящихся рядов, построенных по траекториям рассматриваемой динамической системы. Этот подход, по-видимому, следует рассматривать в контексте сформулированной Д.В. Аносовым в [11] проблемы нахожде- ния движений, занимающих промежуточное положение между квазипериодическими и гиперболическими движениями.

Рассмотрим косое произведение отображений интервала

F ⁽ x^ ) = ⁽ f ⁽ x ) ,g x ( у )) (i)

с фазовым пространством I = 1 1 x 1 2 , где 1 1 ,I2 — отрезки вещественной прямой, a g x ( у ) = g ( x,y ).

Отображение f : 1 1 ^ 1 1 называется факторо-тображением, а g x : 1 2 ^ 1 2 при любом x E 1 1 называется отображением в слое над точкой x косого произведения F .

В силу (1) для каждого натурального числа n и произвольной точки ( x ; у ) E I справедливо равенство

Fn (х,У) = (fn (x) ,gx,n (У)), где gx,n = gfn-1(x) ◦ • •• ◦ gf(x) ◦ gx.

Для обозначения пространства всех непрерывных отображений вида (1) с C ⁰ -нормой будем использовать символ T 0 ( I ).

Отображение вида (1) с замкнутым множеством периодических точек (обозначаемым в дальнейшем Per ( F ) ) будем называть простейшим.

Символом т ( F ) обозначим множество (наименьших) периодов периодических точек простейшего отображения F E T 0 ( I ). Из результатов статей [2] и [12] следует, что для простейшего отображения F E T ⁰ ( I ) справедливо включение т ( F ) С { 2 } ^ о . Если F E T 0 ( I ) имеет ограниченное множество т ( F ), то т ( F ) = { 1 , 2 , 2 2 ,..., 2 ^м } , где ц = ц ( F ), 0 <  ц <  + го . Предположение об ограниченности множества т ( F ) приводит к связности ш -предельного множества ш р м (( x ; у )) траектории произвольной точки ( x ; у ) E I относительно отображения F M (здесь M = 2 ^м — наибольший элемент множества т ( F )). Справедлив следующий точный результат, доказанный в [3].

Предложение 1. Пусть F E T 0 ( I ) , а множество т ( F ) ограничено. Тогда для любой точки ( x ; у ) E Тш-предельное множество ш р м (( x ; у )) ее траектории относительно отображения F ^M есть вертикальный отрезок (возможно, вырожденный).

Важную роль в свойствах дискретной динамической системы Ф с компактным фазовым пространством X играет ее неблуждающее множество П(Ф), то есть множество всех точек x E X (называемых неблуждающими), произвольная окрестность U (x) каждой из которых при некотором n = n (U (x)) удовлетворяет неравенству U(x) p| Фn(U(x)) = 0 (см., например, [13, часть 1, гл. 3, п. 3.3]). Укажем также, что ш-предельное множество Ф-траектории произвольной точки из X включено в неблуждающее множество Ф. В [2] доказано, что неблуждающее множество П(F) простейшего (непрерывного) косого произведения отображений интервала совпадает с множеством Per (F). Поэтому если т(F) — ограниченное множество, то ш-предельное множество шр м ((x; у)) FM-траектории произвольной точки (x; у) E I состоит из неподвижных точек F M . Для описания класса косых произведений, рассматриваемых в данной работе, нам потребуется введенное в [3] понятие исключительной периодической точки факторотображения.

Определение 2. Пусть F E T 0 ( I ) — простейшее отображение. Периодическую точку x ⁰ факторотображения f ( x ⁰ E Per ( f )) назовем исключительной периодической точкой фак-торотображения f отображения F , если хотя бы одна связная компонента множества ( Per ( F ))( x ⁰ ) представляет собой невырожденный отрезок (здесь ( Per ( F ))( x 0 ) = { у E 1 2 : ( x ⁰ ; у ) E Per ( F ) } — срез множества Per ( F ) вертикальным слоем над точкой x ⁰ ).

Обозначим через Per e ( f ) множество исключительных периодических точек факторотображе-ния f отображения F E T 0 ( I ).

Следуя [3], будем рассматривать подпространство T ^ ( I ) пространства T ⁰ ( I ), состоящее из отображений, каждое из которых имеет C ¹ -гладкое на отрезке I 1 факторотображение f и отображения в слоях g x ( у ) со следующими свойствами: ( i * ) частная производная dy g x ( у ) непрерывна на I , ( ii * ) в каждой точке ( x ; у ) E I существует конечная частная производная dx g x ( у ), непрерывная всюду, за исключением, быть может, точек множества Per e ( f ) x 1 ₂ , ( iii * ) для любой точки ( x ; у ) E I такой, что x E J * \ Per ( f ) для некоторого интервала J * С 1 1 , а у — неподвижная точка отображения g x,M : 1 2 ^ 1 ₂ , существует окрестность U g (( x ; у )) = U 1 ,5 ( x ) x U 2 ,5 ( у ), обладающая следующим свойством: для каждой точки ( x ; у ) E U g (( x ; у )) верно

∂∂ yxgx,M(у) ^0(dxgx,M(у) ^ 0), причем, каково бы ни было у E U2,5(у), промежуток U 1,5(x) x {у} не содержит невырожденного подотрезка, на котором верно тождество dxgx,M(у) = 0. Свойство (iii*) означает выполнение условий классической локальной теоремы существования неявной функции x = x(у), удовлетворяющей уравнению gx,M(у) = у (см., например, [14, п. 1]). Отметим также, что из [15] следует ограниченность множества т (F) произвольного простейшего отображения F E Td* (I).

Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 с использованием введенных в [3] рядов, построенных по траекториям простейших отображений вида (1), доказан критерий (необходимое и достаточное условие) существования одномерных ω-предельных множеств у такого рода отображений. В разделе 3 доказано необходимое условие существования одномерных ω-предельных множеств у простейших косых произведений отображений интервала, основанное на использова- нии несобственного интеграла первого рода. Здесь же для конкретного простейшего отображения F E T^ (I), имеющего одномерное ш-предельное множество (отображения, в слоях которого обладают максимальными дифференциальными свойствами по переменной x среди отображений рассматриваемого класса, допускающих одномерные ω-предельные множества), непосредственно с использованием асимптотических свойств траекторий факторотображения и аналитического задания отображений в слоях установлена расходимость такого интеграла.

• II.    Ряды и ω-предельные множества простейших косых произведений

В разделе 2 изучение ω -предельных множеств непрерывных косых произведений отображений интервала с ограниченным множеством (наименьших) периодов периодических точек сведено к рассмотрению специальных рядов, построенных по траекториям рассматриваемой динамической системы. Так, в статье [3] доказано следующее утверждение.

Предложение 3. Пусть отображение F E   T 0( I) имеет ограниченное множе ство т (F). Тогда для произвольной точки (X; y') E I следующие утверждения эквивалентны: (3.1) ш-предельное множество ШFм ((X; у'))  — невырожденный вертикаль-

+ СО ный отрезок; (3.2) ряд      Vx' ,Mn(у')     (2)

n =1

• — расходящийся (знакопеременный), здесь w , Mn ⁽ у ' ) = g x - ,M ( n +i) ⁽ у ' ) - g x ' , Mn ⁽ у ' ) при любом n X 1 .

В том случае, если отображение F E T ⁰ ( I ) имеет ограниченное множество т ( F ), и ω -предельное множество траектории некоторой точки ( X ; у ' ) E I представимо в виде ш _F м (( X ; у ' )) = { х ⁰ } х [ а,в ], где а < в , то, как отмечалось во введении, любая точка указанного отрезка является неподвижной для F ^M . Следовательно, g x о ,м। [ _ав ] — тождественное отображение отрезка [ а,в ]. В силу классической леммы Адамара для функции одного переменного [16, гл. 6, п. 2] отображение g _x,_M ( у ) дифференцируемо по х в каждой точке ( х ⁰ ; у ), где у E [ а,в ], в том и только том случае, если существует непрерывная по переменной х в каждой точке отрезка { х ⁰ } х [ а,в ] функция ф ( х,у ), определенная в прямоугольнике I 1 х [ а,в ] и такая, что при всех ( х ; у ) E I 1 х [ а,в ] справедливо равенство

• д х,м ⁽ у ) = у + ⁽ x ^{— х 0 ) ф ( х,}у ) .         ⁽³⁾

При этом

∂

• ^{ф ( х 0}^) = dxg x о ,м ⁽ у ) , для любого у ^{E [ а,в ]} . ⁽⁴⁾

Равенство (3) позволяет придать предложению 3 другую форму.

Теорема 4. Пусть отображение F E T ⁰ ( I ) имеет ограниченное множество т ( F ) , а g x ( у ) дифференцируемо по x на I . Тогда для произвольной точки ( X ; у ' ) E I следующие утверждения эквивалентны: ( 4 , 1 ) ш-предельное множество Ш F м (( X ; у ' )) — невырожденный вертикальный отрезок; ( 4 , 2 ) существуют точка х ⁰ E Per e ( f ) , связная компонента [ а,в ] (а < в) среза ( Per ( F ))( х ⁰ ) и счетное подмножество N [ _а,в ] множества N натуральных чисел такие, что X E W s ( х ⁰ ,f ^M ) \ { f ^{- Mn} ( x ⁰ ) } _n ^ ₀ (здесь f - Mn ( , ) — полный прообраз точки относительно отображения f ^Mn , W s ( х ⁰ ,f ^M ) — устойчивое многообразие точки х ⁰ E Per ( f ) относительно отображения f ^M ):

N [ a,e ] = ^{{ n E N} : g x ' , Mn ⁽ у ' ) ,g x ' ,M ( n +i) ⁽ у ' ) ^{E [ а,в ] }} ;

(5) аряд

• £ ( f Mk ( X ) - X ⁰ ) Ф ( f ^Mk ( X ) ,g x ' ,Mk ( у ' ))  (6)

• 2.    Убедимся в том, что существует счетное множество N [ _а,в ] , удовлетворяющее (5). Для этого будем использовать точку у _с = ^{в - а} . Возьмем произвольно и зафиксируем положительное число е X ^{в -} ба и из условия равномерной непрерывности F M на I по числу е >  0 найдем 5 >  0. Тогда для любых точек ( х 1 ; у 1 ) , ( х 2 ; у 2 ) E I таких, что | х 1 — х ₂ 1 <5 , | у 1 — у ₂ 1 < 5 , удовлетворяются неравенства

keN [ a,e ]

расходится.

В статье [3] доказано, что из существования у отображения F , удовлетворяющего условиям теоремы 4, одномерного ω -предельного множества (см. утверждение (4 , 1)) следует справедливость утверждения (4 , 2). Для того чтобы убедиться в справедливости импликации (4 , 2) = ^ (4 , 1), нам потребуется восстановить рассуждения, приведенные в [3] при доказательстве импликации (4 , 1) = ^ (4 , 2).

Доказательство теоремы 4. 1. Пусть отображение F E T0 (I) удовлетворяет условиям теоремы 4, а ω-предельное множество траектории точки (х'; у') E I относительно отображения FM — невырожденный вертикальный отрезок. Так как шрм ((X; у')) состоит из неподвижных точек FM, то найдутся точка х0 E Pere (f) и связная компонента [а,в] (где а < в) среза (Per(F))(х0) такие, что шFм((х'; у')) С {х0} х [а,в], где шFм ((X; у')) = {х0} х [а' ,в'] при некоторых а X а' < в X в. Тогда имеем X E Ws(х0,fM) \ {f-Mn(х0)}n^0 (см. [17]).

l f M ( х 1 ) — f ^M ( х 2 ) | < e, | g x 1 ,м ( у i ) — g x ₂ ,m ( у 2 ) | < e.

Используя компактность I , для окрестности

U _e,₅ ( Ш F м (( X ; у ' ))) = U 1 ,₈ ( х ⁰ ) х U ₂ ,_e ([ а ' ,в ' ])

множества ш р м (( X ; у ' )) (здесь U ₁ ,5 ( x 0 ) и U 2 ,e ([ а ,в ' ]) есть 5 -окрестность точки x ⁰ в 1 1 и e -окрестность отрезка [ а' ,в' ] в 1 ₂ соответственно) укажем натуральное число п * так, чтобы при всех п ^ п * выполнялось F ^Mn ( X,y ' ) G U _e,5 ( ^ f м (( x ' ; y ' ))) [18, гл. 5, 3]. Так как ( x ⁰ ; y c ) G w f м (( X ; у ' )), то для e -окрестности U 2 ,5 ( y c ) точки y c в 1 ₂ найдется счетное множество N ' = { п 1 ,n '₂ ,... } такое, что п * С п 1 < п '₂ < ... , и при любом п G N ' верно g x, Mn ( у ' ) G U 2 ,_е ( У с ). Тогда N ' С N [ _а,в ] , и N [ _а,в ] — счетное множество.

• 3.    Покажем, что ряд (6) расходится. В самом деле, если N \ N [ _а,в ] — не более, чем конечное множество, то расходимость ряда (6) следует из предложения 3. Рассмотрим случай счетного множества N \ N [ _а,в ] . Нам потребуются следующие подмножества множества натуральных чисел (хотя бы одно из которых непусто): N a = { п : g x ' , Mn ( у' ) < а } , и N e = { п : g x ' , Mn ( y ' ) > в } . При сделанном предположении хотя бы одно из множеств N _α или N β счетно. Тогда из определения связной компоненты множества следует, что если N _α ( N β ) — счетное множество, то α ( β ) — единственная предельная точка для { g x ' , Mn ( y ' ) n ( { g x ' , Mn ( y ' ) } neN ₅ ), при этом а' = а , ( в ' = в ). Будем использовать далее точку У С = y c - r- . Так как ( x ⁰ ; у С ) G ш _р м (( X ; у ' )), то для окрестности U ₂ ,_е ( у С ) точки у С в 1 ₂ найдется счетное подмножество N '' = { п",п 2' ,... } множества N такое, что п * < п" < п ^ < ... , причем при любом п G N '' верно g^ , Mn ( у ' ) G U 2 ,_s ( y C ). Элементы множества N ' U N '' С N [ _a,e ] , расположенные в порядке возрастания их численных значений, обозначим через п ₁ ,п ₂ ,... (таким образом, п ₁ < п ₂ < ... ). Пусть S' _m ( S ^ ) означает m -ю частичную сумму ряда (2) (ряда (6)). Тогда S Mn i + j - S Mn i = g x ' ,Mn i + j ⁽ y ' ) - g x - Mn ⁽ y ' ) при ^всех i,j ^ 1, и из определения множеств N ' и N '' следует, что последовательность { S M_n. }i > ₁ не является фундаментальной. Укажем нефундаментальную последовательность частичных сумм ряда (6). Для этого заметим, что счетность множества N α N β влечет за собой существование строго возрастающей последовательности натуральных чисел { i _s } _s ^ 1 такой, что при всех s ^ 1 имеют место следующие свойства: (3.1) п , ^ i s ₊₁ G N ' IJ N '' ; (3.2) ( й, , ^ i s +1 ) П( N a и N e ) = 0 . Из свойств (3.1) — (3.2) следует, что при любом s ^ 1 найдется натуральное число п ( s ) G ( п , ^is ₊₁ ) такое, ^что g x ' ,Mn ( s ) ⁽ У ' ) ^{G [ а,в ]} , ^{( п ( s ) + 1) G} N a и ^N e , причем N П [ п_га :п ( s ) - 1] С N [ а,в ] . При п = п ( s ) имеем

' а '

\ у П ( s ) - g x ' ,M ( n ( s )+1) ( y ' ) | < e <  ^ ^ <  ^ 1^- .

_ (7)

Используя определение чисел п (s) и неравенство (7), получаем, что при каждом s ^ 1 только лишь одна из точек α или β содержится в промежутке, ограниченном точками уП(s) и gx',M(n(s)+1) (y'). Поэтому из (7) следу- ет, что предельными точками последовательности {gx',Mn(s) (у')}s>1 могут являться лишь точки α или β (возможно, обе одновременно). Рассмотрим множество {nis }s^1 ^{п(s)}s^1. В силу предыдущего при любом s > 1 выполнены неравенства His < п(s) < His+1. Положим п2s-1 = His , п2s = п (s) (s ^ 1). Тогда справедливо включение N Q[п2s-1 ,п2s — 1] С N[а,в], и при всех s > 1 имеем

Q ''

S _Mn

2 s

1''

Mn

,'     _ с '       _

Mn 2 ,   S Mn 2 s - 1

^g x ' ,Mn 22 s ^{( y} )    ^g x ' ,Mn 2 _{s -} 1 ^{( y} ) .

Так как последовательность { g _x ' ,M _nk ( у ' ) } k > ₁ имеет не менее двух предельных точек, то последовательность частичных сумм { S' M _n } k > ₁ ряда (6) нефундаментальна, и ряд (6) расходится. Таким образом, верно утверждение (4 , 2).

• 4.    Пусть теперь отображение F G T ⁰ ( I ), удовлетворяющее условиям теоремы 4, обладает свойством (4 , 2). Если при этом N [ _а,в ] = N или N \ N [ _а,в ] — конечное множество, то справедливость утверждения (4 , 1) вытекает из предложения 3. Рассмотрим случай счетного множества N \ N [ _а,в ] . Тогда хотя бы одно из множеств N _α или N β счетно, и в силу предыдущего п. 3. а ( в ) — единственная предельная точка для { g x ' , Mn ( У ' ) } _n^N _a , если N _a счетно (для { g x ' , Mn ( у ' ) } neN y , если N e счетно). Используя предложение 3, получаем отсюда, что множества частичных пределов последовательностей частичных сумм рядов (2) и (6) совпадают и представляют собой невырожденный отрезок [ а,в ' ] при некотором в ' С в , если N _a счетно (невырожденный отрезок [ а ' ,в ] при некотором а ' ^ а , если N e счетно). Таким образом, в силу предложения 3 Ш F м (( x ; у ' )) — невырожденный вертикальный отрезок. Теорема 4 доказана.

• III.    Одномерные ω-предельные множества и расходящийся несобственный интеграл

Эту часть работы мы начнем с формулировки доказанного в работе [3] необходимого условия существования одномерных ω -предельных множеств простейших отображений, основанного на использовании ряда, членами которого являются значения функции переменной x , представляющей собой C ⁰ -норму отклонений сужений отображений в слоях на некоторый невырожденный отрезок от тождественного отображения на том же отрезке. Как обычно, обозначим через C ⁰ ( 1 ₂ ) пространство непрерывных отображений отрезка I 2 в себя с C ⁰ — нормой, определяемой равенством

\\ У |\ с 0 ( 1 2 ) = sup | 0 ( у ) | , где е G C ⁰ ( 1 2 ) . yei 2

Теорема 5. Пусть F G T * ( I ) — простейшее отображение такое, что для F ^M -траектории некоторой точки ( x ' ; у ' ) справедливо

^fм((x; у')) = {x0} х [а',в'], где x0 е Pere (F), [а ,в'] С 12, a' < в1. Тогда знаконеотрицательный числовой ряд llgfMk(x')M|[a,e] — id\[a^e^Wc0(12)    (8)

k^N [ а ' ,в ' ]

расходится.

Будем считать выполненными условия теоремы 5. Рассмотрим убывающую (хотя бы в широком смысле) числовую последовательность {si}i>1, где при любом 1 ^ 1 выполнено si sup {||gxMk,M \ [ a',e'] - id\[ а,в' ] ||C0( 12 ) }k > l.

Из определения последовательности { s i } i > 1 и теоремы 5 следует, что знакоположительный числовой ряд

+ го

Е ^{8 1} ,                     ( ⁹ )

i =1

мажорирующий ряд (8), расходится. Пусть непрерывная положительная функция 9 ( и ), определенная на некотором промежутке [ 1 0 , + го ) такова, что 9 ( 1 ) = s i при всех 1 ^ 1 о , причем 9 ( и ) монотонно убывает (хотя бы в широком смысле) на [ 1 о , + го ) 1 . Тогда в силу теоремы 5 и интегрального признака Маклорена–Коши несобственный интеграл

+ го

| 9 ( и ) du                  (10)

i 0

расходится. Расходимость ряда (12) влечет за собой существование строго возрастающей последовательности натуральных чисел { n m } m > 0 такой, что n о = 0 и при всех m ^ 0 верны неравенства

n 1 + 1                                  !

у x n _- '

^0 10 - ln X n      ^Уо V 10

или

ⁿ m +1 +²

Е

n = П т +2

x n

10 — ln x _n

> 1

yn- m +2

V^{10 — ln} x n m +2 ’

если m ^ 1, m — четное;

ⁿ m +1 ^{+ 2}

E

n = П т + 2

x n

10 — In x _n

yn m ⁺²    710 — In X.

если m — нечетное, здесь

n 1 +1

'    1                   ' у xn

y ⁰    V W ^ n ^{1 +1}   y n ^{1 +2}   y ^{0 +}^ 10 — ln X n ,

и при каждом m ^ 1

y n _m

. + 1 +2 = y n m + 1 + 1 =

n m +1 +2

= y'nm +2 + ( — 1) m E n=nm +2

x n

10 — ln x _n ,

расходится одновременно с рядом (9) (см., например, [19, гл. 6, п. 5, п. 2b]). Таким образом, доказана следующая

Теорема 6. Пусть F е T ^ ( I ) — простейшее отображение такое, что для F ^M -траектории некоторой точки ( x ' ; у ' ) справедливо равенство

^fm ((x'; у')) = {x0} x [a'^], где x0 е Pere(F), [o',в] С 12, a' < в'. Пусть непрерывная положительная функция 9(и), определенная на некотором промежутке [ 10, + го) такова, что 9 (1) = si при всех 1 ^ 10, причем 9 (и) монотонно не возрастает на [ 10, + го). Тогда несобственный интеграл (10) расходится.

Завершая работу, рассмотрим указанное в [3] отображение x2

F a ^{( x,}y ) = ^{( x} - у ,-у ^{+ х}^ ⁽ ^у )) ,      ⁽¹¹⁾

здесь F a : I ^ I , I = [0 ,a ] x [0 , 1], a <  1 — некоторое положительное число, указанное ниже. Приведем построение функции 'ф ( x,y ), следуя [3]. Положим x _n = f ⁿ (1), n ^ 0. Тогда x _n = O ( n ) при n ^ + го , и необходимый нам ряд

+ го

У-- у--           (1 ₂ )

П= 10 — ln xn причем при любом m ^ 0 nm +1 + 2 — наименьшее из натуральных чисел, для которых выполнены неравенства (13). Пусть J0 = (xn 1,1]; Jm = (xnm + 1 ,xnm +3], Jm = (xnm + 1 ,xnm ], J^2) = (xnm +3 ,xnm+1] при всех m > 1. Для определения функции |^(x,y) | используются C 1-гладкие по y «шапочки» Урысона, длины горизонтальных участков и высоты которых зависят от x е (0,1]. Обозначим через h(x) высоту «шапочки» Уры-сона в слое над точкой x е (0,1]. Положим у 1(x) = -\/h(x) и у2(x) = 1 — у 1(x). Функцию |^(x,y) | при любом x е (0,1] определим в силу следующего равенства:

| ^ ^{( x,}y ) | =

{ h ^{( x )sin 2}2 nx ) ,   ^если у ^{е [0} ,у 1 ^{( x )];}

h ( x )                если у е ( у 1 ( x ) ,у 2 ( x ));

h ( x ) sin ² ^ т У т х ) , если у е [ у 2 ( x ) , 1] .

Для определения h(x) используется строго воз- растающая, выпуклая вверх, положительная на (0,1] функция h 1(x) = 10_xln x. На множестве J = Um=0 Jm определим функцию h(x), полагая h (x) = h 1 \j (x), здесь h 1 \ (.) — сужение функции h 1 на множество. Перейдем к определению функции h(x) на промежутках J^) и Jm) при всех m ^ 1.

1 Указанными свойствами обладает, например, кусочно линейная на каждом промежутке [ l,l + 1] функция, принимающая в точках l и l + 1 значения s i и s i +1 соответственно.

Так, на промежутках J1 используем C 1-гладкие линейные функции h i( x) =

¹      + ^X - ^Х П т

10 - In xnm   xnm (10 - In xnm )2 ’ h 2( x) = 2

_________ ^X  x n m + 1

^{(10 -} In x n m ⁾⁽ x n m + 1

^- x n m +2 )

где h 1 — касательная к графику выпуклой вверх функции hi в точке Cm(Xnm ,hi(Xnm)), h2 — линейная функция, причем hi(xnm +1) > h2(xnm+1) = 0, h 1(Xnm) < h2(Xnm). Поэтому графики h 1 и h2 пересекаются в некоторой точке Cm (cm; h2(cm)) (Cm _G (Xnm+1 ,Xnm)) без касания, а графики h1 и h2 пересекаются в некоторой точке Cm(cm; h2(cm)), где cm G (cm,xnm)• На интервалах (CmCm) и (Cm,Cm) укажем точки Cm(cm,h2(cm)) и Cm(cm,h 1(cm)) соответственно так, чтобы 1([Cm,Cm]) = 1([Cm,Cm]). При этом h 2( cm) < h 2( cm) < h 1( cm)■ Тогда корректно определена C1-гладкая строго возрастающая, выпуклая вверх на промежутке Jm) функция h(x) такая, что h\(xnm + 1 ,c m ] h 2 I (xnm + 1,c m ] ,h\[ c mm,xnm ] h 1 I [ c mm,xnm ] , а график h\(c3 ,c4 ) представляет собой дугу окружности, касающейся в точках Cm и Cm прямых h2 и h 1 соответственно. Определим функцию h(x) на промежутках J) (m ^ 1). Здесь используются линейные функции h з( х) = 2

_________ xn m +1   ^X _________

(10 - In xnm )(xnm + 1 - xnm +2) ’ h 4( x) =

¹ ₊ ^{X -} x n m +3

10 - In xnm +3   xnm + 3(10 - In xnm +3)2 ’ где h4 есть касательная к графику h 1 в точке с координатами (Xnm +3; h 1(Xnm +3)). Функция h в точке Xnm+2 определена так, что h ( xnm +2) = h 1( xnm +2) , и h' ( xnm +2) = 0 •

В силу определения h 3 имеем h 3 ( X n _m +2 ) > h ( X n _m +2 ), и h ( X n m +2 ) > h 3 ( X n m +1 ) = 0. Поэтому горизонтальная касательная к графику h в точке B m ( X n _m +2 ; h ( X n _m +2 )) пересекается с прямой — графиком функции h 3 в некоторой точке B m , причем выполнено неравенство x ²

• ^{1    ([} B m ,B i_n ^]) < x n m + 1 ^- x n m +2 = ^^ +1 . Пусть B m — точка с координатами ( x _n m +₁ ; 0). Имеем

• ^{1    ([} B m ,B m ^]) , x n m +1 ^— x n m + 2 _

• 1    ([ B m B m ])       h ( x n m +2 )    =

X ²

= ^ m +1 (10 - In X n m +2 ) •         (15)

x ²

Так как lim^ .+^ nmm+1 (10 - ln Xnm+2) = 0, то из (15) следует, что найдется m 0 такое, что при всех m ^ m 0 верно неравенство 1 ([ BmBm ])  <  1 ([ Bm Bm ]). Поэтому при всех m ^ m 0 в интервале (Bm ,Bm) существует точка Bm(bm; h3(bm)) такая, что 1([Bm,Bm1 ]) = 1([Bm1 ,Bm3 ]). Тогда на отрезке [ Xnm +2 ,Xnm+1] корректно определена положительная строго убывающая выпуклая вверх C 1 -гладкая функция h такая, что h\[ьm,xnm+1] = h3\[ьm,xnm+1]; на промежутке [xnm+2,bm) график h3 представляет собой дугу окружности, касательная к которой в точке Bm горизонтальна, а в точке Bm3 совпадает с графиком функции h3 . Перейдем к определению функции h на интервале (Xnm+3,Xnm+2). Так как h1 — выпуклая вверх на (0,1] функция, а h(xnm+2) = h 1(xnm +2), то верно неравенство h4(Xnm+2) > h(Xnm +2). Кроме того, из строгого возрастания функции h1 на промежутке (0,1] следует, что h(Xnm+2) > h4(Xnm +3). Поэтому найдется точка Am(am; h(xnm+2)), в которой горизонтальная касательная к графику функции h в точке Bm пересекается с касательной h4 к графику h в точке Am (Xnm +3; h(Xnm+3)) (здесь am G (Xnm+3,Xnm +2)). Сравним длины отрезков [Am,Am] и [Am ,Bm]. Нам потребуется точка Am(xnm +3 ; h(Xnm+2)). Имеем

1 ([ A m ,A m ]) ₌

1 ([ A ^m ,B m ])

^2(1П x n m +2 ^{- 1П} x n m + 3 )

^X n m +2 ^{(10 - 1П} x n m +2 ^{)(10 - 1П} x n m +3 )

< 1 ([ A m ,A m ])

1 ([ Am ,Bm])

Так как

_1im          ²⁽¹ⁿ x n m + 2 ^{- 1n} x n m +3 )

m^ ⁺ ~ ^X n m + 2 ^{(10 - 1П} x n m +2 ^{)(10 - 1П} x n m +3 )

1im — m^+^ X-

'n m +2 ^{(10 - 1П} x n m + 2 ^{)(10 - 1П} x n m + 3^

то в силу (16) найдется натуральное число m о >  m о такое, что при любом m ^ m ₀ выполнено неравенство 1 ([ A _m ,A m ]) > 1 ([ A m ,B _m ]). Поэтому при любых m ^ m о найдется точка A m ( a m ; h 4 ( a m )) G ( A m ,A m ) такая, что 1 ([ A ³ _m ,A ¹ _m ]) = 1 ([ A ¹ _m ,B m ]). Тогда в интервале ( X n _m +3 ,X n _m +2 ) корректно определена строго возрастающая выпуклая вверх C ¹ -гладкая функция h такая, ^{что h} \ ( x nm +3 ,a m ) = ^h 4 \ ( x nm +3 ,a m ) ; ^{а на} промежутке [ a ³ _m ,X _{n m} +2 ) графиком h служит дуга окружности, касающейся h 4 в точке A m и имеющей горизонтальную касательную в точке B _m . Наконец, положим а = x _n m 0 +₁ , h (0) = 0. Из приведенного определения функции h ( X ) следует, что h ( X ) непрерывна на отрезке [0 ,а ], причем во всех точках полуинтервала (0 ,а ], за исключением точек множества { x n _m +₁ } _m ^ _m 0 , существует конечная производная h ' ( x ). При любых m ^ m о , y G [0 , 1] определим ^ ( x,y ), полагая

^ ^{( x,}y ) =

[ ( - 1) m H ( x,y ) I ,    если   x e J m U J m +x .

=     ^{( -} 1) m +1 У Ф ⁽ xy ) \ ,  если   x _E J m +1 .

I  0 ,                    если   x = 0 .

Из формул (14), (17) и определения функции h следует, что функция 'ф(x,y) непрерывна в прямоугольнике (0,а] х [0,1], кроме того, ф непрерывна и на вертикальном отрезке {0} х [0,1]. Действительно, при любых y e [0,1] имеем lim ф(x,y) = lim h(x) = 0 = h(0) = ф(0,y). x—+0        x—+0

Поэтому, используя равенства (3) — (4) и (11), получаем отсюда, что gx(у) дифференцируемо по x в каждой точке отрезка {0} х [0,1], и дgо(У) = 0. Обратим внимание также на следующие свойства построенного отображения (11): (iFa) Fa e T^ ([0,а] х [0,1]); (iiFa) все неподвижные точки Fa заполняют отрезок A* = {0} х [0,1]; периодических точек более высоких периодов Fa не имеет; (iiiFa) A* является ш-предельным множеством Fa-траектории точки (xnm. 2; уПт+2) прямоугольника [0,а] х [0,1], где m — произвольное, но фиксированное четное число, m ^ mо. Для отображения Fa при всех m ^ mо имеем при l = Пт + 1; при l = nm + 1.

x l

10 — 1n x i

X i + 1

s l =

10 — 1n x i +

Так как xi = O (j) при l ^ + го, то расходящемуся ряду (12) можно поставить в соответствие рас-+ СО ходящийся несобственный интеграл du , l0 uU°+m uu где lо ^ nmо + 1. Пусть функция 9 (и) удовлетворяет условиям теоремы 6. Тогда 9(и) = O(u(ю^+1пu)) при и ^ + го. Следовательно, несобственный ин-+О теграл J 9(и)du расходится.

l о

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России, 2009-2011 гг.», проект НК 13 / 9.