Об использовании понятия устойчивости по двум мерам в задачах нелинейной теории пластичности

p( uC 10 3

Одним из ключевых вопросов в использовании .для исследования устойчивости второго метода а.М. Ляпунова является выбор функционала Ляпунова. В настоящей работе в качестве такого функционала примем /д u< оз.

Функционал pi «соз является определенно положительным, поскольку служит мерой. Далее будем предполагать, что рохоз является непрерывным по мере о при t-t^, то есть для любого числа £>о найдется такое положительное число 6 = бс^, что опенка |р| с выполняется 'щэд п < бс^э и t=t И наконец, функционал pitKtjj является невозрастаюшим в силу уравнений краевой 'задачи дая возмущенного процесса деформирования. Действительно, используя, что поверхностные силы т, а значит и напряжения V не зависят явно от времени, и приняв обозначения du. dt = _v-v^c=w, по правяиу Лейбница получим

Jp-'dt = ур: WdV - £ Т Wd§ = О.

Последнее следует из теоремы о дивергенции, уравнений ci'1, С 2D и условия с FO .

Таким образом, существование функционала Ляпунова ^ruct??, имеющего указанные свойства, обеспечивает выполнение условий теоремы об устойчивости in. Критерий устойчивости дает одни и?-достаточных условий указанной теоремы: свойство положительной определенности р обеспечивается выполнением условия pt uC t, ~> ] > с '» О,

Vteft , ТЗ

<4 13

и, теряется, в частности, если имеет место равенство рГ иСт ) з —о , . ,<

где г ^соответствует моменту потери устойчивости.

Условие <11) аналогично д ночному условию устойчивости, следующему из известной теоремы Лагранжа, обобщение которой предложено А.А.Мовчаном при исследовании устойчивости сплошных сред f а з

Рассмотрим устойчивость процесса деформирования. Следуя работе сзз, с неустойчивостью в этом случае будем отождествлять возможность неединственного продолжения исследуемого, невозмущенного процесса деформирования ;<'-t •. Обозначим дх° -основное продолжение процесса х°с t>. Моменту бифуркации процесса ^ соответствует геи появление из той же точки процесса х^о другого, побочного продолжения лх^лх", являющегося началом возмущенного процесса хсо. Введенное выше пиле смещений wto будет характеризовать различие указанных продолжений: и=лх-лх°. Мера различия возмущенного и невозмущенного процессов <е<> в этом случае будет описывать различие продолжений и с учетом того, что возмущенный и невозмущенный процессы до момента исследования на устойчивость совпадали, может быть приведена к следующей форме

pc uc t з i = J J дР : ^саиз^^

С 1 3D

Здесь дР - изменение поля напряженной при продолжении процесса. При записи оэз было использовано, что усилия на части поверхности 5т и кинематические условия на Su считаются одинаково меняющимися в каждом из указанных продолжений.

В записи меры начальных возмущений С7з момент времени t соответствует тому моменту, в который исследуется устойчивость процесса деформирования. Момент нагружения, соответствующий неединственности продолжения х°сьэ, есть т^. Уравнения задачи бифуркации, нетривиальное решение которой соответствует указанному моменту, в рамках гипотезы равноактивной бифуркации (аз имеют следующий вид:

❖ -ДрСх°+Дх,К 3

R eV;

Cl 4D

Й•Др[ х°+Дх,R^J

С 1 5D

Др = £•. ^W

R^eVuS;

С 1 63

иСт D = Г WCrDdr,

Дх< R D-Дх СR ) = О,

С 17)

С 18)

Заметим, что в рассматриваемом случае условие., аналогичное условию сел при анализе устойчивости равновесия, следует из уравнений ci 4?, от- и соотношения cieo. Некоторые иллюстрации использования сформулированного критерия устойчивости упругопластических процессов приведены в работе г?л.