Об обобщенной разрешимости смешанной задачи для нелинейного уравнения с псевдопараболическим оператором высокой степени

В области D рассматривается уравнение

^ 2 m +1            *\ 4 m +1      -л 4 m Л

— + (-1) m V—--—+ УЦ—--—+ -д— X d t          д t д X2 m       д t д X4 m   д X4 m J (1)

X u ( t , X ) = f ( t , X , u ( t , X ) )

= J ф <⁴ nm ^{- 2)}( y ) dy = 0, J = 1, n , 0

D = D t x D i , D t = [ 0, T ] ,     D i = [ 0, l ] ,

0 < l

u (t , X) |t=0 = Ф1( x), d j-1

—-1 u(t,X) t=0 = Фj (x), j = 2,n d tJ               1

и граничными условиями

u (t , X)|X =0 = u xx (t , X)|X =0 =. . . = d 2(2nm-1)

= . 2(2 nm-1) u (t , X ) x=0 = J u (t , У) dy =

О x0

малые параметры, n, m - натуральные числа.

Следует отметить, что изучению разного типа линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и их систем посвящено много работ и при этом применены разные методы (см., например [1–4]). В данной работе, как и в работах [5; 6], используется метод разделения переменных, основанный на поиске решения смешанной задачи (1)–(3) в виде

ll

= J uyy (t, У) dy =... = J

5 2(2nm-1)

---—---- u (t, y) dy = 0, d y 2(2nm-1) ^{v 7 17}

го

u⁽t, x) = E ai⁽t) ■ bi⁽x),                      ⁽⁴⁾

i =1

где bi (x) = . - sin X i x , X i =

где f (t, X, u) e С(D X R), VJ (X) e C 2nm+1(Dz),

ФД x) x=0 =Ф j "⁽x )| x=0 = ... = Ф J⁴ nm^-2)(x) x=0 =

J ФJ(y)dy =J ФJ ”(y)dy = ... = J Ф(⁴nm-²⁾(y)dy = 0 ,

00    0

2 i n l

Множество {a(t) = (ai(t))| ai(t) e C(D_T), i = 1, 2, ...}

введением нормы

a(t) _B2(T)

го

I i=1

,            . Л2

max ai(t) teDt           'J

становится банаховым пространством и обозначается через B₂(T).

Наряду с пространством B₂(T) рассмотрим и про-

l

= J Ф1⁽y)

д n "1

---- Ф + n д t^n-1

д n+4 m-2

д t^n-2д y^{4 m}

Ф +

странство B₂^N (T) с нормой

+ n⁽n - 1) _

2 d t

d n + 4 m-1

n-3 d y 4 m+2

Ф +

N (

B₂^N(T)

= I

max t е Dt

. 12

I ai⁽t )|

.

+

.

Для каждого элемента

a (t) е B 2 (T) определяется

/ ix     4 nm-3             ^4 nm-2

n (n -1)   d _ д _

.. +---л---т Ф + n -------— Ф +

2    дt дy^4nm-4        дy^4nm-2

|   д n+2 m-1             д n+6 m-2

+v           Ф + n         Ф +

(д t^n-1д y^{2 m}        д t^n-2д y^{6 m}

w оператор: Qa (t) = Iai (t)■ bt (x).

i =1

n (n -1)    д^{n+6 m-1}

+    2    д t"^-3дy^{6 m+2}

_ n (n -1)

Ф+ . . . +—----X

Обозначено через E₂ (D) множество значений

оператора Q . Здесь очевидно, что Q :B2 (T) ^ E₂(D)

d 4 nm+2 m-3

X dt dy 4nm+2m-4

Ф + n

4 nm+2 m-2A дI

--;--z—- Ф + дy 4nm+2m-2I

и E 2( D) с L₂( D).

Обозначается через W₂^(k)(D) множество функций

( n +4 m-1

I d

+vp

( dt^n-1dy^4m

Ф + n

д n+8 m-2

a t^n-2a y^{8 m}

Ф +

а2

Ф(t, x) таких, что Ф(t, x), —- Ф (t, x), дxx

..

d 2(2 nm-1)

., n Ф(t,x) dx 2(2 nm-1)

n (n -1)   д^{n+8 m-1}               n (n -1)

+---7----„ э Ф + . . . +--X

2    д t^n-3дy^{8 m+2}                2

при фиксированном t е D_T принадлежат области оп-

d 4nm-2

ределения оператора ^ 4nm-2 , имеют производные

d 4 nm+4 m-3

X------".----л---T Ф + n dt dy 4nm +4m-4

d 4 nm+4 m-2 Ф дy 4nm+4m-2

dy - t=0

.

порядка k по t , принадлежащие L₂ (D), и обраща-

ются в нуль при t > T -8 (0 < 8 - зависит от Ф (t, x)).

Определение. Если функция u (t, x) е E₂(D )

l

. . ⁺Jф n-1⁽y)

| d 2 m+1

v

(d t dy^{2 m}

d d^{4 m}

— Ф + n--— Ф + a t      a y4 m

а^{6 m} ।

Ф + n ——Ф +

6m dy     )

удовлетворяет интегральному тождеству

t 1 Г

JJiu⁽t,y) 0 0 I

д n

---Ф + n a tⁿ

д n + 4 m-1

д t^n-1дy^{4 m}

Ф +

n (n-1)    d^{n+4 m}

--Ф + . . . +

2    d t^n-2ay^{4 m+2}

n (n -1)   д^{4 nm-2}

2    д t²дy ^{4 nm-4}

Ф + n

^4 nm-1        ^4 nm

----: гФ + :— dt ay^4nm-2     ay^4nm

Ф +

д n+2 m

⁺Ч atⁿay^2m

Ф + n

д n+6 m-1

a t^n-1dy^{6 m}

Ф +

( 4 m+1^8

I dd

+ vp ---— Ф + n—— Ф

(dt dy4 md

1         Г

^Xdy^-Jv n⁽y) ^{Ф + v} 0            _

X

^Jt=0

d 2 m           d 4 m

-— Ф + vp ——Ф a y^{2 m}        a y^{4 m}

dy

-1=0

для любого Ф (t, x) е W₂⁽ⁿ) (D), то она называется обобщенным решением смешанной задачи (1)–(3).

Покажем, что коэффициенты разложения a_i (t)

решения смешанной задачи (1)–(3) удовлетворяют следующей счетной системе нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ):

n (n -1)     a^{n+6 m}

2 d t^n-2a y^{6 m+2}

n (n -1) Ф+ ... +—----X

ai⁽t ) = wi⁽t) ⁺

д 4nm+2m-2

д t 2 д y 4nm+2m-4

Ф + n

4 nm+2 m-1      A d                    I

Ф + d t d y4nm+2m-2 J

^tl                                               (5)

+ JJ f ( 5,y,Q a(5)) bi(y)Pi(t,5)dy ds,

где

д n+4 m

^+w( atⁿay^4m n (n -1)    д^{n+8 m}

Ф + n

д n+8 m-1

д t^n-1дy^{8 m}

Ф +

n w (t) = I Ф ki

t^k-1

(k -1)

n

! I⁶ х^{k (v}, m)^X

д t^n-2дy^{8 m+2}

n (n-1) Ф+ . . . +—----X

t j - k

^X ^7-1)7 ■^{exp {-6}1i^(v,^p)t},

d 4 nm+4 m-2 dt 2 dy 4nm+4m-4

d 4 nm+4 m-1

Ф + n ----------Ф dt dy4nm+4m-2

- f Ф^ dydt =

Pi(t,») =

(n-1)!( t - 5)^n-1

6 o,:(v, Ц)

■ exP {—6 1 i^(v, Ц⁾⁽t^-») },

X 4 nm 0; (v, ц=—-—, ¹             0 ⁿ0i(v, ц)

0 0,(v, ц) = ( 1 + vx 2 m +

n

+ ^{n (n} 1) X 4 n^m+^{2 m—4}a ,,(t) + n X 4^{n m+2 m—2}a '(t)) +

2 i                         i                     i                         i I

+v ц(X4^ma(ⁿ)(t) + nX8^ma(^n—1)(t) +

Ф ki = Jф —⁽У) bi⁽У) dy-о

Нас интересует укороченная система нелинейных интегральных уравнений (УСНИУ):

aN (t) = wN (t) +

+ n⁽n^—1)

+ n⁽n^—1)

—

8 m+²a(n—²⁾(t) + - - - +

4nm + 4m —4        . ил 4nm + 4m—2   f/,\ i ai (t)+ nXi ai (t)

■ Jf (t,y, Qa(t) )■ b(y)dy dt = 0

0                                J

—

t¹ .                        .                                           (6)

+ JJf( s,У,QN ^a(s)) bi⁽У)Pi⁽t,s)dy ds,

0 0

где n           k——1 n wN(t) = ЕфN7T"ni S0Juk(v,ц) x

— =1       (k 1)! j=— t j - k x jk)7 ■exp {—0 i(v ’ц) t} ’

P⁽t, ^s) = ⁽n Jn^t \'— ^exP {- ⁰1,^(v, Ц⁾⁽t - ^s)}, ⁰0i⁽v, Ц)

4 nm

X •

⁰1i(v,^P) = „ ,       ,

⁰0 i^(v, Ц)

0 ⁿ0i(v, ц) = ( 1 + vx 2 m +

n

,

QN a (t) = uN (t,.) = £>;'' (tyb, (x)- i =1

Так как h (t) - любая функция, удовлетворяющая указанным выше условиям, то a_t (t) имеет обобщенные производные порядка n по t в смысле Соболева на отрезке D_T -

Из (7) следует, что л (n) А \       4m (n—1)/v\ . n (n 1) л 4m+2 (n—2)

ai⁽t)+^nXi ai   ⁽t)+—2— ^Xi   ai   ⁽t)^{+ --- +}

+ ^{n (n}2^—1) x4^nm—4a_i"(t) + nX4^nm—2a_i'(t) + X4^nm a_i (t) + v ( X^2ma(ⁿ)(t) + nX6^m ai^n—0(t) + n^n.—¹)X6^m+2a(^n—2)(t) + , n⁽n^{— 1)(}n^{— 2)}^6 m + 4 „( n—3)/^ ,         ,

+        3! X i ai     (t)+ - - - + n (n — 1)(n — 2) 4nm+2m—6 „ m/A, + -------7;-------X i ai (t) +

+ ^{n (n}2 ¹⁾ X 4ⁿm+²m^—4a _i „( t) + n X 4^{n m}+^{2 m—2}a _i (t) | + +vц (X,^дma(ⁿ)(t) + nXi^ma(^n—1)(t) +

С учетом (4), в силу того что Ф = Ф j (t, x) = = h (t) bj (x) e W₂⁽ⁿ) (D) в определении и bj (x) полны и ортонормированы в L₂(Dl), где h (t) e Сⁿ (DT), j = 1,2,--., следует

T

J h (t) [ a(ⁿ)(t) + n X 4 ^ma(^n—1)( t) + 0

n⁽n^{— 1)}. 4 m+2 Г n—2)_(a nn⁽n^{— 1)(}n^{— 2)}

+    2 X i ai    (t)+ xX4m+4 a(n—3)(t) + --- + n(n — ^n — 2) X4nm—6 ai"'(t) +

+ n^ ¹¹X4nm^—4a,"(t) + nx4nm^—2a,'(t) + X4^nm a, (t) +

2 m (n )/,\ „ л 6 m Г n-1). n (n — 1) л 6 m+2 „(n-2).

^v(^Xi ai⁽t)+n^Xi ai⁽t)+—2— ^X, a⁽t)⁺

, n (n — 1)(n — 2)^6m+4 „(n —3)^з,,

+        3! X i ai     (t)+ - - - + n (n — 1)(n — 2) 4nm+2m—6।

+-------3!-------^Xi ai⁽t)+

+ ⁿ⁽ⁿ2 ¹⁾ xf^m+2a(^n—2)(t) + - - - +

+ n⁽n-¹⁾x4nm+⁴m—⁴a_i.(t) + nX4^nm+4m—2a_i'(t)| =

= Jf (t,y,Qa(t) )■ b(y)dy -

Решая систему (8) методом вариации произвольных постоянных, получаем ai (t , v , ц) = ( С1 i + C2 it + C3 it 2 + C4 it 3 + --- + Cnit" 1 )x tl x exp{—01i(v, ц) t}+ J J f (s, y, Qa (s) )x       (9)

0 0

xЬ,(y)P(t,s)dyds, t e DT-

Используя условия ai (0) =Ф1 i , ai '(0) = Ф2i, ai "(0) = ф3i, ---, a(n—1)(0) =фп, для определения коэффициентов Cji (j = 1, n), из (9) получаем (6)-

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

T

решения: a(t) е B2(T) и 9(t) е B2(T). Тогда для их разности справедлива оценка

| dt< A < м;

L 2( Dl)

f⁽t, x, и) е Lip{ L⁽t,x) |u } ,

где 0 <j||L(s,x)| 0

³ II w⁽t)!IBN(T)

। L 2( Dl) d s ';

< м,

где II w⁽t)|IB^N(T)

N

= z

f                 .)²

max ai(t)

t е D_T

.

Тогда УСНИУ (6)

имеет единственное решение

в пространстве B2 (T).

Доказательство. Используется метод последовательных приближений:

a⁰ (t) = w (t), t е Dt , a ^k+1 (t) = w, (t) + +jjf (s,У, QNak(s))b(У)P_t(t,s)dy ds,к = 0 0

= 0,1,2,3

,...,

t е DT.

Учет условий теоремы в (10) дает оценки

II a 1(t) - a⁰(t)||       < M1M2 lq A ,

II                                 II B 2 ( T )

I a²⁽t)^-a¹⁽t )l IBn ( t )

2 t

M12nM2³,N lq j||L(s,x)|Il2(Dl) ds , 0

где

^M1, N =11 ^P(t , s ) ||B ^N ( T) ,      ^M 2, N = ||b⁽x) ||B ^N (l) .

Продолжая этот процесс для произвольного натурального числа к , подобно (12) получаем

IIak⁺¹(t)^-ak(t)|IBN(t) <

M

1 Л ^к+1 l²

M^{2 k+1}

M 2,N

jlIL⁽s , x )| L₂( Dl) ^ds

A—---------------:

k

к!

.

Существование решения из оценки (13), так как при

УСНИУ (6) следует к ^ м последователь-

к м ность функций { a (t)} сходится равномерно по t к функции a (t) е B2 (T). Для проведения доказательства единственности этого решения в пространстве B2 (T) предполагается, что УСНИУ (6) имеет два

II a(t)-9(t)||Bn(t)

^Xjll^L(s,^x )| Il₂( Dl )ll^{a (s})^{-9 (s}) I IB ₂n ( t ) ^ds .

Применение к (14) неравенства Гронуолла-Белл-мана дает, что || a(t)-9(t)||bn₍T) ^ 0 для всех t е D_T. Отсюда следует единственность решения УСНИУ (6) в пространстве B 2 (T).

Рассмотрим формулу (4) как следующее предельное соотношение:

N u (t,x) = lim u N(t,x) = lim V ai(t)■ bi(x). (4‘)

N^м         N^м , i =1

Подставляя ССНИУ (5) в предел (4’), получим формальное решение смешанной задачи (1)-(3):

N

tl

u⁽t, x) = lim Vr wi⁽t)+f [f (s, y, Q^{N a (}s) )^x

^N ^”i=1 ^L0o                   '     (15)

x bi (y)Pi(t,s)dy ds]■ bi (x).

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и II w(t)|IB (_T) <м. Если a(t)еB2(T) является решением УСНИУ (6), то (15) будет обобщенным решением смешанной задачи (1)-(3).

Доказательство. Так как a (t) е B 2 (T), то из ра-

N венства lim uN (t,x) = lim Vai (t)■ bi (x) = u (t,x) N^м        N^м i =1

в силу условий теоремы следует, что lim f ( t, x, uN (t, x) ) = f (t, x, u (t, x)) (16) N ^м

в смысле метрики L₂(D).

Рассмотрим последовательность функционалов:

Vn =jj1 uN(t, У)

0 0 [

д ⁿ

---Ф + n a tn

d n+4 m-1

----;---Т" Ф + д t^n-1dy^{4 m}

+

₊^{n (n -}1) 2

n (n -1)   а^{4 nm-2}

д n+4 m a tn^-2a y^{4 m+2}

2    dt²дy^{4 nm-4}

(   д ⁿ⁺²m

Ф + n

^+v ^ дtⁿay^2m

Ф +

... +

д 4 nm-1

дt ay⁴nm^-2

4 nm

Ф + 1—Ф + дy⁴nm

д n+6 m-1

Ф + n ---:---—Ф + д tn-1 д y6 m

n (n -1)    d^{n+6 m}

⁺    2 d t^n-2dy^{6 m+2}

. n (n -1) Ф+ ... + —----X

d 4 nm+2 m-2             ^ 4 nm+2 m-1

X--:---:---:--гФ + n -----;---^Ф + dt 2 dy 4nm+2m-4        dt dy 4nm+2m-2I

+VЦ

д n + 4 m

д tⁿ д y^{4 m}

д n+8 m-1

Ф + n -----:----;

д t

д y^{8 m}

Ф +

₊^{n (n-1)}

X

д

д t

n (n -1)

д n+8 m

д t^n-2д y^{86m + 2}

д 4nm+4m-2

д t 2 д y 4nm+4m-4

Ф + n

д n+4 m-1

д t^n-3

----л---T Ф + . . . + д y^{4 m +2}

_ n (n -1) Ф+ ... +—----X

n (n -1)   д^{4 nm-3}

+    *    дt д y4nm-4

Ф + n

д4nm-2

д y^{4 nm-2}

Ф +

д 4 nm+4 m-1

д t д y 4nm+4m-2

Ф

l

+f (t, y, u^N (t, y)) ф} dydt-/фГ (У) 0

Ф + n

д n +4 m-2

д t^n-2дy^{4 m}

Ф +

n (n -1)   д^{n+4 m-1}

д t^n-3

+

+v l д t

д n+2 m-1

д y^{2 m}

Ф + n

д n+6 m-2

д t^n-2д y^{6 m}

Ф +

₊^{n (n -1)}

д n+6 m-1

д t^n-3

---²—ГТ Ф + д y^{6 m + 2}

Ф + дy^{4 m + 2}

+

.

. . +

n (n -1)   д^4nm+2m-3

дt дy^4nm+2m-4

Ф + n

д 4 nm+2 m-2

дy 4nm+2m-2

Ф +

n (n-1)   д^{4 nm-3}

⁺... +          дt дУ^4nm-4

Ф + n

д 4 nm-2

д y^4nm-2

Ф +

+VЦ

д n +4 m-1

д t^n-1д y

—Ф + n

4m

д n+8 m-2

д t^n-2д y^{8 m}

Ф +

д n+2 m-1

^+vl дt^n-1дy

Ф + n

2m

д n+6 m-2

д t^n-2д y^{6 m}

Ф +

₊^{n (n -1)}

д n+8 m-1

д t^n-3

-----ф + д y 8 m + 2

n (n -1)   д^4nm+2m-3

⁺... ^{+    2}    дt дy^4nm+2m-4

Ф + n

д 4 nm+2 m-2

дy 4nm+2m-2

Ф +

n (n -1)   д^{4 nm+4 m-3}

. . .        *     д t д y 4nm+4m-4

Ф +

+ и(и-1)

д n+6 m-1

д t^n-3

--—7Ф + vц д y^{6 m + 2}

д n+4 m-1

д t^n-1дУ^{4 m}

Ф +

д 4 nm+4 m-2

+ n ----;----;---Ф д y 4nm+4m-2

d y -

J t=0

д n+8 m-2

n д tn-2 д y 8

n (n -1) Ф + —---

д n+8 m-1

д t^n-3

-----Ф + д y 8 m + 2

.

^l, (         N           )

. . ⁺JI ^фn-1⁽У)^-Х^ф(n-1).Ь,⁽У) l^X

i=1

n (n-1)   д^4nm+4m-3

...       *    дt дy 4nm + 4m-4

Ф +

X

д

— Ф + n д t

д^{4 m}

д y^{4 m}

Ф + v

д 2 m+1

д t д y2 m

Ф + n

д^{6 m}

д y^{6 m}

Ф +

д 4nm+4m-2

n ---;----;---Ф дy 4nm+4m-2

^Jt=0

-

l

/^фN-1⁽У)

д 2 m +1

+ v -----5—

( д t д y^{2 m}

Ф + n

X

dy + ...

-

+ v^

д 4 m +1

д t д y4 m

Ф + n

д ⁸m

д У^{8 m}

Ф

d y -

^Jt=0

д

—Ф + n д t

д^{4 m}

д y⁴m

Ф +

lr (           N            )

^-JI Фn⁽У)^-Ефnibi⁽У) l^X

д^{6 m}

д y^{6 m}

Ф l + v^

д 4 m+1

д t д y4 m

Ф +

X

Ф

i =1

д^{2 m}

д y^{2 m}

Ф + vц

д^{4 m}

д y^{4 m}

Ф

dy +

д^{8 m}

+n--Ф дy8 m

Ф + v

д^{2 m}

дy^{2 m}

^Jt =0

dy +J Ф N (У) X

Ф + vц

д 4 m

Tl

+JJ Ф^(t, У)[f(^t,У,^{Qa (t})) 00

^Jt=0

дy^{4 m}

Ф

dy .

^Jt=0

■ ]T Jf (t,z,QNa(t))• bi(z)dz bi(y)dydt. i=1 0                                             _

Интегрируя по частям отдельные слагаемые в (17) и учитывая условия теоремы и начальные условия

Очевидно, что первые n интегралы в (18) стре-

получаем

а,:⁽⁰⁾=Ф1/, а,: '⁽⁰⁾= Ф2i,

ai "⁽⁰⁾= Ф 3 i ,

a (n^-1)(0) = Ф ni,

l- (            N             )

VN =JI Ф 1⁽У)^-^Ф 1 -^b-^У) l^X

i=1

X

д

д t

Ф + n

д n+4 m-2

д t^n-2д y^{4 m}

Ф +

мятся к нулю при N ^м , так как фj (x )еL₂(Dl),

j = 1, n. Сходимость последней разности в (18)

при N ^м следует из (16). Отсюда ясно, что lim V_N = 0 . Это и доказывает теорему.

N ^м