Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном методе невязки, при решении интегральных уравнений
Автор: Танана Виталий Павлович, Сидикова Анна Ивановна, Вишняков Евгений Юрьевич
Статья в выпуске: 4 т.14, 2014 года.
Бесплатный доступ
При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходящих в природе и обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяющими условиям корректности Адамара. Основной трудностью решения таких задач является то, что их математическая модель и метод должны быть увязаны друг с другом. Такие задачи называют некорректно поставленными. Основы теории моделирования и решения таких задач были заложены в трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и чл.-корр. РАН В.К. Иванова.Для эффективного решения неустойчивых задач к настоящему времени созданы специальные регулярные методы, основанные на замене исходной некорректной задачи задачей или последовательностью задач, корректных в обычном смысле.Настоящая статья посвящена оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном методе невязки. Данная задача является некорректной. При оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач приходится сталкиваться с трудностью, связанной с неопределенностью точного решения, поэтому необходима разработка новых эффективных методов решения таких задач, оценки их эффективности и разработки на их основе программ для численного решения соответствующих задач. В настоящей статье на основе обобщенного принципа невязки получена оценка погрешности для дискретизированного решения.
Регуляризация, интегральное уравнение, оценка погрешности, некорректная задача
Короткий адрес: https://sciup.org/147154999
IDR: 147154999
Текст научной статьи Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном методе невязки, при решении интегральных уравнений
Многие задачи математической физики, анализа и обработки результатов физических экспериментов сводятся к интегральному уравнению I рода. Данные уравнения относятся к классу некорректно поставленных задач, теория которых в настоящее время интенсивно развивается. В работе [1] был предложен и обоснован метод обобщенной невязки для решения операторных уравнений первого рода с приближенно заданным оператором.
При решении некорректных задач важное место занимает оценка погрешности регуляризованного решения. Как правило, после такой оценки делали дискретизацию задачи, которая не учитывалась в оценке. В настоящей статье на основе обобщенного принципа невязки получена оценка погрешности для дискретизированного решения.
Кроме того, в данной статье на основе этого метода строится регуляризующий алгоритм приближенного решения интегральных уравнений первого рода, а также получена оценка точности этого алгоритма.
Постановка задачи
Рассмотрим интегральное уравнение первого рода b
Au(s) = jK(s, t)u(s)ds = f (t), c < t < d, (1)
a где K(s,t) e C([a,b] x [c,d]), u(s) e L2[c,d] и ядро K(s,t) замкнуто.
Предложим, что при f (t) = f o(t) существует точное решение уравнения (1) u0(s), которое принадлежит множеству Mr , где
Mr
- u ( s ): u ( s ), u '( s ) e L 2[ a , b ], u (0) = 0, j[ u '( s )] 2 ds < r 2 > , I a J
где u '( s ) - производная u ( s ) по s . Заметим, что решение u o ( s ) единственно ввиду замкнутости ядра K ( s , t ).
Кроме того, будем считать, что точное значение f 0( t ) нам неизвестно, а вместо него даны f s ( t ) e L 2 [ c , d ] и 6> 0 такие, что
II f s ( t ) - f ) ( t )|L 2 -6 . (3)
Требуется по f s , 6 , M r определить приближенное решение u 6 ( 5 ) уравнения (1) и оценить уклонение Ц и 6 ( t ) - u 0 ( t )|| приближенного решения от точного u q ( t ).
Предположим, что для численного решения уравнения (1) оператор A неудобен и требует замены его конечномерным оператором An , для которого известна величина hn , определяемая соотношением
A n - A ll - h n .
Чтобы заменить оператор A конечномерным, потребуем, чтобы для любого t e [ c , d ]
K(5, t) e C 1[a,b], а функция N (t) , определяемая формулой
N(t) = max K5(5,t)|, t e [c,d], a-5-b'। принадлежала пространству L2[c,d].
Для определения оператора An разобьем отрезок [ a , b ] на n равных частей и определим функцию K i ( t ) :
K i ( t ) = K ( S i , t ); S i - 5 - S i + 1,
i(b - a) (i +1)(b - a) - 5, + 5Z+1.
5i = a +---------, 5i+1 = a +---------------, 5i = i i+1, i = 0,1,..., n -1,(6)
nn
K n ( 5 , t ) = K i ( t ); 5 i - 5 - 5 i + 1 , t e [ c , d ], i = 0,1,..., n - 1, b
An и(5) = JKn (5,t)u(5)d5; t e[c,d].
a
Из (1), (4)–(7) следует, что llAn - An <|N(t)|| b-a=hn.
Обобщенный метод невязки
Введем оператор B , отображающий пространство L 2[ a , b ] в L 2[ a , b ], формулой
s
Bv ( 5 ) = J v ( ^ ) d ^ ; v ( 5 ), Bv ( 5 ) e L 2 [ a , b ].
a
Обобщенный метод невязки, следуя [1], заключается в сведении поставленной задачи к вариационной
b inf . a " d J[Anu(5) - f s (t)]2 dt Lc Г b . 12 - j[u '(5)]2 d5 IBIhn l a J Приведенный метод отличается от классического обобщенного метода невязки множителем при hn . Это позволяет свести задачу (10) к методу регуляризации А. Н. Тихонова [2] b inf< Anu(5)- fs(t) +aj[u'(5)]2d5 : u(5)e W21[a;b], u(a) = 0>, a>0. I a Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном методе невязки, при решении интегральных уравнений Из [2] следует существование и единственность решения uа (5) вариационной задачи (11). При этом значение параметра а = а(An, f5, hn, 5) удовлетворяет уравнению II Anu 5hn ' (5) — f5(1I = ГUX (5)] № +5, L2 L2 ' где ГuahH (5)] — производная от функции Uah (5) по 5. Из [2] следует, что при условии ||f5(t)||^ >5 + ||u0(5)||hn существует единственное решение уравнения (12). Кроме того, при выполнении этого условия задача (10) эквивалентна задаче (11) с параметром а, удовлетворяющим обобщенному принципу невязки (12). Сделав замену u (5) = Bv(5) в формулах (11) и (12), сведем задачу (11) и (12) к эквивалентной inf {||Cnv (5 ) — f5 (t )||2 + a|v ( 5 )||2 : v (5 ) e L 2[ a, b ]}• Обозначим через v5h (5) решение задачи (13), в котором значение параметра а = а(An, f5, hn, 5) определим уравнением относительно а || CnV К (5 ) — f5 (t f =| v^ (5 )|| \Ж +5, где Cn = AnB. Если решение v^ (5) задачи (13), (14) обозначим через v5^ (5), то решение задачи (11), (12) определится формулой u5hn (5) = Bv5hn (5)• Используя (6), (7) и (9) получим, что Cnv(5)=E(u+1 i=0 — ui)Ki(t), где ui = и(si), 5i = a + i(b a), Ki(t) = К(5i,t), 5i = 5i+1 + 5i , ио = 0. n2 Теперь рассмотрим вариационную задачу 5i+1 inf j J [u(5)]2d5 : u(5) e W21[5i, 5i+1], u(5i) = ui, u(5i+1) = ui+1 >. I 5, J Легко проверить, что решение u(s) задачи (16) будет иметь вид s U (5) = Ui +-- — 5i+1 — 5i Из (17) следует, что v (5) = u’( 5) = Tn—(ui+1 b — a s —(ui+1 — ui); 5i ^ 5 ^ 5i+1. — u); 5 ^5 ^ 5+1. Подставляя (15) и (18) в вариационную задачу (13), сведем ее к следующей d Г n —1 inf U E Ki+1(t)(ui+1 c L i=0 — a n2n—1 ui) —f5(t) dt + ----72"E (ui+1 —ui)2 : uiGRn+1 ] (b — a) i=o Решение задачи (19) обозначим через u, ; i = 0,1, .. . ., n — 1. Тогда, используя условие (14), зна- чение параметра регуляризации a = a(An, f5, hn, 5) выберем из уравнения d Г n—1 _ <J E Ki+1(t)(u cLi=0 - i2 г a+1—uza)—f5(t) dt\ Гn—1/- - T I12 = n E(u“+1— U“) \Ж +5. L i=0 . Окончательное решение v5h^ (s) задачи (19), (20) будет иметь вид {..1 -—(u ,+1- u t ): s где (u a) - решение задачи (19), (20). Оценка погрешности обобщенного метода невязки Перейдем к оценке погрешности ||u8h^ - и0|| приближенного решения u5h^ (s) уравнения (1) от точного ио(s), где и5h (s) = Bv5h (s), а v5h (s) определен формулой (21). Для этого введем функцию ю1 (т, r) и о(т, r), т, r > 0 формулами ю1(т, r) = sup {| |u (s) - и (s )|| : и (s), и (s) e Mr, ||Au (s) - Au (s )|| <т} u,u «Кт.r) = sup{||u(s)||:u(s)eMr, ||Au(s)|<т}, u где множество Mr определено формулой (2). Из (22) и (23) следует, что 01 (т, r) = ю(т, 2 r).(24) Теорема 1. Предположим, что и0 e Mr, оператор An определен формулой (7), число h. - формулой (8), а приближенное решение уравнения (1) и5h (s) = Bv5h (s), где v5h (s) определен формулой (21) и || fj || > r ||b|| hn + 5. Тогда для приближенного решения и5h справедлива оценка ||и5hn(s)- и0(s)|| < 2о(r ||B|| hn+ 5,r) • Доказательство. Так как и0(s) e Mr, то из (2) следует, что b' J|^и0(s)J ds < r2. a Из (3) и (8) следует, что IIAnu0(s) - f>||< ||u0I\nn +j. Таким образом, из (25), (26) следует, что II Cnv0( s) - f>||<|ВИ +5. Из теоремы, доказанной в [2, с. 28], следует, что при условии ||f5||>r||B||hn +5 задача (19), (20) эквивалентна следующей inf {Iv(s )|l: v (s) e L 2[ a,b], Cnv(s ) - f>||<| Bllllv(s )|\nn +5}.(28) Так как элемент v5h^ (s), определенный формулой (21), является решением задачи (28), то из (25), (27) и (28) будет следовать, что IIv5h. (s)|| < r, а из (29), что и5h. (s) = Bv5h. (s) e Mr. Ввиду того, что ||Au5h.(s ) - f i|| < I|Au5h.(s ) - A.u5h.(s)||+ I|A„u5h.(s ) - f i|| < <1 |A - A„||||u а,. (s )| +||A„u 5 h. (s) - f,||, а из (8), (9), (29) следует, что II A. - A||||u 5 h. (s )|| < r||B||h,,(31) Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном методе невязки, при решении интегральных уравнений на основании (28)–(31) получим, что II Anuδhn (s) - fδ II≤2rIIBIIhn +δ. Из (3) и (32) следует, что IIAuδhn(s) -Au0(s)II≤2rIIBII hn + 2δ. Из (22), (23), (29) и (33) следует, что IIuδhn (s) -u0(s)II ≤ ω1 (2r IIBII + 2δ, 2r). Из (24) и (34) следует, что IIuδhn (s) -u0(s)II ≤ ω(2r IIBIIhn + 2δ,2r). Окончательно, используя известное свойство модуля непрерывности ω(τ, r), приведенное в [2, с. 12], получим, что IIuδhn (s) -u0(s)II ≤ 2ω(r IIBII hn + δ, r). Тем самым теорема доказана.
Список литературы Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном методе невязки, при решении интегральных уравнений
- Танана, В.П. Об одном проекционно-итеративном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором/В.П. Танана//Доклады Академии наук. -1975. -Т. 224, № 5. -С. 1028-1029.
- Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений/В.П. Танана. -М.: Наука, 1981. -156 с.