Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном методе невязки, при решении интегральных уравнений

Многие задачи математической физики, анализа и обработки результатов физических экспериментов сводятся к интегральному уравнению I рода. Данные уравнения относятся к классу некорректно поставленных задач, теория которых в настоящее время интенсивно развивается. В работе [1] был предложен и обоснован метод обобщенной невязки для решения операторных уравнений первого рода с приближенно заданным оператором.

При решении некорректных задач важное место занимает оценка погрешности регуляризованного решения. Как правило, после такой оценки делали дискретизацию задачи, которая не учитывалась в оценке. В настоящей статье на основе обобщенного принципа невязки получена оценка погрешности для дискретизированного решения.

Кроме того, в данной статье на основе этого метода строится регуляризующий алгоритм приближенного решения интегральных уравнений первого рода, а также получена оценка точности этого алгоритма.

Постановка задачи

Рассмотрим интегральное уравнение первого рода b

Au(s) = jK(s, t)u(s)ds = f (t), c < t < d,                                                            (1)

a где K(s,t) e C([a,b] x [c,d]), u(s) e L2[c,d] и ядро K(s,t) замкнуто.

Предложим, что при f (t) = f o(t) существует точное решение уравнения (1) u0(s), которое принадлежит множеству Mr , где

Mr

- u ( s ): u ( s ), u '( s ) e L ₂[ a , b ], u (0) = 0, j[ u '( s )] ² ds <  r ² > , I                                                     a                     J

где u '( s ) - производная u ( s ) по s . Заметим, что решение u o ( s ) единственно ввиду замкнутости ядра K ( s , t ).

Кроме того, будем считать, что точное значение f ₀( t ) нам неизвестно, а вместо него даны f _s ( t ) e L 2 [ c , d ] и 6> 0 такие, что

II f s ( t ) - f ) ( t )|L 2 -6 .                                                                                             (3)

Требуется по f _s , 6 , M r определить приближенное решение u ₆ ( 5 ) уравнения (1) и оценить уклонение Ц и ₆ ( t ) - u ₀ ( t )|| приближенного решения от точного u q ( t ).

Предположим, что для численного решения уравнения (1) оператор A неудобен и требует замены его конечномерным оператором A_n , для которого известна величина h_n , определяемая соотношением

A n ^- A ll ^- h n .

Чтобы заменить оператор A конечномерным, потребуем, чтобы для любого t e [ c , d ]

K(5, t) e C 1[a,b], а функция N (t) , определяемая формулой

N(t) = max K5(5,t)|, t e [c,d], a-5-b'। принадлежала пространству L2[c,d].

Для определения оператора A_n разобьем отрезок [ a , b ] на n равных частей и определим функцию K i ( t ) :

K i ( t ) = K ( S i , t ); S i - 5 - S i _{+ 1},

i(b - a)              (i +1)(b - a) - 5, + 5Z+1.

5i = a +---------, 5i+1 = a +---------------, 5i = i    i+1, i = 0,1,..., n -1,(6)

nn

K n ( 5 , t ) = K i ( t ); 5 i - 5 - 5 i + 1 , t e [ c , d ], i = 0,1,..., n - 1, b

An и(5) = JKn (5,t)u(5)d5; t e[c,d].

a

Из (1), (4)–(7) следует, что llAn - An <|N(t)|| b-a=hn.

Обобщенный метод невязки

Введем оператор B , отображающий пространство L ₂[ a , b ] в L ₂[ a , b ], формулой

s

Bv ( 5 ) = J v ( ^ ) d ^ ;      v ( 5 ), Bv ( 5 ) e L ₂ [ a , b ].

a

Обобщенный метод невязки, следуя [1], заключается в сведении поставленной задачи к вариационной

b inf

. a

" d

J[Anu(5) - f s (t)]2 dt Lc

Г b .    12

- j[u '(5)]2 d5   IBIhn l a             J

Приведенный метод отличается от классического обобщенного метода невязки множителем при h_n . Это позволяет свести задачу (10) к методу регуляризации А. Н. Тихонова [2]

b inf< Anu(5)- fs(t) +aj[u'(5)]2d5 : u(5)e W21[a;b], u(a) = 0>, a>0.

I                           a

Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном методе невязки, при решении интегральных уравнений

Из [2] следует существование и единственность решения uа (5) вариационной задачи (11).

При этом значение параметра а = а(An, f₅, h_n, 5) удовлетворяет уравнению

II Anu 5hn

'

(5) — f5(1I = ГUX (5)]  № +5,

L2                 _L2

'

где Гuah_H (5)] — производная от функции Uah (5) по 5.

Из [2] следует, что при условии ||f₅(t)||^ >5 + ||u₀(5)||h_n существует единственное решение уравнения (12).

Кроме того, при выполнении этого условия задача (10) эквивалентна задаче (11) с параметром а, удовлетворяющим обобщенному принципу невязки (12).

Сделав замену u (5) = Bv(5) в формулах (11) и (12), сведем задачу (11) и (12) к эквивалентной inf {||Cnv (5 ) — f5 (t )||2 + a|v ( 5 )||2 : v (5 ) e L 2[ a, b ]}•

Обозначим через v5h (5) решение задачи (13), в котором значение параметра а = а(An, f₅, hn, 5) определим уравнением относительно а

|| CnV К (5 ) — f5 (t f =| v^ (5 )|| \Ж +5, где Cn = AnB.

Если решение v^ (5) задачи (13), (14) обозначим через v₅^ (5), то решение задачи (11), (12) определится формулой

u5hn (5) = Bv5hn (5)•

Используя (6), (7) и (9) получим, что

Cnv⁽⁵)=E⁽u+1

i=0

—

ui)Ki(t),

где ui = и⁽si), ⁵i = a + i⁽b  a), Ki⁽t) = К⁽⁵i,t),  ⁵i = ⁵i^{+1 + 5}i , ио = 0.

n2

Теперь рассмотрим вариационную задачу

⁵i+1

inf j J ^[u(5)]2d⁵ : ^u(5) e W2^1[5i, ⁵i+1^], ^u(5i) = ^ui, ^u(5i+1) = ^ui+1 >.

I 5,                                                                                                        J

Легко проверить, что решение u(s) задачи (16) будет иметь вид

s

U (5) = Ui +--

—

⁵i+1 ^{— 5}i

Из (17) следует, что v (5) = u’( 5) = Tn—(ui+1 b — a

s

—^(ui+1 ^{— u}i); ⁵i ^ ⁵ ^ ⁵i+1.

—

u); 5 ^5 ^ 5+1.

Подставляя (15) и (18) в вариационную задачу (13), сведем ее к следующей d Г n —1

inf U E Ki+1(t)(ui+1 c L i=0

—

a n²n—1

ui) ^—f5⁽t) ^{dt +}  ----72"E ⁽ui+1 ^—ui⁾² : ui^GRn+1

]      (b — a) i=o

Решение задачи (19) обозначим через u, ; i = 0,1,

..

.

., n — 1. Тогда, используя условие (14), зна-

чение параметра регуляризации a = a(An, f₅, h_n, 5) выберем из уравнения

d Г n—1         _

<J E Ki+1(t)(u c^Li=⁰

-      i2 г a+1—uza)—f5(t)  dt\

Гn—1/-    - T I¹²

= n E(u“+1— U“)    \Ж +5.

L i=0                   .

Окончательное решение v₅h^ (s) задачи (19), (20) будет иметь вид

{..1

-—(u ,+1- u t ): s

где (u a) - решение задачи (19), (20).

Оценка погрешности обобщенного метода невязки

Перейдем к оценке погрешности ||u₈h^ - и₀|| приближенного решения u₅h^ (s) уравнения (1) от точного ио(s), где и_5h (s) = Bv_5h (s), а v_5h (s) определен формулой (21).

Для этого введем функцию ю1 (т, r) и о(т, r), т, r > 0 формулами ю1(т, r) = sup {| |u (s) - и (s )|| : и (s), и (s) e Mr, ||Au (s) - Au (s )|| <т} u,u

«Кт.r) = sup{||u(s)||:u(s)eMr, ||Au(s)|<т},

u где множество Mr определено формулой (2).

Из (22) и (23) следует, что

01 (т, r) = ю(т, 2 r).(24)

Теорема 1.

Предположим, что и0 e M_r, оператор An определен формулой (7), число h. - формулой (8), а приближенное решение уравнения (1) и_5h (s) = Bv_5h (s), где v_5h (s) определен формулой (21) и || fj || > r ||b|| hn + 5. Тогда для приближенного решения и_5h справедлива оценка

||^и5hn^(s)^{- и}0^(s)|| < ^2о(r ||^B|| hn^{+ 5},^r) •

Доказательство. Так как и0(s) e M_r, то из (2) следует, что

• b'

J|^и0(s)J ds < r2.

a

Из (3) и (8) следует, что

IIAnu0(s) - f>||< ||u0I\nn +j.

Таким образом, из (25), (26) следует, что

II Cnv0( s) - f>||<|ВИ +5.

Из теоремы, доказанной в [2, с. 28], следует, что при условии ||f5||>r||B||hn +5 задача (19), (20) эквивалентна следующей inf {Iv(s )|l: v (s) e L 2[ a,b], Cnv(s ) - f>||<| Bllllv(s )|\nn +5}.(28)

Так как элемент v_5h^ (s), определенный формулой (21), является решением задачи (28), то из (25), (27) и (28) будет следовать, что

IIv5h. (s)|| < r, а из (29), что и5h. (s) = Bv5h. (s) e Mr.

Ввиду того, что

||^Au5h.^(s ) - ^f i|| < I|^Au5h.^(s ) - ^A.^u5h.^(s)||⁺ I|^A„^u5h.^(s ) - ^f i|| <

• <1 |A - A„||||u а,. (s )| +||A„u 5 h. (s) - f,||,

а из (8), (9), (29) следует, что

II A. - A||||u 5 h. (s )|| < r||B||h,,(31)

Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном методе невязки, при решении интегральных уравнений на основании (28)–(31) получим, что

II Anuδhn (s) - fδ II≤2rIIBIIhn +δ.

Из (3) и (32) следует, что

IIAuδhn(s) -Au0(s)II≤2rIIBII hn + 2δ.

Из (22), (23), (29) и (33) следует, что

IIuδhn (s) -u0(s)II ≤ ω1 (2r IIBII + 2δ, 2r).

Из (24) и (34) следует, что

IIu_δhn (s) -u₀(s)II ≤ ω(2r II^BIIh_n + 2δ,2r).

Окончательно, используя известное свойство модуля непрерывности ω(τ, r), приведенное в [2, с. 12], получим, что

IIu_δhn (s) -u₀(s)II ≤ 2ω(r II^BII h_n + δ, r).

Тем самым теорема доказана.