Об одной форме записи уравнений движения пористых сред в терминах скоростей, напряжений и давления

Введение. Теория пористоупругости широко используется в геомеханике, биофизике и других областях науки и техники. В частности, в эндогенной геологии и геофизике земной коры возникают проблемы, связанные с теоретическим анализом динамических процессов тепломассопереноса: объемного магмообразования при частичном плавлении; возникновения и эволюции флюидных систем, которые сопровождаются фильтрацией сквозь твердую вмещающую среду. Во флюидных системах развивается конвекция в условиях, когда флюид в некоторой ее части находится в критическом состоянии. При решении петрологических задач приходится анализировать многокомпонентные многофазные среды (магмы), находящиеся в термодинамическом состоянии, которое соответствует ликвидусной поверхности. Для описания динамики интрузий в этом случае при макроскопическом рассмотрении требуется вводить в теорию двухскоростные и более континуумы. Это требует построения количественной теории, отражающей характерные особенности упомянутого класса геологических задач [1].

В большинстве случаев в гидрологических задачах расчета фильтрирующихся жидкостей сквозь деформирующийся инородной каркас пользуются так называемой формулой Дарси v = - k V p,

µ заменяющей в механике таких сред основное динамическое уравнение. Здесь v — скорость жидкости, p — поровое давления, k — проницаемость, / — вязкость жидкости. Это соотношение получено из лабораторных экспериментов в 1856 г. французским инженером А. Дарси, исходя из анализа расхода жидкости при заданном напоре.

В данной работе получена форма записи уравнения движения пористых сред в терминах скоростей, напряжений и давления в виде симметрической t -гиперболической системы.

1. Нелинейная система уравнений В. Н. Доровского для пористых сред. В 1989 г. В. Н. Доровский [1], основываясь на законах сохранения, инвариантности теории относительно преобразований Галилея и квазилинейности уравнения движения жидкости, согласованного с условиями термодинамического равновесия, построил нелинейную математическую модель (теория пористоупругости) движения жидкости через упругодеформируемую пористую среду:

y^ + ^div j = ⁰ ,

∂t

∂j

— + ^d k ⁿ ik = ^d k

∂t

P = P s + P l ,

j = S u u + Pv v ,

(n (tV i + d i V k

-

+ d i ( Z 11 div v + Z 12 div ( j -

1 5 ik div v) ) + p ^{u ))} ,

^П ik   S u i u kk + PlV i Vk + p^ ik + h ij g jk ,

∂S S dt+ div (p j -

∇ T ^α 33 _T

^α 31

^- Tr ⁽J ^- P ^{u )}

R

T,

^v i + ( v , V ) V i = - ^{d i p} + ^Ps^Ld i ( u - v ) ² + — d k (p ( ( VkV i + d i V k dt                  p 2 p              pi

- 3 d ik div v -

h k¹ d i g jk + — d i ( Z 11 div v + Z 12 div ( j - p u )) - a 13 d i T

² P Pi

-

a 11 ( j

-

P ^{u )} i ,

∂gik dt + gkjdiuj + gijdkuj + ujdjgik   0,     ps   consttd6t (gik), eо = eo(PS S,jo, gik).

Закон сохранения энергии

∂e dt + div (Q* + W) = 0,

Q k = (.

v ²

^ + y +

TS

--- jk + Ps ( u , u p /

-

v ) U k + U i h km g mi ,

W i =

^{— a} 31 ^{( j} i

-

P^u i ) — ^a 33 Q i T ^-

-

Z21 (j - Pu) i div v - Z22 (j - Pu) i div (j - pu) + Vknik, nik = -П d^Vk:Vi + diVk и массы упругого пористого тела

- ² d ik div v^ - Z 11 div v - Z 12 div ( j - p u ) ,

dps + div (Ps u) = 0, ∂t не входят в полную систему уравнений, поскольку являются следствием исходной системы. Последняя функциональная зависимость является уравнением состояния — она должна быть задана и замыкает систему уравнений (1) в присутствии диссипации энергии. Другими словами, структура уравнений такова, что при произвольном характере взаимодействия подсистем уравнения движения квазиленейны и выполняются общие законы сохранения при тождественном соблюдении основного термодинамического тождества:

de 0 = TdS + ^цdP + ⁽ u ^— v , d ^j 0 ) + 2 h ik dg ik .

Здесь e 0 — внутренняя энергия единицы объема; первые два члена соответствуют термодинамическому соотношению для дифференциала энергии неподвижной жидкости при постоянном объеме; третье слагаемое выражает тот факт, что относительная скорость есть производная энергии по относительному импульсу [2]; четвертое слагаемое представляет собой энергию упругой деформации; j ₀ = p _s ( u — v ) — плотность относительного импульса; u — скорость движения упругой пористой среды c парциальной плотностью ρ s ; ρ l — парциальная плотность жидкости; п , a ik , ( i, k = 1 , 2 , 3), Z im ( l, m = 1 , 2) — кинетические коэффициенты, являющиеся функциями от величин, определяющих локальное термодинамическое состояние системы; S — энтропия единицы объема; р — плотность; T — температура; ц — химический потенциал; h ik — компоненты тензора напряжений; g ik — компоненты метрического тензора упругой деформации; 5 _ik — символ Кронекера d i = dX i ; R — диссипативная функция; e — энергия единицы объема [2]:

• ^e = e 0 + ^Р тг ^{+ ( v} , ^{j —} Р ^{v )} -

• В [3, 4] показано существование четырех типов звуковых колебаний: двух поперечных (в изотропной среде их свойства совпадают) и двух продольных. В уравнении движения жидкости, опустив из рассмотрения инерционные эффекты и эффекты деформации, получим нелинейный закон Дарси

^v =-- ?--< , ^V P-

PP i a ii ( p, S, v )

Принципиальное отличие линеаризованной модели Доровского от хорошо известных моделей Френкеля — Био [5, 6], состоит в том, что модель Доровского в изотропном случае описывается тремя упругими постоянными K = А + 3 ц , А >  0, ц >  0, a = р 0 a 3 + K/p 0² [3, 4]. Эти упругие параметры взаимно-однозначно выражаются тремя скоростями ( c _t , c _{p 1} , c _{p 2} ) упругих колебаний [7–9]:

Ц = Р 0 ,s c t ,

K = Т P 0 s (^С Р 1 + c 2Р 2

² Р 0 ,1 \

-

8 ^{Р 0 ,l} _r2 _    (21 _ „2 A

3 р 0 ^{C t}   у c ^{p p 1    C p 2}

2     64 р 0 ,i p 0

-

9 Р 0

,s 4 ^c t     ^,

^{a 3}    2 Р 0 ( c p ^{1 +} c p ²

-

8 ^{Р 0 ,s}          ( 2 _ _r2 A

3 Р 0 c t ⁺ V c ^{C p 1    C p 2}^

2     64 р 0 ,i p 0

-

9 Р 0

,s 4

^c t     ^.

Данное обстоятельство является важным для численного моделирования распространения упругих волн в пористых средах, когда известны распределения скоростей акустических волн, физических плотностей матрицы и пористости.

• 2.    Об одной форме записи системы уравнений В. Н. Доровского для пористых сред в виде симметрической t -гиперболической системы. Линеаризованная система уравнений Доровского имеет вид [3, 4]

∂ui р0,s   , + dk hik +     dip0

∂tρ

∂vi    ρ0,l pо,i    + — дiP = 0 ,

∂t    ρ 0

∂h ik ∂t

+ ц ( д i U k + д k U i ) + ^ А —

ρ 0 ,s _K ρ 0

^ 5 ik div u —

p ° ¹ K 5 _ik div v = 0 . ρ 0

∂p ∂t

-

( K — аp о p о ,s ) div u + ар о p о ,i div v = 0 ,

Здесь p о = p о ,1 + p о ,s , p о ,s = p f,s (1 — d о ), p о ,1 = p f,1 d о , d о — пористость; p f,s и p f,1 — физические плотности упругого пористого тела и жидкости, соответственно; p о ■ а 3 >  0 — модуль объемного сжатия жидкой компоненты гетерофазной среды.

Введем новые неизвестные функции ej =

-

h ij ^{- ,s} p δ ij ^. ρ 0

Система (2), после исключения div u в терминах u , v , a ik и p , перепишется в виде

∂u i

ρ 0 ,s _∂t

-

д к ст ik = 0 ,

2 ц

де ik    Л

-

∂t

<5 де т.

2 ц А

∂v _i ρ 0 ,l _∂t

σ mm δ ik

∂t

+

^ д i p = 0 , ρ 0

а др

⁺ А ^{5 ik} дй

-

2 ( д i U k + д к U i ) = 0 ,

mm

а дt

+

3 р о ,s K p о ,i /p о ,s + а др

ρ 0

А

∂t

+ — div v = 0 , ρ 0

где Л = А а p 2 — K ² , а = а p о p о ,s

-

K , А = 3 K ( ар 2 - K ).

Непосредственным вычислением можно убедиться, что справедливы неравенства

ρ ²

K E °L + а = а 3 p о p о ,_s + K —^о ,¹— >  0 , А = 3 Ka 3 p ³ >  0 . ρ 0 ,s                              ρ 0 ρ 0 ,s

Обозначим через λs , µs коэффициенты Ламе однородного упругого изотропного материала. Используя формулу [4], получаем соотношение lim p2 а3

d 0 → 0 ⁰

K s ρ ^f 0 ,s ^.

Устремляя в (7) пористость к нулю, получим др 1

-

- 3

∂t

Аналогично, устремляя в (6) пористость к

σ mm ∂t

.

1 де ik

λ s

нулю, с учетом (8), получим

-

^ s ^{дt (3 A} s + ^{2 ц} s ) ^ц.

σ mm

^ik .л.       дiuk + дkui , s ∂t

которые совпадают с продифференцированными по времени формулами в теории упругости [10].

Вводя вектор w = ( u 1 , u 2 , u 3 , v 1 , v 2 , v 3 , o^, CT 13 , 5 23 , a_n , 5 22 , 5 33 ,p ) ^T , перепишем систему (4)

(7) в векторной форме

∂ w

A"dt + B k d k w = 0 .

Здесь A = ( a ij ), i,j = 1 , 13 — симметрическая матрица, элементы которой определяются следующим образом:

ai,i = p 0 ,s,ai+3 ,i+3 = p 0 ,l,ai+6 ,i+6 = 1 /p,ai+9 ,i+9 = (1 — Л)/(2ц), i = 1, 3, a 10,11 = a 11,10 = a 10,12 = a 12,10 = a 11,12 = a 12,11 = — Л / (2 ц A), a 10,13 = a 13,10 = a 11,13 = a 13,11 = a 12,13 = a 13,12 = a / A, a13,13 =

3p0,s K p0,l/p0,s + a p 0 A остальные aij = 0. Bk = (bkj), i,j = 1, 13, k = 1,3 — симметрические матрицы, элементы которых определяются следующим образом:

1 1 11112222

b 1,10 = b 10,1 = b 2,7 = b 7,2 = b 3,8 = b 8, 3 = b 1,7 = b 7,1 = b 2,11 = b 11,2 =

= b 3, 9 = b 9,3 = b 1, 8 = b 8,1 = b 2, 9 = b 9,2 = b 3,12 = b 12,3 = b 4,13 = b 13,4 = b 5,13 = b 13,5 = b 3,13 = b 33,6 = p 0 ,l/p 0, остальные bkj = 0.

Если покажем, что матрица A — положительно определенная, то система (9) будет симметрической t -гиперболической (по Фридрихсу). Для этого в силу положительности парциальных плотностей упругого пористого тела p 0 ,_s и жидкости p 0 ,1 , а также модуля сдвига ц достаточно показать положительно определенность следующей матрицы

	a 10 , 10	a 10 , 11	a 10 , 12	a 10 , 13
/X A =	a 10 , 11	a 11 , 11	a 11 , 12	a 11 , 13
	a 10 , 12	a 11 , 12	a 12 , 12	a 12 , 13
	a 10 , 13	a 11 , 13	a 12 , 13	a 13 , 13

Непосредственные вычисления показывают, что условия положительной определенности матрицы A выполнены:

• 1    - Л 1

a 10 , 10 =    — А — >  ⁰ ,

• 2    ц3

a 10,10 a 10,11 а 1

a 10,11 a 11,11 — 12 ц2

^a 10 , 10 ^a 10 , 11 ^a 10 , 12

αρ ² ₀

4 ц ² А

> 0 ,

^a 10 , 11 ^a 11 , 11 ^a 11 , 12

^a 10 , 12 ^a 11 , 12 ^a 12 , 12

a 10 , 10	a 10 , 11	a 10 , 12	a 10 , 13
a 10 , 11	a 11 , 11	a 11 , 12	a 11 , 13
a 10 , 12	a 11 , 12	a 12 , 12	a 12 , 13
a 10 , 13	a 11 , 13	a 12 , 13	a 13 , 13

1 4 µ ² ∆

> 0 .

Таким образом, система (9) является симметрической t -гиперболической.